第六届全国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案

1、1)极限 limXT8第六届全国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案(非数学类, 2015年 3 月)1 du y0 丄的值是。答案0dufl020 eu du) 2e解: lim = lim w f0e2u2duw2 e du=limr = 0 x 2 xe(2)设实数a丰0，微分方程y- ay 2 = 0y(0) = 0, y (0) = -1的解是。答案：y = - ln(ax + 1)解：记 p = y，则 p- ap2 = 0，就是 adpP2=adx,从而- = ax+q，由 p(0) = -1 得 q 二 0。故有 pdy = _Ldx axy = -ln(ax + C?)。再有 y(

2、0) = 0 得 c? = 1，故y =-丄ln(ax +1)。 a 2 2 a(3)设 A =(久0-1则 A50 =答案：0-502490才。502490、0才。/解：0、0，则B2为零矩阵,0 JA50=(4 + B )50 = 4 E + 5049 B =0-50249050249解：xdy - ydx(5)设曲线积分I =也一,其中L是以(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)为顶点的正方比 |x| + A|形的边界曲线，方向为逆时针，则I =。答案: 4解：曲线L的方程为|x| + |y|= 1，记该曲线所围区域为D。由格林公式I =由 xdy - ydx = |J (1

3、 +1)dxdy = 2a(D)=L(6)设D是平面上由光滑封闭曲线围成的有界区域，其面积为A0,函数f (x,y)在该区(1、域及其边界上连续，函数f (x, y)在D上连续且f (x, y)0 .记Jn = JJ f1 n(x, y)da(A d丿求极限 lim J n .JJ In f (x, y )d (1 答案：exp IAnT+s n解.设 F(t) = -A JJ f (x, y)db ,则 lirri Jn = lirri (F(t) = 1呷 exp 山 F)A DnT+stT0tT0t卿譽=lrm=(n F (t) )11=0=需厂 F(。).故有 Ims Jn = exp

4、 (F (0) = exp -A JJln f (x, y)da .ni+i(A D丿=0。量之间的夹角为込。若函数f(x J)在点P0有连续偏导，证明nj =1则有证：不妨设厶为单位向量，且设因此 三设A】,A2, BB2均为n阶方阵，其中A2, B2可逆。证明：存在可逆阵P, Q使PAQ = Bi (i = 1,2)成立的充要条件是A1A；1和B1B；1相似。（6 分）证若存在可逆阵P,Q使PAQ = Bi(i = 1,2)，则B； = Q1 A21 P1，所以B1 B2_ = PAA2_P，故 AA2 和 BB_2 相似。反之，若A1 A12和BB2相似，则存在可逆阵C，使C1 A1A2

5、1C =。于是C1 AA2 CB = B。令 P = C，Q = ACB2，则 P, Q 可逆，且满足PAiQ=Bi（i=1,2）（14分）1 8 1四设p 0，X = ，xP+1 = xp + x2p （n = 1,2，），证明y-收敛并求其和。4宕1+xnp【解】记y” =对，由题设，y”+1 = yn + y；， y”+1 yn = y； 0，所以y”+ yn。（2 分）设儿收敛，即有上界，记A = limyn 闫 0。从而A = A + A2，所以A=0，矛盾。故 yn t +8。（8 分）由 yn+1 = y（ + yn ），即 卩=） = T得yn+1 y（n1+ yn）yn1+

6、ynk=11 + yk丄y丄 t 丄=4p。（14 分）yn+1y1五(1)展,)上的函数f (x) =|x I成傅里叶级数，并证明U(2)求积分I = du的值.0 1+ eu解(1) f (x)为偶函数,其傅里叶级数是余弦级数.ao = f xdx =兀,an2 l2二一I x cos nxdx =-(cos n兀一 1)= 兀0龙n24兀n0,n 1,3，n 2,4，由于f (x)连续,所以当x匸一兀,兀)有f( x) 一| cosx +-cos3x + 7cos5x + 疋(3252g1令x 0得到&2可，贝IS $2 S,故0兀山得 S1 兰2 = .(5 分)1 36u(2)记g(

7、u) I* “，则在0, +g)上成立g(u) ueu ue2u + ue3u -.1+e一记该级数的前n项和为Sn(u),余项为rn(u) g(u) - Sn(u).则由交错(单调)级数的性质rn(u) ue(n+1)u.du =右，就有 r (”)11du 7(n +1)2这样就有I0S(nu)du+I0rn(u)du t (-1)k-10 0k 1I7+(13分)rn (u )du 0，故+g由于lim f所以I + 2以=以.再由(1)所证得I 212(15分)ns J 0六设f (x, J)为R2上的非负的连续函数，若I = lim ff 2 2 2 f (x,y)da存在有限,则称

8、广 tt+8 J J x + y t义积分ffR 2 f( x，y)da收敛于i - 设f (x, y)为R2上非负且连续.若ff (x, y)da收敛于I，证明极限lim fff(x, y)da 存在且收敛于 I .t+ J J -1x,yt(2)设jj e ax 2 +2 bxy +cy 2 d a收敛于I，其中实二次型ax2 + 2bxy + cy2在正交变换下的R2标准型为A1u2 +22v2.证明&和入都小于0.解. 由于f (x, y)非负，ffx2+y2t2f(x,y)daff-tx,ytf(x,y)daffx2+y22t2f(x,y)da.当t T+oo ,上式中左右两端的极限

9、都收敛于I，故中间项也收敛于I(3分) 记 I(t) = ff e启+2bxy+cy2dxdy，则 lim I(t) = I. x2+y2t2tT+o记a = ： b 则ax2 + 2bxy + cy2 = (x, y) A ；因A实对称，存在正交矩阵P使得PtAP =寿:其中入是A的特征值，也就是标准型的系数.下，有 ax2 + 2bxy + cy2 = u2 + A2V2 .又由于u2 + v2 = (u, v) ； J = P (x, y) y J PT = (x2 + y2) PPT = x2 + y2,故变换把圆盘x2 + y2 2变为U + V 尸，且瓷書=|P|= 18(x, y) dudv = ff e*u2+2 dudv $(u, v)u 2 +专 t 2由lim It = I和(1)所证得:tT+olim ff e