22李永乐数学一《六套卷》

1、考生编号姓 名2022年全国硕士研究生招生考试数学一模拟一考生注意事项答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生姓名和考生编号；在 答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考 生编号信息点。选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答 案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内，超出答题区域书写的 答案无效;在试题册、草稿纸上答题无效。填（书）写时必须使用黑色字迹签字笔或钢笔，字迹工整，笔迹清 楚;涂写部分必须使用2B铅笔填涂。考试结束，将答题卡、试题册和草稿纸按规定交回。一、选择题：110小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.设g(

2、z)可导，且当当 0时，g(z)是工的高阶无穷小，则当 f0时，必有g(z)是无穷小量.壬是无穷大量.g(z)若G(z) = g(H),则是)的高阶无穷小.g山是的的高阶无穷小.J 0已知1恼/工)tan工丁 arcsin工=,则lim 1 +厂壬厂;产=e.(B)e2.(C)e6 (D)设a” =匸卡女也，其中b为正常数，则级数工a”Jo 1 十 jcn i绝对收敛.(B)条件收敛.(C)发散.(D)收敛或发散与怡的取值有关.设S为上半球面:分+夕+：/ = l,zO.规定S的正方向向上，即正法向量与)轴成锐角，则积分U Zydz +zdx + zdxdy =(A) 2 兀.(B)一兀.(C

3、) 7T.(D)2t.2dii)i22。13(5)已知A = a是3阶可逆矩阵，且丨A丨=一2,如4 =0 0 0一一3)31一 332 3阳3_则(B + AiA* )* =-1_122-TT(A)-21.(B)21(C)1.(D)-1_ 3_.3.11_T_7_已知a, ,a2 .a3，弘是3维非零向量，下列命题中错误的是如a ,a2 ,a：线性无关，则a, + a? 心 a2 ,ai a3线性无关.如ai a a3线性无关,则a】+ c 心 + a4 心 + a4线性无关.如切，血，心线性无关，则)(2)俨)线性无关.如a不能由at -a2 ,a3线性表示，贝0 a】a2 ,a3线性相关

4、.已知 a= (1,1,0)丁 是二次型 XAx =甘 + axe, + 2(a Djc + 4攵山3 + ：r2Jc3 的矩阵A的特征向量如(A + k!E)x = 1是椭圆柱面，则怡=一 3.(B) 一 1.(C)l.(D)3.已知P(A) = 0. 7,P(B) = 0. 9,则P(A | B)最大可能值等于寺.(B)(C)当.(D)吉.Z345已知随机变量X与Y都服从正态分布N (/),如果Pmax(X,Y) =a(0a 10.若该检验问题的拒绝域为W= 灭11,其中戈=丄 X.记该检验问题犯第一类77 i=错误和第二类错误的概率分别为a和仇则 TOC o 1-5 h z a =PXW

5、 11 | 1O)，P= PX11|冬10.a =11 110,/?= PX11丨10.a =11 “ W 1O,0= PX 11 1 p 11,=11|“ WOO.二、填空题：1116小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题卡指定位置上.lim(l + s in(r/44“ + 2) =设= 巧 + L iin(z?)d血，则?扌=.J X2d.xdy 设 D = (x,y) | x2 + b 2z + 2y,贝则(工 + y2)da = .D_2 0 0一 1 0(15)已知矩阵人=0 a 2与3 =0 2_023_000_形为设“ =/ + b 巧之，则它在(1,在)点沿梯度方向的方

6、向导数为0相似，则二次型xT(A + E)x在正交变换下的标准 b_设随机变量X和Y相互独立,X在区间(一1,3)上服从均匀分布，PY=1 =FY= 1 =则概率PX + Y 1 =三、解答题：1722小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(本题满分10分)设于(z) = t | x 一 t丨dr 一务，试求：J o6函数/()的极值和曲线线=/Q)的凹凸区间及拐点：(D 曲线y = /(乂)与x轴围成的区域的面积及绕j轴旋转所得旋转体的体积.(本题满分12分)计算=zdjydz + ydzdz + zd:cdy 其中(I )为z = 后 -分-b的上侧；(UQ为上半椭球面面奇

7、+号+畚=1K；O)的上侧.49 Zb(本题满分12分)设fkr)在0,+x)上连续，且尸(z)d工收敛，令禺=/(nz)dz,证明：g *(a0)收敛. J oJon=1 n(200(本题满分12分)丄-(n = 1,2,)，求极限 limz”.1 十 h”一8(21)(本题满分12分)-1200_设人=10000012_ 0001.设劝=】，力卄1 =(I )求矩阵A的特征值、特征向量；(D)求 A.(U)矩阵A可否相似对角化，并说明理由.(22)(本题满分12分)已知Xi ,X),，X”是来自正态总体N(O,/)容量为n(nZ2)的简单随机样本，样本均值与样 本方差分别为来和S.已知T1

8、 = kS2/T2 =刃+层&.它们均是参数/的无偏估计.求(I)尿和爲的值；(H)D(T)和 D(T)；(皿)。和八哪个更有效.考生编号姓 名2022年全国硕士研究生招生考试数学一模拟二考生注意事项答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生姓名和考生编号；在 答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考 生编号信息点。选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答 案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内，超出答题区域书写的 答案无效;在试题册、草稿纸上答题无效。填（书）写时必须使用黑色字迹签字笔或钢笔，字迹工整，笔迹清 楚;涂写部分必须使用2E铅笔填涂。考试结束，将答

9、题卡、试题册和草稿纸按规定交回。一、选择题：110小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.丄(1)已知当z 0时，(l + sin 2x2 “ 一 e?与a ln(z+ /T+F)是等价无穷小，则(2)已知反常积分”收敛，则J 0X(A)0 a 2(B)l =f()的驻点的个数为2极值点的个数为加，曲线-=fS的拐点个数为，则(B)/ = m = 77 = 2./ y=fM(A)Z = m = n = 3.(C)Z = 3，加=2 , o = 3.(D)Z = 3= 2 , o = 1.01 !VT(4)下列命题正确的是7 (02 a 3.(D)l a 3.

10、TOC o 1-5 h z 若工“收敛，则工(一I)/”条件收敛.(B) 若lim 也 1则则收敛. n= 1= = |loo U n=oooooooo(C)若若“”收敛，则(1)1记收敛.(D)若若“”绝对收敛，则工;谄收敛.n= 1n= u=1(5)已知a, ,a2心是4元非齐次线性方程组Ax = b的3个解，且厂(A) = 3.若ai= (5,9,3,2)丁皿2 )03 = (8,13, 12,6)丁也是任意常数，则方程组Ax = b的通解是百-8 一_8一一 3 一T3 一 8 一_5一一 31913-135221395(A) 4+ k.(B)+怡.(C)+ k.(D)+ k23一12

11、1239一 1233_2_662862L 2a 2_2 a ,A*和矿分别是A和B的a a_(D) 2.a设 A =妙丁，其中 a = (l,3,2)T，0 = (a, 一 1 ,a)T = a .2 伴随矩阵，如果r(A* )* ) = 1则a = lA)l.(B) 一 1.(C)2.已知矩阵一231 一21r-200_102_Ai =0209 人2 =0209人3 =1一 109 人4=020_00_-413_L 132_201_2则能和对角矩阵A =2相似的是(A)Ai ,人3.(B)A o A(OA2 ,A3.(D)A2 A设随机变量XN(01)和YN(l,l),且相互独立，则 1X=

12、-1.(C J-.(D)才. 设总体X的概率密度函数为y(Q =弓，一*h 0).记x = 丄x,和乂2 = 召总x, + x”，则有n X = n 丄；=1n(A)E(X)E(XZ),D(X1) D(X2).(B)E(X)V D(X)(C)E(X)ICX2)JDCX1) D(Xz)(D)E(X)VE(X2),D(Xi)VD(X2).二、填空题：1116小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡指定位置上./ Q 丨命(丁2 I v22 I 土 Q二元函数/(&,，)=+b八在(0,0)点是否可微？IC, +八=0(填是或否).+82ir+r+8设|广(工)(!工收敛，广(z)=eP - I

13、 f(_)Lc,则 |f(H)dz =.J ixkl 十 x) J1J1(工2$2 g2 4函数“ 一T+y +2)2在点P(i,i ,吃)处沿曲线:在该点处指向Z轴正向x + y = Zjc一侧切线方向的方向导数为.(14)设;y 夕(乂)由 esin t y+1 C 和 jc = 一/1,/ H 0,所确定，则2 It C0 2已知实对称矩阵A与於=23.0 C00合同，则二次型XA的规范形是3_设随机变量X服从正态分布N(0,1),其分布函数为(工)，则P2(X) 0） 所围区域绕轴旋转所得体积与曲线夕=fS和两坐标轴及直线工=Kt0）所围区域的面积 之和为”，求曲线y = （ t （的

14、方程.（19）（本题满分12分）设y（H）,g（H）在0,1上连续，在（0,1）内可导，且j= 3Jz f（x）dx试证存在两个不同的点M 6（0,1）,使得Z（e）= gd）XQ （）.（20）（本题满分12分）计算曲线积分/ =夕2山+ /旳+工2血,其中厂为乂2 +夕2 +云 = a2（z$0,a0）与* + y1 = oj的交线，从h轴正向看去为逆时针方向.（21）（本题满分12分）设二次型 /（工1，攵2，広3）= ：Ar =+ az2 + 3xi 4工1 工2 8j?i jc3 4厶2工3，其中一2 是二次型矩阵A的一个特征值.（I ）求a,并用正交变换将二次型化为标准形，写出所用

15、的正交变换.（I）求二次型y在条件&+/+& = 1下的极小值.（皿）若xr（A +是正定二次型，求怡的取值.（22）（本题满分12分）JQQX工 0,在X =工（_0）的条件下，随机变o ,h w o，量Y在区间（0,工）上服从均匀分布.（I ）求随机变量（X,Y）的联合概率密度/密度 X与Y是否独立？为什么？（U）计算条件概率PX + Y*J；（ID）证明：Z= X Y服从指数分布E（l）.模拟二第3页（共3页）考生编号姓 名2022年全国硕士研究生招生考试数学一模拟三考生注意事项答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生姓名和考生编号；在 答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，

16、并涂写考 生编号信息点。选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答 案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内，超出答题区域书写的 答案无效;在试题册、草稿纸上答题无效。填（书）写时必须使用黑色字迹签字笔或钢笔，字迹工整，笔迹清 楚;涂写部分必须使用2E铅笔填涂。考试结束，将答题卡、试题册和草稿纸按规定交回。一、选择题：110小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.(1)设有方程x3-3x + k = 0,其中k为常数，则该方程当 丨| = 2时，一个实根.(B)当 当 2时，两个实根.(D)当k = 2时，三个实根.(2曲线夕(A)l.缶弟#的渐

17、近线条数为(B)2.(03.(D)4.(3)函数夕(a)_W5/于的反函数的二阶导数券占(C)(FF?7-当M 12时，三个实根.设1是圆周乂2 + y = 1(按逆时针方向绕行)=xydy J = jyx 4dz +巧 dy,K = J xy3 dy + yx1 dz 则(A) V J K.(B)VK人(C)J IK.(D)K V J I.(5)已知维向量0可由ai ,a2,，皿线性表示，则错误的是 厂(a】，心2,a$) = r(i，心2，a, ,0).r(i + 0,。+0,，as + 0,0) = r(ai,0).(C”(a + 0,2 +0,，a、+0) r(i ,a2,af$)(D

18、)r(ai+0,，亿 +0) = r(a】g ,a,)(6) A是3阶矩阵A的二重特征值，在下列向量组中 (1,2, - 1厂，(2,4, -2)t,(0,0,0)t.(1,1,1)t,(1,2,1)t,(1, -3,5)t.有可能是入的特征向量是(A)或.(B)或.(1,0,1)丁，(2,3,2)丁，(1, 1,1)1(1,3, 2)T , (3,9, 6)T ,( 2, 6,4)T.(C)或.(D)或.已知A是4阶实对称矩阵，满足A。+ 2A3 +A2 + 2A = O,若r(A) = 3,则A + E相似于_1一一21.(B)-2一 1-2-0.1_11(D)1111_ 0_(A)(C)

19、设随机变量X服从(一1,1)上的均匀分布，事件A = 0X 1,B =(I X |”丹收敛；n=0(U)求该幕级数的和函数SQ).(本题满分12分)已知方程组Ax = b为X + 2#2 m 2 m = 1， 2 劝2工2 + 心 + m = 1 ,4q 10工2+ 5工3+ 处 4 = b.(I )当a为何值时，方程组有解、无解？并在有解时求其通解.(H )求方程组满足4 =吐的所有的解.(皿)若AVx = 0有非零解，求a.(本题满分12分)设随机变量X,Y相互独立，且X的概率分布为PX = 0 =1 = 的概率密度0 W 夕 1,其他，求(I)y出现在其数学期望E(Y)和方差D(Y)之间

20、的概率;(n)z = x + y的概率密度fZz.考生编号姓 名2022年全国硕士研究生招生考试数学一模拟四考生注意事项答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生姓名和考生编号；在 答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考 生编号信息点。选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答 案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内，超岀答题区域书写的 答案无效;在试题册、草稿纸上答题无效。填（书）写时必须使用黑色字迹签字笔或钢笔，字迹工整，笔迹清 楚;涂写部分必须使用2E铅笔填涂。考试结束，将答题卡、试题册和草稿纸按规定交回。、选择题：110小题，每小题5分，共50分.每小

21、题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.(1)设/(工)在2 = 0的某个邻域内有定义,在z = 0处(A)不连续.(C)可导且 /(0) = 2.(2)已知函数z =q满足足2学+ ydx3z dy0 =0(况,卩)，则学=du(A) u.(B) uv.恤星厂1 e 山-|X0 X J 2j1J：eU) =(A)8e.(B) -4e.(4)设有命题OOOO若收a”收敛，则工 泮爲a”收敛.n= 1n= 1 yTl若正项级数工满足足也 15 = 1(B连续但不可导.(D)可导且y(o)=17=n?.设 u = rv =- y-丄,=-对函数XZX(C) 0.(D) 1.(C)4e.(D)8e

22、.，则工Q收敛.=i/(0) = 0,若lim1 卩 cs 8= 3，则 /(j：)f Q) | ln( 1 + 严)dzJ 0若1im叫=Z工0,则工“与同敛散.V ”=若4= 1,2,)且丫久与刀“都收敛，贝工久收敛.n= 1n= 11则上述命题中正确的个数为(A)0(B)l(C)2.(D)3.已知的是齐次方程组Ax = 0的基础解系，那么Ax = 0的基础解系还可以是cti + 2必一5偽,3ai 一 a? + 4a3cti + 2a2 一,3c2 + 2a3,4偽 2ai 血ai + 2偽,33 + 7ai ,5ai 4偽a】+ 2a3,3a2 + 5偽 + a + 2a】+ a；.下

23、列矩阵A和B不相似的是已知 fit! = (1,3,5,- 1)T,2 = (2, 一 1, 一 3,4)丁心=(5,1, -1,7)T 线性相关，若 V0，Z0+%, 仇0 +,厶0 +偽仍线性相关，则 XU 依次可以是(A)l,3,5.(B)3,l,5.(C)5,1,3.(D)l,5,3.设 A,B 为随机事件，若 P(A) = 0. 7,P(B) = C.4,P(A B) = 0. 5,则 P(B | A U B)=7254(A) -7.(B)彳.(C ) -2- (D) y-.设随机变量X和Y均服从指数分布E(l),且X,Y相互独立，则P1 min(X,Y) 1.(C)( 1,/ 1.

24、设 / ( r) = Jn 1| sin z,则有I - 1 I(A)两个可去间断点.(C) 一个可去间断点，一个跳跃间断点.=1则(B( x = a是/(x)的极大值点./()在工 =)的邻域内单调.a 1,0 1.a 1 或 a = 1,“ 1.两个无穷间断点.(D) 一个可去间断点，一个无穷间断点.设=(攵 + y)3dc，N = JJ cos ;r2sin= JJ (e_x 一 l)dr,则必有| 韵+i訥 P. (B)NM P.(C)M P N. (D)N P M已知A是3阶矩阵且丨A 1=一，则| (*町1 +(2A)* =(A)16.(B) 一 16.(C)256.(D) 256

25、.设 ,a2,，是维列向量，则下列命题中正确的是 若a心，中任意s 1个向量都线性无关，则向量组a ,伦，,必线性无关.若&不能由心(，ai线性表示，则向量组a皿(，a必线性无关.若ag,线性无关,则(:)(：)，(；)必线性无关.若a】心,a线性无关，则ax + a2心+ ，a + as ,as + a必线性无关*(7(已知A是3阶矩阵，a,a是Ax = 0的基础解系，a是(A + 3E)x = 0的非零解.则厂仲=人 正确的是 TOC o 1-5 h z 0-P = (a, , 5a( ,a) ,A = C _3_CP = ( + 2 ,a】a ,a) ,A = C_ 一 3_C(C( P

26、 = (a】 +a.O2，a),A=C._ 一 3_P(D) P=(a，a，a2)，A=0一3_设随机事件A,B满足A UB,且0 F(A) 1则必有(A)P(A)三 P(A | A U B).(B)P(A ) P(B | A).(D)P(B )=P(B |(5).随机变量X的分布函数FQ),概率密度为fS a为常数，则不能将概率密度设成Of(j： + a).(Bta/Xor)(0/( z).(D)2/(j)F(x).将长度为1 m的木棒随机地截成两段，设第一段长度的g%X,第二段长度的寺为Y则X,Y0 /的相关系数卩务= TOC o 1-5 h z (A) l.(B) 誌.(C)君.(D)l

27、.3535二、填空题：111小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡指定位置上. 已知方程3工一8工一6才+2H + a =)有四个不相同的实根，则(的取值范围为.已知 S =则厂=-(无十 1)(%十 (+ n)()3)设连续函数f(X非负，且 g几Qdt = 2込则f心在区间0,2上的平均值为.J 0方程+b = 0 的通解为.12 F已知入=)是矩阵A = 15(的特征值,A*是A的伴随矩阵，则齐次方程组A*x =_2 a + 32_0的通解是.市场上某产品由甲、乙两厂生产已知甲厂和乙厂的产品指标服从分布函数尺(工和F2q),且甲厂的产量是乙厂的3倍，则从市场上任取一件产品，其指标服

28、从的分布函数为.三、解答题：1722小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.()7)(本题满分10分)已知曲线:y = /(X)和J e-2 dz = 2y sin x在原点处相切，试求极限1呻俨(:士工)广.(本题满分12分)设抛物线y = ax2 + bx + c通过点(0,0)和(1,2),且( ),试确定a,b、c的值使该抛物线与z 轴所围图形D的面积最小，并求此图形D绕直线工=2旋转一周所得旋转体的体积.(本题满分12分)计算线积分I =讐貰其中L为由点A (-10)经点B(l,0)到点C1,2)的路径, AB为下半圆周，更为直线.（20）（本题满分12分）设/（刃

29、=工 耳求7（攵）并讨论的单调性. 紐兀_（21）（本题满分12分）设二次型xr Ax = ax + 2x 加 + 8?2 + 2处1心 + 2oc2x3,1 o r矩阵A满足AB = O,其中B= 0 0 0._1 0 1.（I）用正交变换化二次型xTA为标准形，并写出所用正交变换.（U）判断矩阵A和B是否合同，并说明理由.（皿）若二次型xT（A + 走E）x的规范形是是+ yl 一式，求k.（22）（本题满分12分）设Xi ,X?,，X”是来自区间0,（0+叮上均匀分布的总体X的简单随机样本，试求（I）参数9的矩估计量（D）参数9的最大似然估计量矗；（n）E）和 D（N）的值.考生编号姓

30、名2022年全国硕士研究生招生考试数学一模拟六考生注意事项1答题前,考生须在试题册指定位置上填写考生姓名和考生编号；在 答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考 生编号信息点。选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答 案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内，超出答题区域书写的 答案无效;在试题册、草稿纸上答题无效。填（书）写时必须使用黑色字迹签字笔或钢笔，字迹工整，笔迹清 楚;涂写部分必须使用2E铅笔填涂。考试结束，将答题卡、试题册和草稿纸按规定交回。、选择题：110小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.（1）若/（工）在

31、点m处的左、右导数都存在，则/&）在点处（A）可导.（B）连续.（C）不可导.（D）不一定连续.（2）设 （工）=二（1 X），九 （攵）=与壮 4芒，九 （工）= sin2x 2sin jc，几（z） =d 1+ tan z 1 + Xa/1 sin X，则当X f 0时，将/1 （x） , f2 （工），九（）,九（工）按无穷小的阶数，从小到大排列为（A）/1 （工），九（工），九（工），人（攵）.（引九 （工），九 （工），九（工），）（工）.（C”4 （z） ,九 （工），九3 Q），/1 （攵）.（D） fz（X）,九（工）（工），九（X）.丁卄2（3） 设 f（工） = limQ

32、$ 0），则 /（工）在区间（0, + ）上2加+工2”（A）连续.（B）有一个可去间断点.（C）有一个跳跃间断点.（D）有一个第二类间断点.（4） 设函数 fS 有二阶导数，且 lim= = C,lim 1（ f- = 2021,则i*o la（ l 十 h）工一o 于（A）/（0）是/（&）的极大值.（B）/（0）是于（的的极小值.（C）（0,/（0）是曲线y = fCX的拐点.（D）/（0）不是 g 的极值，（0/（0）也不是曲线夕=fS的拐点.（5）设A为阶矩阵，对于齐次线性方程组（I ）Ax = 0和（H）A”+，x = 0,必有（A）（II ）的解必是（I）的解,（I ）的解也是（

33、H）的解.（B）（ I ）的解必是（D ）的解，但（H）的解不是（I）的解.（0（ D ）的解必是（I ）的解，但（I ）的解不是（D）的解.（D）（1）的解不是（H）的解，（a）的解也不是（I）的解.（6）设A是mXn矩阵，矩阵A经若干次初等行变换得到矩阵B，下列命题中错误的是（A）A的列向量可由B的列向量线性表示.（B）A的行向量可由B的行向量线性表示.（C）A和B的行向量组等价.（D）A的列向量子集与的对应的列向量子集同时相关（或无关）.1 一 r(7)已知A =1-1 (A)E-atT. (C)E 2aT.01 血是3维单位列向量，则与A合同的矩阵是1 0 _（B）E + mtT.（D

34、）E + 2ar.(B)P(AB) = 1 一 P(B). (D)P(A U B) 1 P(B).(8)设A,B为两个随机事件，且A U B,则(A)P(A B) = 1 P(A).P(忑 U B) = 1一 P(A).(9)设随机变量X与丫相互独立，且均服从参数为1的指数分布，则Pmin(X,Y) 1)的指数分布,则根据切比雪夫不等式估计+其中A为(A) P(B)吉.(C)A.(D)A2.二、填空题：11- 16小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡指定位置上. TOC o 1-5 h z (12)设 *(j)为连续函数，且 2)=b+工 j fg则/(D)=.(设为区域工2 + $2

35、 + 乂2 1，则| (fr +器 +务)=.(14)设有向量场A = x2y2zj 其散度div A在点M(),1,2)处沿方向I = 2,2, 1的方向导数芈(div A) I =dlI M(15)已知 i = (1,0, l)T,a)= (2,1,1)T ,03 = (1,1,1)T 与禹=(C,),1)T, 02 = (l,-1,0)T , 爲=(1,2,2)T是疋的两组基.若y在这两组基有相同的坐标，则y =.设X“X2，X”为来自标准正态总体X的简单随机样本，记衣=丄 X,71 = 1S2 则 E(F)=.n 丄匸1三、解答题：1722小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或

36、演算步骤.(本题满分10分)设函数/(工)二阶可导，/(0) = 1,/(0) = 0,且对任意工C有/(c) 5/(工)+ 6于Q) ,0,证 明不等式J*(工)3尹- 2尹(工彳 0).(11)(本题满分12分)求极限/ = limX0+才一(sin x) 工2ln(1 + 乂.(19)(本题满分12分)设设心，)有二阶连续导数，g(z“)= ie,/+b),且且守守啓圭3詈=0,证明 兀 y(j：-i)2 +ygC,y)在(0,0)取得极值，判断此极值是极大值还是极小值，并求出此极值.(本题满分12分)(_ -I n+l求無级数数+2E加士严的收敛域及和函数(本题满分12分)设A是三阶矩

37、阵，ai ,az ,a3是3维列向量，其中a3 H 0若= a ,Aa2 = a3，如Z3 = 0. (I )证明 a ,a3线性无关;(口)求矩阵A的特征值和特征向量；(H)若仙=(0,l,0)T,a2 = (l,0,0)T,a3 = (0,0,1)T,求 A,A3 和(A + E)3.(本题满分12分)已知二维离散随机变量(X,Y)的概率分布部分数据如下:(I)求分布中的其余数据;(U)X与Y是否相互独立？(皿)求 Cov(X,Y2).模拟一参考答案一、选择题（1）【答案】D g（t）dtz 、【分析】由于limj = Mm卑=0,故应选（D）.工0JCzO 乙工tan arcsin 壬（

38、2）【答案】C【分析】0Hm *H)tan 无 + tan 工曲 TOC o 1-5 h z x0Xx-*0lim 2)+1 = lim七玄“工一严n工 工一* 02x0Hlim (tan h 工 一(arcsin 乂 一刃X0Xlim1 + /(Q)映映=limif osin工1 +Q、sin j十1 +心丿（3）【答案】A【分析】本题考查数项级数收敛性的判定，其中由定积分给出一般都用正项级数比较判别法；或者使a”能比一个收敛级数的一般项小（或等），或者比一个发散级数的一般项大（或等）.因为工工$0,所以a中的被积函数有从而0 v a”fTRyJ：吕吐=# xl爲1+卫1JC22_ 丄T壽由

39、于P级数（/ = #）寺收敛，所以原级数a收敛，即绝对收敛.应该选（A）.n= 1 7 2= 1丄丄【评注】 如果这样放大吕-，就会选（D），得出了错误的结论.放大”或“缩小”是“科技含 量”很大的，要多做练习才能有所领略.（4）【答案】D【分析】 记D为工Oy平面上的圆盘，其方向规定向下（负z轴方向）.记V为上半球:*+ / i,z$0, 则根据高斯公式得jj xdydz + ydzdx + zAxAy + j xdydz + ydzdw + zdxd s+d+另一方面 JJ xdydz + ydzdx + zdxdy = 0. d+所以zdydz + ydzdx + zdxAy = s+2

40、tt.(5)【答案】A【分析】由于-2 an2 0,b0).(k + 1 0p = 2、q = 0O 00& = 3k 一 3 = 0选(D).(8)【答案】B【分析】方法一P(A | B)=P(AB)P(B)P(B) P(AB)P(B)0. 9 P(AB)0?9P(A | B)最大，即 P(AB)最小，但 P(A U B) = P(A) + P(B) P(AB)即 P(AB) = 0. 7 + 0. 9-P(A U B),P(AB) 最小，就是P(A U B最大，P(A U B)最大为1,所以P(AB最小为0. 6.PCA | B)最大可能值为气于=答案选(B).方法二 P(A | B 最大

41、，即 P(A | B)最小，P(A | B =芋簷，也就是 P(AB)最小，P(A) = 0. 7,P(B) = 0. 9,所以P(A)最小应为0. 6,P(A | B = 罟=缶这时，P(A | B =专，答案选(B).(9)【答案】C【分析】Pmax(X,Y) = P (X p) U(丫 “)=PX “ + PY ” 一 PX ”=* + *-Pmin(X,Y) =l Pmin(X,Y) p=Pmin(X,Y) “,选(C)我们也可以这样考虑，由于Pmax(X,Y) p = 1 max(X,Y) Wp = 1 一 XMp,)M = 1 P(AB) 其中 A = X j,B = Y)j.已知

42、 X NS，/)n(“,/),所以 P(A) = P()=寺.min(X,Y) R = 1 Pmin(X,Y) R = 1 p,Y p=1 - P(AB) = 1 P(A U B) = P(A U B)=P(A) + P(B) -P(AB) = 1 - P(AB) = x选(C).【说明】本题可以有如下的变式：已知随机变量X与)都服从正态分布N (“,/),且PX0,Y2” =x,则PXWO,Y22； =.【答案】 记A = X- Q B = X 2血，由题设知P(AB) = a,P(A) = PX 0 = 1 PX2R = l Y2R = 1 0(匕),故 PXW 0，YW 2p = P(A

43、B) = P(A U B) = 1 - P(A U B)=1 P(A) P(B) + P(AB) =1_佇)_ l + (严)+a = z【评注】 选择题可以不要求推导过程，本题X,Y不一定独立，但如果X,Y独立结论一定也对，故为简化不妨 假定X,Y独立这时，a = Pmax(X,Y) p = 1 一 Pmax(X,Y) “ = 1 一 PX “,YW”113=1 - PXW“HYWp = 1 专 X 一 = 一,而Pmin(X,Y) Wp = 1 一 Pmin(X,Y) “ = 1 一 PX “,Y R113= 1 px“py“ = i_y x* =丰所以答案必为(C).如果熟悉二维正态分布

44、的对称性，这类题可以直接从对称性判断.(10)【答案】C【分析】 第一类错误：拒绝实际真的假设Ho(弃真)，即 a =11 | pM 10.第二类错误：接受实际不真的假设Ho(纳伪)，即乩 真时接受了 Ho.B=呃 11 | “10.故应选(C).二、填空题(11)【答案】ef【分析】sin(KV4n2 + 2) = sin2 + 兀4?/ + 2 一 2九)=sin 兀(J 4?2 + 2 一 2n)=smlim rsin=lim n /4沖 + 2 + 2n2化丿曲+ 2 + 2”i2“=lim =”f 8/9V4 + 4+2兀2故 lim (1 + sin(G4?/ +2) = e?.(

45、12)【答案】1【分析】鳥r +如几几爲=】(13)【答案】5k【分析】积分域2+2+ 2$为圆域(z 1严+ (y 一 1严 2.令 X 一 1 = u,y 1 = s则JJ(x + y2 ) dzdy = JJ (% + 2u + 2 + d )dmdu = jj (2 + tj2 )dudD也+/2也+”21 = PY+ Y 1 + PY = 1,X + Y 1=PY=1,X2 + PY= 1,X 0=PY =-X 2 + PY = 1PX 0十T+Tf1-三、解答题（17）【解】（I）令H t = u则I Au.t | jc 一 Z | dz =(2 u) |由此可知*为为偶函数，且当

46、工$0时u)udu 一与一=一工2),6 0&) =空_1 =于(工-令)(z0)./J）=工丁-.令 f（X）= 0 得工=-y.令 f （工）=0 得 H = *.则f（&）在（0,）上单调减，（寻，+8 ）单调增.曲线y = /（x）在区间（0,*）是凸的，在区间（，+8）上 是凹的.由对称性知，函数f（z）在z =士彳取极小值，/（士 -y ）=-菁，在乂 = 0处取极大值，/（0） = O曲线y = 在区间（一一#，*）上是凸的,在区间（一8, *）和（+，+）上是凹的，拐点为（士寺，一春）.（II）令fG）= 0（无Z 0），得4 = 0,工2 = 1,则所求面积为S = 2J；

47、+（乂2-无3 ）dz = 36-所求体积为V = 2兀兀：手（j?-h3皿=金.(18)【解(I工心血+ y血必+ zdzdy2xdydz + yAzAx + zAxAy jjjrdj/dz + yAzAx + zdzcly), +ss其中S为平面域X+y的下侧，则由高斯公式得曲-0 ) = 2 X 討=2”. a(f)补面E和2,其中E为上半球面z=#的下侧2为面上介于去+一 = 1与召+各=1之间的平面域的下侧，则-f -FFJodv卜 0s+sx +% N s2n工=2 k.(利用高斯公式)(19)1证明】令处=，则dz =鱼心=丄于(r)dt.从而nn Jo2又由于T2(H)dj：收

48、敛，设I f (h)cLz = A，则_8_ 4-8 _ 2当a0时,级数刀 令收敛，故级数工 牛收敛.n= 1 = 1 【评注】本题在证明过程中用到一个重要的积分不等式，即柯西积分不等式2f 一一W I /2(H)dH g2(H)dz.(20)【分析】 令/(工)=1十工，则工卄1 = *(九)，且九 0,显然ft工)在工0处单调减，则九不具有单调性.【解】令lim九=a,则limw卄1 = lim y一，即a = ,a =由题设知工” 0,则a = 。1 ,以”f8-8”f8 1 一 工n1 一 aZZ由题设知11+又1+a逅戸 1则理苗-=0.(21)【解】(I )由特征多项式一2A-

49、1A + 1 2A- 1 一2一 1A0A 1=(入 + 2)(入 一 IP.入一 1矩阵A的特征值为入=1(三重根)和一2 当A = 1时，由(E A)兀=0,-2-200 -_ 1100000-2-0000 -E-A =-1-10 000010000-0000-得基础解系 = (1,1,0,0)丁2 = (0,0,l,0)T. 当 A =-2 时，由(一 2E -A)x = 0,得基础解系= (- 2,1,0,0)丁所以A = 1的特征向量为ka, + k2a2，尿不全为0,入=2的特征向量为kg，k工0.B的特征值为1,一2,特征向量依次为風=(1,1)丁02 = (-2,1)1 令卩=

50、(风，他)有 P BP = A =2，于是 P1 B p = A = ( 2)”二i-12 + (2)卄2 + (2)”C2n11寺(_2)卄1T+寺-2)土001-*(-2)”T + *(-2)”000012n001:-那么(皿)矩阵A不能相似对角化，因为入=1是A的三重特征值但入=1只有2个线性无关的特征向量.(22)【解】(I )统计量兀和T2都是参数/的无偏估计，所以= E(T2)=几由题设知总体XN (0,/),故灭N(0,弓)和 y 严X2(”_1),且来与&相互独立.由此得茫兰 N (0,1),呼於.根据X2 (”)的分布性质：如果Y於(”)，则E(Y) = ”，D(Y) = 2

51、”.，而 E(S2) = D(X) = /，总之E(2)= bE(S) = 血 = a2,E(T2)= E(X2 +怠彳)=E(X2 +k2E(S2) = + k2a2 =解得d = 1,2 =nD()= D(S2)D(T2) =X2 +S2 ) = D(X2) + D(因为为学才（1）,故D（ T ）=2,即D（X2）=筈-而（也：弓空 *（”一1），故D（5弓用）=2（”一1）,即D（S）=总十y.【评注】解答本题时我们应用了下面两个重要性质：（1）如果总体XN（,/）,样本均值和样本方差为灭与S ,则戈N（“，弓）和二孑和*（一1）,且灭与&相互独立.（2）如果 丫 x（n,则 E（Y）

52、 = ”，D（Y） = 2n.如果熟知X2 （”）的上述性质，本题的D（T2）也可求解如下：工N（0,汀孚N（O,1）一、选择题（1）【答案】D【分析】方法一模拟二参考答案HmLL+sin 2j)g_二兰 a ln”Q+ 丿1 + / )d0ln( 1+sin _L?、e P2 lim (1n(z +1 + 兀2 ) 刃)zoaxln(l+sin 2丿)一2,e2 h ex2 1hma x-*ojCeimln(l + 血 2#) 2/4hcos 2 工2_e21 + sin 2j*工lima g*o4e?a(n+2)(n + 2)工小2亡一1 一 sin 2;*X応 cos limx-*01,

53、n = 2e2 .方法二 lim(1 + sin 2#)誉a In (z + /1 4 x2 )x-*0=lhnln(l + sin 2，) 2/ a2sin 2工F o(sin2 2X ) 2壬e 2=lma 0严n = 2 ,q = 2e2. 故应选(D).（2）【答案】D【分析】 由于工=0是无界点，则将原积分分为两个反常积分匚Ml护也=皿+也血+厂（1 + *）dx.敛，由于当工当0时，ln（l+* ）尹则则反常积分J。旦L护）吐收敛可得a V 3.f+o由于反常积分IHy （当 a 1 时收敛+8 in /1 _1_ 异 去收敛，塑卫=0,则2 I立 1皿屛且“m山（1 + ；）=+

54、*，则当当时J 呼1n（1 + sc2 ）甘由 八, i 亠十 Fz 乐，其中 a X 由于 J _ 丁乂）也发散当 2当a1时发散i+8Ji h5（1+ 疋）虹收敛，故要使反常积分旦!古壬治收敛，则la3. J1才Jo#8 1（ P A* 1 收敛，P w 1发散，心）【评注】这里用到两个基本结论:Jhdx(P 1(心1收敛，发散.（3）【答案】C【分析】1找驻点就是找/ 0,当n N时| u | 1,从 TOC o 1-5 h z n=ln=lf8而0 =尤|“”|，则收敛，故应选（D）.【评注】其余选项都不正确.、” 8OO_8OO事实上，若取” =（_ 显然= Y L 收敛，而2 （

55、1）1” = 艺发发散，（A）不正确. n= 1” = 1n= 11若取给=（l）nn，则Hm纟巴=Um -茸茸十=lim空 + 收敛，级数1 + 壽-令 + 收敛，则 则”收敛.而2 (= + 一 1 + * 一 * + * 一 * + =一 1 况”=另（lYn显 ”f8 Un”-*8（ 1 ） 72”-8 n然发散，则（B）不正确，若 丫“”为正项级数，此时（B）正确.n=ln为偶数，X为奇数，此此时=寺+1+右一左+君+壽+由于级数* + + +歹级数+ + + + + +收敛；级数一 1 寺-y丄发散，则级数 （- I）1谄 发散，（C）不正确. =1（5）【答案】B【分析】 因”

56、r（A） = 4 3 = 1通解形式必为a + 切.由（6 + a2）+ 2（C2 2a3）= （a, 一） + 3（a2 偽），而 5 一 a 与血心 是 Ar = 0 的解，故（5,9,3,2）丁 + 2（8,13, 12,6）丁 = 7（3,5, 3,2）T必是Ar = 0的解，于是（3,5, 3,2）丁是4c = 0的基础解系，排除（A）（C）i +a不是是血 = b的解，排除（D）,故应选（B）.其实一（ -2偽）=a3 + （3 一心）是 Ar = b 的解，即 一（8,13, 12,6）丁 是 Ax = b 的解.(6)【答案】B【分析】 由A = 妙是秩为1的3阶矩阵，则r(A

57、- ) = 0,即A* = O,于是A* B，=B，, 那么 r(A* - B* ) = r(B ) = r(B ) = 1O(B) = 2.aa2-2a + 2a2Zq + 2a2-B =a2aA2a + 22a02 a a 一 2aa-2 a + 2aa-00a 2所以a 1.r，r(A) = n,【评注】r(A* ) 1,r(A) = n 1,o,r(A) n 1.(7)【答案】C-2【分析】和对角矩阵A=2相似U矩阵的特征值是2,2, -1,且入=2有2个线性无关的特征向量.- 1一对于矩阵A】，特征值是2,2, 1而-10=2 ,n r(2E ) = 1,3 -P 3r(2E A )

58、 = r 00_0 0说明A = 2只有1个线性无关的特征向量.因此A不与A相似，排除(A)(B).那么由选项(C)(D)知矩阵玉一定和A相似.在矩阵A3的判断上，可利用两矩阵相似有相同的秩，从而排除或直接地，对于4是下三角矩阵，特征值是2, -1,2.-00O-且-(2E 一 A3 ) = r 130 =1,九一厂(2E A3 ) = 2.-1 3 0_即A = 2有2个线性无关的特征向量，从而AA._2 -或A4的特征值是2,3, 1故A不与 2相似.-1-【答案】B【分析】XN(0,l),YN(l,l),且X与Y相互独立，则X + YN(l,2). X + Y的概率密度具有对称中 心 1

59、,所以 py 1 x = px+yi=寺.【评注】 本题如果不用X + YN(l,2)具有对称性，而直接利用公式：PY 1 X = PX + Y=r V E(X,) + 人=A + ，所以 E(X ) E(.X2).n 1 =n nn-n1D(X)= +工 D(Xj = A，D(X)= _1_2E(X,) + 彩=+ 令,D(X) D(X2),选(D).二、填空题（11）【答案】否【分析】字|=血/（m）= 0,3 工 | （0,0）jfO纠=lim（O03/（，）=O,（o,o）30夕/ （/（0,0）（学1# + 学Ay。工 I（o,o）I（o,o）J工$ + 吋不是无穷小,所以二元函数f

60、（工,）在（0,0）点不可微./I 巧.sin(Af + W)(2 + a/（12）答案】茶仏【分析】 等式= / e* +工“冷 J：/（E）dk两端从1到+ 8积分得f+82f+(丁 丁+8x)dx = J 1 乂 e- d. + J 1 1(十7) *刃吐12d卩2它2+厂冷 2X e+ J xe dx1er 吐 =i f |7 i h(1 + h) n 1 I i=in 2.r+8ir+8r+8则 Jf(;)dj： = + In 2 j /(工)也，由此解得JX(H)dc =1(l-n2)e（13）【答案】一寻荷【分析】 曲面面+ J2 + / = 4在点P（1,1,V2）处的法线向量