2022年专题二高考三角函数与平面向量命题动向

1、专题二 高考三角函数与平面向量命题动向高考命题分析纵观近年各省的高考数学试题，出现了一些富有时代气息的三角函数与平面向量考题，它们形式独特、 背景鲜明、结构新颖，主要考查学生分析问题、解决问题的能力和处理交汇性问题的能力在新课标高考试卷中一般有 24 题，分值约占全卷的 14%20%，因此，加强这些试题的命题动向研究，对指导高考复习无疑有十分重要的意义现聚焦高考三角函数与平面向量试题，揭秘三角函数与平面向量高考命题动向，挖掘三角函数与平面向量常见的考点及其求解策略，希望能给考生带来帮助和启示高考命题特点新课标高考涉及三角函数与平面向量的考题可以说是精彩纷呈，奇花斗艳，其特点如下：(1)考小题，

2、重基础：有关三角函数的小题其考查重点在于基础知识：解析式；图象与图象变换；两域 (定义域、值域 )；四性 (单调性、奇偶性、对称性、周期性 )；简单的三角变换(求值、化简及比较大小 )有关向量的考查主要是向量的线性运算以及向量的数量积等知识(2)考大题，难度明显降低：有关三角函数的大题即解答题，通过公式变形转换来考查大题中思维能力的题目已经很少，而着重考查基础知识和基本技能与方法的题目却在增加的向量，主要是作为工具来考查的，多与三角、圆锥曲线相结合(3)考应用，融入三角形与解析几何之中：既能考查解三角形、圆锥曲线的知识与方法，又能考查运用三角公式进行恒等变换的技能，深受命题者的青睐主要解法是充

3、分利用三角形内角和定理、正、余弦定理、面积公式、向量夹角公式、向量平行与垂直的充要条件，向量的数量积等(4)考综合，体现三角的工具作用：由于近几年高考试题突出能力立意，加强对知识性和应用性的考查， 故常常在知识交汇点处命题，而三角知识是基础中的基础，故考查与立体几何、解析几何、导数等综合性问题时突出三角与向量的工具性作用高考动向透视考查三角函数的概念及同角三角函数的 基本关系高考对本部分内容的考查主要以小题的形式出现，即利用三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的关系进行求值、变形， 或是利用三角函数的图象及其性质进行求值、求参数的值、求值域、 求单调区间及图象判断等，而大题常常在综合性问题中

4、涉及三角函数的定义、图象、 诱导公式及同角三角函数的关系的应用等，在这类问题的求解中，常常使用的方法技巧是“ 平方法” ，“ 齐次化切” 等0，【示例 1】?(2011福建 )若 0，2，且 sin2cos 21 4，则 tan 的值等于 ()A.2B.3C.2 D.3 23解析由二倍角公式可得sin212sin21 4，即 sin2 3 4，sin23 4，又因为 2，所以 sin 3 2，即 3，所以 tan tan 33，故选 D. 答案D 本题考查了三角恒等变换中二倍角公式的灵活运用考查三角函数的图象及其性质 三角函数的图象与性质主要包括：正弦 (型)函数、余弦 (型 )函数、正切 (

5、型)函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、图象的变换等五大块内容，在近年全国各地的高考试卷中都有考查三角函数的图象与性质的试题，而且对三角函数的图象与性质的考查不但有客观题，还有主观题， 客观题常以选择题的形式出现，往往结合集合、函数与导数考查图象的相关性质；解答题主要在与三角恒等变换、不等式等知识点的交汇处命题，难度中等偏下【示例 2】?(2011浙江 ) 已知函数 f(x)Asin 3x ，xR，A 0,0 2，yf(x)的部分图象如图所示，P，Q分别为该图象的最高点和最低点，点 P 的坐标为 (1， A)(1)求 f(x)的最小正周期及 的值；2 (2)若点 R 的坐标为 (1,0)， P

6、RQ3，求 A 的值解 (1)由题意得， T2 6. 3 因为 P(1，A)在 yAsin 3x 的图象上，所以 sin 3 1. 又因为 0 2，所以 6. (2)设点 Q 的坐标为 (x0， A)，由题意可知 3x063 2，得 x04，所以 Q(4， A)，如图，连接 PQ，在 PRQ 中，PRQ2 3，由余弦定理得 cosPRQRP 2RQ2PQ22RPRQA 29A2 94A22A9 A 21 2，解得A 2 3.又 A 0，所以 A3. 本题主要考查三角函数的图象与性质、三角运算等基础知识求单调区间高考对三角函数的单调性考查，常以小题形式呈现， 有时也会出现在大题的某一小问中，属中

7、档题对于形如 y Asin( x)(或 yAcos( x)，A 0 的单调区间的求法是：先考虑 A， 的符号，再将 x 视为一个整体，利用 ysin x 的单调区间，整体运算，解出x 的范围即可【示例 3】?(2011安徽 )已知函数 f(x)sin(2x)，其中 为实数，若 f(x) f 6 对 xR 恒成立，且 f 2 f( )，则 f(x)的单调递增区间是 ( )A. k 3，k 6 (k Z) B. k，k2 (kZ) C. k6，k2 3 (kZ) D. k2，k (kZ) 解析 因为当 x R 时， f(x) f 6 恒成立，所以 f 6sin 3 1，可得 2k 5 6或 2k6

8、 .因为 f 2sin() sin f( )sin(2)sin ，故 sin 0，所以 2k56，所以 f(x)sin 2x56，所以由22k 2x5 6 22k 得，函数的单调 2递增区间为 k6， k3 (kZ)答案 C 本题的亮点是引入参数 与不等式恒成立问题，求解此类问题的关键是：利用隐蔽条件 “ 正弦函数的有界性”，把不等式恒成立问题转化为含参数 的方程，求出参数 的值，注意利用已知条件剔除增根；求出函数的解析式即可求其单调递增区间，熟悉正弦函数的单调性可加快求解此类问题的速度【训练】 (2011新课标全国 )设函数 f(x)sin( x)cos( x) 0，| 2的最小正周期为 ，

9、且 f(x)f(x)，则 ( )Af(x)在 0，2单调递减Bf(x)在 4， 3 4单调递减Cf(x)在 0，2单调递增Df(x)在 4， 3 4单调递增解析 f(x)sin( x)cos( x)2sin x 4，由最小正周期为 得 2，又由 f(x)f(x)可知 f(x)为偶函数，| 2可得 4，所以 f(x)2cos 2x 在 0，2单调递减答案 A 求最值高考对三角函数最值的考查，常以小题形式呈现，属中档题 有时也在大题中的某一步呈现，属中档偏难题，高考常考查以下两种类型：化成y Asin( x)的形式后利用正弦函数的单调性求其最值；化成二次函数形式后利用配方法求其最值【示例 4】?(

10、2011重庆 )设 aR，f(x)cos x(asin x cos x)cos2 2 x 满足 f 3f(0)，求函数 f(x)在 4，11 24上的最大值和最小值解 f(x) asin xcos xcos2xsin 2 xa 2sin 2xcos 2x. 由 f 3f(0)得2a12 1，解得 a 2 3. 因此 f(x)3sin 2xcos 2x2sin 2x6 . 当 x 4， 3时， 2x 6 3， 2，f(x)为增函数，当 x 3，11 24时， 2x 6 2，3 4，f(x)为减函数，所以 f(x)在 4，11 上的最大值为 f 3 2. 又因为 f 43，f 11 242，故 f

11、(x)在 4，11 24上的最小值为f 11 242. 本小题主要考查基本三角函数公式，析式进行化简的能力，同时考查数形结合思想以及运用三角函数公式对相关函数的解【训练】(2011上海 )函数 y2sin xcos x 的最大值为 _解析 注意到 y5 25 sin x15 cos x 5sin(x)其中 cos 25，sin 15，因此函数 y2sin x cos x 的最大值是 5. 答案 5 利用三角恒等变换求三角函数值三角恒等变换是研究三角函数的图象与性质，解三角形的基础， 在前几年的高考中单独命题的情况很少， 但在今年的高考中加强了对三角恒等变换的考查，大多是结合三角函数的图象与性质

12、，解三角形进行命题，但有的省份对三角恒等变换进行了单独命题，由此可见，高考加大了对三角恒等变换的考查力度，高考命题考查的重点性质是公式，同角三角函数基本关系，两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式【示例 5】?(2011天津 )已知函数 f(x)tan 2x4 . (1)求 f(x)的定义域与最小正周期；(2)设 0，4，若 f 22cos 2，求 的大小解 (1) 由 2x 4 2 k， k Z ， 得 x 8 k 2， k Z ， 所 以 f(x)的 定 义 域 为xR|x8k 2，kZ ，f(x)的最小正周期为 2. (2)由 f 22cos 2，得 tan 42cos 2，si

13、n 4 2(cos2sin2)，cos 4整理得sin cos 2(cos sin )(cos sin )cos sin 因为 0，4，所以 sin cos 0. 因此 (cos sin )21 2，即 sin 21 2. 由 0， 4，得 2 0， 2 .所以 2 6，即 12. 本小题主要考查两角和的正弦、余弦、正切公式， 同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦、余弦公式，正切函数的性质等基础知识，考查基本运算能力【训练】(2011浙江 )若 0 2， 2 0，cos 4 1 3，cos 4 23 3，则4 cos 2()A.3B35 3 C. 9D6339解 析对 于cos 2 cos 4

14、 4 cos 4 cos 4 2 sin2sin4 2，而 4 4，3，4 24， 2 . 因此 sin4 22 3，sin4 26 3，则 cos 21 3322 335 3 9 .故选 C. 答案C 三角函数的综合应用三角函数的综合应用是历年来高考考查的重点、热点问题， 新课标高考更加注重对知识点的综合应用意识的考查，而且新课标高考在考查的内容以及形式上不断推陈出新，三角函数不仅可以与集合、函数与方程、不等式等结合命题，而且还可以结合线性规划知识命题，给今后的命题提出了新的挑战【示例 6】?设函数 f()3sin cos ，其中，角 的顶点与坐标原点重合，始边与 x轴非负半轴重合，终边经过

15、点 P(x，y)，且 0 .(1)若点 P 的坐标为 12，2 3，求 f()的值；xy1，(2)若点 P(x，y)为平面区域x1，上的一个动点，试确定角 的取值范围，并y1求函数 f()的最小值和最大值3sin 2，解 (1)由点 P 的坐标和三角函数的定义可得cos 1 2.于是 f()3sin cos 321 22. (2)作出平面区域 (即三角区域 ABC)如图所示，其中 A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)于是 0 2. 又 f()3sin cos 2sin 6，且 6 62 3，1. 故当 ，即 时，6 2 3f()取得最大值，且最大值等于2；当 6 6，即 0 时， f()取

16、得最小值，且最小值等于本小题主要考查三角函数、不等式等基础知识，考查运算求解能力有关解三角形的考查 新课标高考对解三角形的考查，以正弦定理、 余弦定理的综合运用为主，在解题时，要分析清楚题目条件，利用正弦定理、 余弦定理转化为三角形中各边之间的关系或各角之间的关系，并结合三角形的内角和为180，诱导公式，同角三角函数基本关系，两角和与差的正弦、余弦、 正切公式进行化简求值在近几年的高考中，对解三角形的考查力度有所加强，而且更加注重知识点的综合运用，的问题没有怪题、 偏题 下面我们就高考试题研究一下解三角形【示例 7】?(2011江苏 )在 ABC 中，角 A， B，C 的对边分别为 a，b，c

17、. (1)若 sin A62cos A，求 A 的值；1(2)若 cos A3，b3c，求 sin C 的值解 (1)由题设知 sin Acos 6cos Asin 62cos A从而 sin A3cos A，所以 cos A 0，tan A3.因为 0A，所以 A 3. 1(2)由 cos A3，b3c 及 a2b2c2 2bccos A，得 a2b2c2. 故 ABC 是直角三角形，且 B 2. 所以 sin Ccos A1 3. 本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形，考查运算求解能力【训练】(2011天津 )在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为a， b

18、，c.已知 BC,2b3a. (1)求 cos A 的值；(2)求 cos 2A4的值解(1)由 B C,2b3a，可得 cb3 2 a. 7 9. 所以 cos Ab 2c2a22bc4a23 4a2a21 3. 23 2 a3 2 a(2)因为 cos A1 3，A (0， )，所以 sin A1cos2A22 3，cos 2A 2cos2A1故 sin 2A2sin Acos A42 9 . 所以 cos 2A4cos 2Acos 4sin 2Asin 4 7 9242 92 872 . 平面向量共线与垂直高考对平面向量共线与垂直的考查，常以小题形式出现，属中档题， 有时也在大题的条件中

19、出现， 属中档偏难题 平面向量的坐标表示可使平面向量运算完全代数化，从而使得我们可以利用“ 方程的思想” 破解向量共线与垂直的问题【示例 8】?(2011江苏 )已知 e1，e2 是夹角为2 3的两个单位向量，ae12e2，bke1e2，若 a b0，则实数 k 的值为 _解析 由题意知： a b(e12e2) (ke1e2)0，即 ke21e1e22ke1e22e220，即 kcos 2 2 53 2kcos 3 20，化简可求得 k4. 答案 54本题从向量数量积为 0 入手，转化为关于两单位向量数量积的关系式，再利用两向量数量积定义，转化为含 k 的方程，即可求出 k 的值【训练】(20

20、11广东 )若向量 a，b， c 满足 a b 且 ac，则 c (a2b)( )A4 B3 C2 D0 解析 由 a b 及 ac，得 bc，则 c(a2b)ca2cb0.故选 D. 答案 D 平面向量的夹角高考对平面向量夹角的考查，常以小题形式出现，属中档题 有时也在大题中出现，属中档题 两向量夹角公式其实是平面向量数量积公式的变形和应用、有关两向量夹角问题的考查，常见类型：依条件等式，运算求夹角，此类问题求解过程中应关注夹角取值范围；依已知图形求两向量夹角，此类题求解过程应抓住“ 两向量共起点” ，便可避开陷阱， 顺利求解【示例 9】?(2011新课标全国 )已知 a 与 b 均为单位向

21、量， 其夹角为 ，有下列四个命题：2p1：|a b| 1? 0，3；2p2：|a b| 1? 3， ；p3：|a b| 1? 0，3；p4：|a b| 1? 3， . 其中的真命题是 ( )Ap1， p4 Bp1，p3 Cp2，p3 Dp2，p4解析 由|ab|a22ab b 222cos 1，1 2得 22cos 1，cos 2，03 . 由|ab|a22abb222cos 1，得 22cos 1，cos 答案 A 1 2，3 .p1， p4 正确此题考查向量的运算、向量的模及向量的夹角平面向量的模 高考对平面向量的模的考查，常以小题形式出现，属中档题， 常考查类型： 把向量放在适当的坐标系中，给有关向量赋予具体坐标求向量的模，如向量 a(x，y)，求向量 a 的模只需利用公式 |a|x2 y2即可求解不把向量放在坐标系中研究，求解此类问题的通常做法是利用向量运算法则及其几何意义或应用向量的数量积公式，关键是会把向量 a 的模进行如下转化：|a|a2. 【示例 10】 ?(2011辽宁 )若 a，b，c 均为单位向量，且bc|的最大值为