2020届福建省广东省高三4月联考数学-(文)-试题(解析版)

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业2020届福建省广东省高三4月联考数学 （文） 试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】B【解析】解一元二次不等式求得集合，由此求得两个集合的交集.【详解】由，解得.因为，所以.【点睛】本题考查集合的交集，考查运算求解能力与推理论证能力.2已知复数，则（ ）ABCD【答案】A【解析】利用复数的除法运算求得，由此求得.【详解】因为，所以.故选：A【点睛】本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力.3在中，内角的对边分别为，则（ ）ABCD【答案】C【解析】先求得，

2、然后利用正弦定理求得.【详解】因为，所以，所以.故选：C【点睛】本题考查解三角形，考查运算求解能力.4已知，则（ ）ABCD【答案】D【解析】利用“分段法”比较出的大小关系.【详解】因为，所以.故选：D【点睛】本题考查指数式和对数式比较大小，属于基础题.5学校为了调查学生在课外读物方面的支出（单位：元）情况，抽取了一个容量为的样本，并将得到的数据分成，四组，绘制成如图所示的频率分布直方图，其中支出在的同学有24人，则（ ）A80B60C100D50【答案】A【解析】先求得支出在的频率，然后求得的值.【详解】由频率分布直方图可得，支出在的频率为.根据题意得，解得.故选：A【点睛】本题考查频率分布

3、直方图，考查数据处理能力.6已知双曲线与抛物线有相同的焦点，点到双曲线的一条渐近线的距离为2，则的离心率为（ ）ABCD【答案】D【解析】根据抛物线的交点求得双曲线半焦距，根据双曲线焦点到渐近线的距离求得，从而求得，进而求得双曲线离心率.【详解】由题意知抛物线的焦点为，所以.又因为点到双曲线的一条渐近线的距离为2，所以，从而，.故选：D【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查运算求解能力.7若，则（ ）ABCD【答案】A【解析】令，将转化为，然后利用二倍角的余弦公式求得的值.【详解】令，则，所以.因为，所以.故选：A【点睛】本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力.8十二生肖是十二地支的形象化代表，

4、即子（鼠）、丑（牛）、寅（虎）、卯（兔）、辰（龙）、巳（蛇）、午（马）、未（羊）、申（猴）、酉（鸡）、戌（狗）、亥（猪），每一个人的出生年份对应了十二种动物中的一种，即自己的属相.现有印着六种不同生肖图案（包含马、羊）的毛绒娃娃各一个，小张同学的属相为马，小李同学的属相为羊，现在这两位同学从这六个毛绒娃娃中各随机取一个（不放回），则这两位同学都拿到自己属相的毛绒娃娃的概率是（ ）ABCD【答案】B【解析】先求得基本事件的总数和符合题意的事件数，然后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】小张、小李同学各取一个毛绒娃娃，共有种取法，这两位同学都拿到自己属相的毛绒娃娃有1种取法，故所求概

5、率.故选：B【点睛】本题考查古典概型，考查应用意识与数学抽象的核心素养.9圆被直线截得的弦长的最小值为（ ）ABCD【答案】B【解析】求得直线恒过定点，当时，弦长最小，结合勾股定理求得此时的弦长.【详解】直线可化为，故直线恒过点.圆：的圆心为，半径为当直线垂直于直线时，截得的弦长最短，此时弦长.故选：B【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线过定点，属于基础题.10将函数图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若直线是的图象的一条对称轴，则（ ）A为奇函数B为偶函数C在上单调递减D在上单调递增【答案】C【解析】根据函数图象变换求得的表达式，根据是图象的一条对称轴，求得的值，由此求得与的表达

6、式，进而判断出与的奇偶性和单调性，由此判断出正确选项.【详解】由题意知，因为直线是的图象的一条对称轴，所以，故，因为，所以，为非奇非偶函数，所以A选项错误.因为，则，所以在上单调递减，所以C选项正确.因为，所以为奇函数，所以B选项错误.当时，所以在上单调递减，所以D选项错误.故选：C【点睛】本题考查三角函数的图象及其性质，考查运算求解能力.11已知某圆柱的底面直径与某圆锥的底面半径相等，且它们的表面积也相等，圆锥的底面积是圆锥侧面积的一半，则此圆锥与圆柱的体积之比为（ ）ABCD【答案】A【解析】首先设出圆锥的底面半径和母线长，根据圆锥的底面积是圆锥侧面积的一半，求得.利用勾股定理求得圆锥的高

7、，由此求得圆锥的体积.根据题意求得圆柱的底面半径，根据圆锥与圆柱的表面积相等，求得圆柱的高，由此求得圆柱的体积.从而求得圆锥与圆柱的体积之比.【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，则，即，所以圆锥的高，圆锥的体积.由题意，知圆柱的底面半径为，设圆柱的高为，因为圆锥与圆柱的表面积相等，所以，解得，所以圆柱的体，故.故选：A【点睛】本题考查简单几何体的表面积与体积，考查空间想象能力.12已知函数，则函数的零点个数为（ ）A0B4C3D2【答案】D【解析】先求得，构造函数，判断出图象关于对称.求得时的解析式，结合图象的对称性画出的图象，由此判断出的解，进而求得函数的零点个数.【详解】由，知.令，则，

8、所以，即的图象关于直线对称.当时，；当时，.作出的图象可知，函数的解有2个，所以函数的零点个数个.故选：D【点睛】本题考查分段函数的图象与性质，考查数形结合的数学思想.二、填空题13已知向量，若，则_.【答案】【解析】利用向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值.【详解】因为，所以，解得.故答案为：【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查运算求解能力.14已知实数满足，则的最小值是_.【答案】【解析】画出可行域，将基准直线平移到可行域边界点位置，由此求得目标函数的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，基准直线平移到可行域边界点时，目标函数取得最小值为.故答案为：【点睛】本小题主要考查

9、利用线性规划求目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.15已知函数是奇函数，当时，则的图象在点处的切线斜率为_.【答案】【解析】首先根据奇函数的定义，求得当时的解析式，由此利用导数求得的图象在点处的切线斜率.【详解】当时，则，此时，所以，所以.故答案为：【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，考查化归与转化的数学思想.三、双空题16在正三棱柱中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_；三棱锥的外接球的表面积为_.【答案】 【解析】作出异面直线与所成角，利用余弦定理求得其余弦值.利用三角形和三角形的外心，作出三棱锥的外接球的球心，计算出外接球的半径，进而求得外接球的表面积.【详解

10、】如图，取的中点，连接.因为，所以即异面直线与所成角或其补角.因为，所以，所以.记，的外心分别为，过分别作平面、平面的垂线，则两条垂线的交点即三棱锥的外接球的球心.因为，所以的外接圆半径，的外接圆半径，所以三棱锥的外接球的半径，三棱锥的外接球的表面积为.故答案为：(1). (2). 【点睛】本题考查异面直线所成角及外接球，考查空间想象能力.四、解答题17已知数列的前项和为，且.（1）求的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】（1）利用求得数列的通项公式.（2）求得数列的通项公式，进而利用裂项求和法求得，结合数列的单调性证得.【详解】（1）由，得，因为

11、，所以，化简得，即数列是以2为首项，4为公比的等比数列，所以.（2）因为，所以，则.因为，是单调递增数列，所以当时，取得最小值，当接近无限大时，趋于，故.【点睛】本小题主要考查已知求，考查裂项求和法，考查数列的单调性，属于中档题.18每个国家对退休年龄都有不一样的规定，从2018年开始我国关于延迟退休的话题一直在网上热议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取100人进行调查，调查情况如下表：年龄段（单位：岁）被调查的人数赞成的人数（1）从赞成“延迟退休”的人中任选1人，此人年龄在的概率为，求出表格中的值；（2）在被调查的人中，年龄低于35岁的人可以认为“低龄人”，年龄不低于

12、35岁的人可以认为“非低龄人”，试作出是否赞成“延迟退休”与“低龄与否”的列联表，并指出有无的把握认为是否赞成“延迟退休”与“低龄与否”有关，并说明理由.附：.【答案】（1）；（2）列联表见解析；有的把握认为是否赞成“延迟退休”与“低龄与否”有关【解析】（1）先求得的值，然后根据“从赞成延迟退休的人中任选1人，此人年龄在的概率为”列方程，求得的值.（2）填写列联表，计算的值，由此判断有的把握认为是否赞成“延迟退休”与“低龄与否”有关.【详解】（1）因为总共抽取100人进行调查，所以.因为从赞成“延迟退休”的人中任选1人，此人年龄在的概率，所以.（2）是否赞成“延迟退休”与“低龄与否”的列联表如

13、下：赞成“延迟退休”不赞成“延迟退休”总计低龄人18725非低龄人304575总计4852100，所以有的把握认为是否赞成“延迟退休”与“低龄与否”有关.【点睛】本小题主要考查列联表独立性检验，考查古典概型有关计算，属于基础题.19如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面底面，为的中点，是棱的中点，.（1）证明：平面平面.（2）求四面体的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）首先证得，由此根据面面垂直的性质定理证得平面，从而证得平面平面.（2）利用，通过求四面体的体积，求得四面体的体积.【详解】（1），为的中点，四边形为平行四边形，.，即.又平面平面，且平面平面，平面，平面.平面，平

14、面平面.（2），.由（1）可知四边形为矩形，.，为的中点，.平面平面，且平面平面，平面.在中，.【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查锥体体积的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20已知椭圆的长轴长为，右焦点与抛物线的焦点重合.（1）求椭圆的标准方程；（2）若点关于直线的对称点在上，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据椭圆长轴长求得，根据抛物线方程求得焦点坐标，也即求得，由此求得的值，进而求得椭圆的方程.（2）设出点的坐标，得到线段中点的坐标，根据在直线上以及列方程，由此求得的表达式，并利用基本不等式求得的取值范围.【详解】（1）由，可知.因为抛物线的焦点为

15、，所以.由，可得.所以椭圆的标准方程为.（2）设点，则线段的中点，所以直线的斜率.又中点在直线上，所以.令，得，即.由，得，所以.当时，当且仅当时等号成立.同理可得，当时，当且仅当时，等号成立.所以的取值范围为.【点睛】本小题主要考查抛物线的焦点坐标的求法，考查椭圆方程的求法，考查点关于直线对称点有关问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.21已知函数.（1）当时，求的最值；（2）当时，若的两个零点分别为，证明：.【答案】（1），无最大值（2）证明见解析【解析】（1）当时，先求得函数的定义域，然后求得其导函数，由此求得的单调区间，进而求得的最值.（2）利用导数，

16、结合零点存在性定理求得所在区间，由此证得不等式成立.【详解】（1）解：当时，定义域为，当时，；当时，.可知在上单调递减，在上单调递增，所以，无最大值.（2）证明：，因为，所以在上单调递增，又因为，所以当时，当时，.所以的最小值为，因为，所以在上存在一个零点；因为，可知在上也存在一个零点；所以，故.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查利用导数证明不等式，属于中档题.22在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）若射线与曲线相交于点，将逆时针旋转后，与曲线相

17、交于点，且，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）消去曲线参数方程中的，求得其普通方程，再根据极坐标和直角坐标转化的公式，求得曲线的极坐标方程.利用极坐标和直角坐标转化的公式，求得的直角坐标方程.（2）将代入的极坐标方程，求得的值，然后将曲线的极坐标方程，求得的值.根据列方程，求得的值，进而求得的大小.【详解】（1）由曲线的参数方程为，（为参数），可得其普通方程，由，得曲线的极坐标方程.，由，得曲线的直角坐标方程.（2）将代入，得.将逆时针旋转，得的极坐标方程为，代入曲线的极坐标方程，得.由，得，.即，解得.因为，所以.【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查极坐标下长度的计算