一曲线参数方程

1、第1页，共42页，2022年，5月20日，15点7分，星期四 如图，一架救援飞机在离灾地面500m高处以100 m/s的速度作水平直线飞行.为使投放的救援物资准确落于灾区指定的底面(不计空气阻力)，飞行员应如何确定投放时机呢？问题探究Av=100m/s第2页，共42页，2022年，5月20日，15点7分，星期四 如图，一架救援飞机在离灾地面500m高处以100 m/s的速度作水平直线飞行.为使投放的救援物资准确落于灾区指定的底面(不计空气阻力)，飞行员应如何确定投放时机呢？问题探究xyOAv=100m/s-500第3页，共42页，2022年，5月20日，15点7分，星期四 如图，一架救援飞机在

2、离灾地面500m高处以100 m/s的速度作水平直线飞行.为使投放的救援物资准确落于灾区指定的底面(不计空气阻力)，飞行员应如何确定投放时机呢？问题探究MxyOAv=100m/s-500第4页，共42页，2022年，5月20日，15点7分，星期四1. 参数方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数第5页，共42页，2022年，5月20日，15点7分，星期四1. 参数方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数 并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲

3、线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.第6页，共42页，2022年，5月20日，15点7分，星期四 参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个与物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数.练习：指出下列参数方程中的参数第7页，共42页，2022年，5月20日，15点7分，星期四例1. 第8页，共42页，2022年，5月20日，15点7分，星期四2、参数方程和普通方程的互化第9页，共42页，2022年，5月20日，15点7分，星期四将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型。 曲线的参数方程和普通

4、方程是曲线方程的不同形式。一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程。如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系，例如 ，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系那么 就是曲线的参数方程。第10页，共42页，2022年，5月20日，15点7分，星期四例2、把下列参数方程化为普通方程， 并说明它们各表示什么曲线？第11页，共42页，2022年，5月20日，15点7分，星期四（2）把 平方后减去得到因为所以因此，与参数方程等价的普通方程是这是抛物线的一部分。所以代入第12页，共42页，2022年，5月20日，15点7分，星期四1.将下列参数方程化为普通方程：(1)(2)(3)x=t+1/t

5、y=t2+1/t2（1）（x-2）2+y2=9（2）y=1- 2x2（- 1x1）（3）x2- y=2（X2或x- 2）步骤：（1）消参； （2）求定义域。练一练第13页，共42页，2022年，5月20日，15点7分，星期四2.求参数方程表示 （ ）（A）双曲线的一支，这支过点（1，）：（B）抛物线的一部分，这部分过（1，）；（C）双曲线的一支，这支过点（1，）；（D）抛物线的一部分，这部分过（1，）第14页，共42页，2022年，5月20日，15点7分，星期四分析一般思路是：化参数方程为普通方程求出范围、判断。解x2=1+sin=2y， 普通方程是x2=2y，为抛物线。 ，又02，0 x，故

6、应选（B）说明这里切不可轻易去绝对值讨论，平方法是最好的方法。第15页，共42页，2022年，5月20日，15点7分，星期四例3 解（1）把 带入椭圆方程，得到 于是由参数 的任意性，可取因此椭圆的参数方程为 （ 为参数） 第16页，共42页，2022年，5月20日，15点7分，星期四思考：为什么（2）中的两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？因此椭圆的参数方程为（t为参数）和（2）把代入椭圆方程，得第17页，共42页，2022年，5月20日，15点7分，星期四x,y范围与y=x2中x,y的范围相同，代入y=x2后满足该方程，从而D是曲线y=x2的一种参数方程.曲线y=x2的一种参数方程是（

7、）. 注意： 在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的. 在y=x2中，xR, y0，分析:发生了变化，因而与 y=x2不等价；在A、B、C中，x,y的范围都而在中，且以练一练第18页，共42页，2022年，5月20日，15点7分，星期四普通方程参数方程引入参数消去参数小结第19页，共42页，2022年，5月20日，15点7分，星期四 圆周运动是生活中常见的.当物体绕定轴作匀速转动时，物体中各个点都作匀速圆周运动.那么，怎样刻画运动中点的位置呢？3. 圆的参数方程概念第20页，共42页，2022年，5月20日，15点7分，星期四 圆周运动是生活中常见

8、的.当物体绕定轴作匀速转动时，物体中各个点都作匀速圆周运动.那么，怎样刻画运动中点的位置呢？3. 圆的参数方程概念第21页，共42页，2022年，5月20日，15点7分，星期四 如果在时刻t，点M转过的角度是，坐标是M(x,y)，那么t.设|OM|r，那么由三角函数定义有即讲授新课第22页，共42页，2022年，5月20日，15点7分，星期四 这就是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程.其中参数t有明确的物理意义(质点作匀速圆周运动的时刻).讲授新课第23页，共42页，2022年，5月20日，15点7分，星期四讲授新课 考虑到t，也可以取为参数，于是有 这也是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方

9、程.其中参数的几何意义是OM0绕点O旋转到OM的位置时， OM0转过的角度.第24页，共42页，2022年，5月20日，15点7分，星期四圆心是(a,b),半径是r的圆的参数方程是什么呢？第25页，共42页，2022年，5月20日，15点7分，星期四例1、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它化为参数方程。解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程， （x+1）2+（y-3）2=1，参数方程为(为参数)第26页，共42页，2022年，5月20日，15点7分，星期四练习. (1)(x1)2y24上的点可以表示为A.(1cos, sin) B.(1sin, cos)C.(12cos

10、, 2sin) D.(1 2cos, 2sin)( )第27页，共42页，2022年，5月20日，15点7分，星期四练习. (1)(x1)2y24上的点可以表示为A.(1cos, sin) B.(1sin, cos)C.(12cos, 2sin) D.(1 2cos, 2sin)( )D第28页，共42页，2022年，5月20日，15点7分，星期四练习. 的圆心为_，半径为_.第29页，共42页，2022年，5月20日，15点7分，星期四练习. 的圆心为_，半径为_.(4,0)第30页，共42页，2022年，5月20日，15点7分，星期四练习. 的圆心为_，半径为_.(4,0)2第31页，共4

11、2页，2022年，5月20日，15点7分，星期四xMPAyO解:设M的坐标为(x,y),可设点P坐标为(4cos,4sin)点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。由中点公式得:点M的轨迹方程为x =6+2cosy =2sinx =4cosy =4sin 圆x2+y2=16的参数方程为例1. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点, 点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆 上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?参数方程的应用(1)参数法求轨迹方程第32页，共42页，2022年，5月20日，15点7分，星期四解:设M的坐标为(x,y),点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2

12、为半径的圆。由中点坐标公式得:点P的坐标为(2x-12,2y)(2x-12)2+(2y)2=16即 M的轨迹方程为(x-6)2+y2=4点P在圆x2+y2=16上xMPAyO例1. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点, 点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆 上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?第33页，共42页，2022年，5月20日，15点7分，星期四例2.已知点P（x，y）是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0 上动点，求（1） x2+y2 的最值，（2）x+y的最值，（3）P到直线x+y- 1=0的距离d的最值。 解：圆x2+y2- 6x- 4y+12=0即

13、（x- 3）2+（y- 2）2=1，用参数方程表示为由于点P在圆上，所以可设P（3+cos，2+sin），（1） x2+y2 = (3+cos)2+(2+sin)2 =14+4 sin +6cos=14+2 sin( +). x2+y2 的最大值为14+2 ，最小值为14- 2 。（2）. 参数法求最值第34页，共42页，2022年，5月20日，15点7分，星期四(2) x+y= 3+cos+ 2+sin=5+ sin（ + ） x+y的最大值为5+ ，最小值为5 - 。 (3)显然当sin（ + ）= 1时，d取最大值，最小值，分别为 ， 。第35页，共42页，2022年，5月20日，15点7分，星期四1.已知点P(x，y)是圆x2y22y上的动点.(1)求2xy的取值范围；(2)若xya0恒成立，求实数a的取值范围巩固练习第36页，共42页，2022