1999-2007上海交通大学高等代数

1、上海交通大学1999年硕士研究生入学考试试题试卷名称：高等代数(10 分)设 P 为数域。f (x),g(x)g Px令F(X)= (x2 +1)f (x) + (x2 + x + 1)g(x)；G(x) = xf (x)+(x + 1)g(x)。证明：若 f (x)与 g(x)互素，则 F(x)与 G(x)也必互素。(10分)设J为元素全为1的阶方阵。求J的特征多项式与最小多项式；设f(x)为复数域上多项式。证明f (J )必相似于对角阵。(10分)设 n 阶实对称矩阵 A = (xy.)，其中 xy. = a taj +1 且a1 + a2 +. + an = 0，求A的n个特征值。 设A

2、为复数域上n阶方阵。若A的特征根全为零，证明：A + E = 1。此处E为n阶单位阵。4(10分)设f(x)是数域F上的二次多项式，在F内有互异的根x”x2，设A是F上线性空间L的一个线性变换且A丰xj , A丰x21(I为单位变换)且满足f (A) = 0，证明x”x2为A的特征值；且L可以分解为A的属于x”x2的特征子空间的直和。5 (10分)用正交线性变换将下列二次型化为标准形，并给出所施行的正交变换：x12 - 2x22 - 2x32 - 4x1x2 + 4x1x3 + 8x2x36(10分)对的不同取值，讨论下面方程组的可解性并求解： 7(10分)假设A为m x n实矩阵，B为n x

3、 1实矩阵，AT表示A的转置矩阵。证明:(1) AB=0的充要条件是AtAB = 0 ；矩阵ATA与矩阵A有相同的秩。8(10分)设4, A2,., Ap均为n阶矩阵且4A2Ap = 0。证明这p个矩阵的秩之和 小于等于(p -1)，并举例说明等式可以达到。9 (10分)证明任一可逆实矩阵可分解为一个正定阵和一个正交阵之积。10(10分)设W为欧氏空间V的一个子空间。b e V,a e W证明若对任意a e W，ba (15分)以P2x2表示数域P上的2阶矩阵的集合。假设a,a2,a3,a4为两两互异的数而且他们的和不等于零。试证明A =(1a1 A=(1a A = 1a A J1a41 a；

4、a： J， 2 ala4 J， 3a；a；丿，4 a；a：丿是P上线性空间的一组基。3(15分)证明：阶实对称矩阵A的秩为r,(r n)，当且仅当A可以写成A = CbCT，其中B为n x r阶满秩矩阵，C为r阶可逆实对称阵。4( 15 分) 假设 f0(x4)+xf1(x10)+ x2f2(x15)+x3f3(x20)+x4f4(x25) 被X4 + X3 + x2 + x +1 整除。证明：fi (x), (i = 0,1,2,3,4)被x 1 整除。5( 15分)设A为阶反对称实矩阵，B = diaga1, a2,., an，其中ai f 0，证明A+b f o。6(15分)n阶方阵A满

5、足等式A = A2，当且仅当n = r(A) + r(E A)。7(20分)设A，B都是n阶实方阵，并设2为BA的非零特征值；以VfA表示BA 关于2的特征子空间。(1)证明：2也是AB的特征值；(1)证明：维数VBA )=维数8(20分)设A，B都是n阶正定方阵。试证明：AB的特征值为实数。9( 20分)记V = Pnxn，P为数域。假设A eV有特征值2 (i = 1,2,., n)，但2 (i = 1,2,.,n)均不是A的特征值。试证明:V的变换皆:X T XA + ATX为同构。 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark30 o Current Docum

6、ent 上海交通大学/ HYPERLINK l bookmark32 o Current Document 2003年硕士研究生入学考试试题.试懸字号：423试題名称:石鼻代数.（答案必须写在答题纸上，写在试题歩二却一律不给分）1 0 0、设/= 2-10.求d. （15 分）、1 2 1,以PS2表示数域p上的2阶矩阵的集合。假没二卫244为两两互异的数而且它们的和不等于零是P上线性空的一组基。（15分）证明：阶实对称阵虫的秩为r （r 0.证明AB015 分）； ”阶方阵4满足等式A = A2,当豆仅当” = F（4） + r（E-4）.（15分）设A,B 是“阶爭方阵，并设；I为B4的非

7、零特征值。以了严表示加关壬2的特征字空间-C1）证明：2也是48的特征值；（2）证明：维数即 =维数（设&E都是”阶正定方阵。试证明：的特征值为实数。（20分） 记？=严，F为数域。假设AV有特征值/!,（/ = 1,2,）,但 -a,（/ = 1,2,）均不是4的转征值。试证明：卩的变涣血+ fX为同 构。（20分）.20分）血交通大学004年硕士研究生入学考试试题旧一试題名称r高审代数2答案必狈写在答JH妊上，写在试恳爺上的一*不给分）为次裁不超过3的莒项系数为丨曲互异多M式.假设IBB纯畫除试求俯）的量大公因式.5分） 注p 0 f耘P上所有3x3矩阵爼成的钱性却!.对于.心0 I 1

8、.求 、0 2 2但骄在非零柜阵H,便得B-必丹成为正定矩阵（附炭示矩淬”的转置.） 眄分） 耳,a.与久厲他是“维欣氏空闾中的向粗.证明：存在正交便得心.艮对于所可的（1乙山成立，当且仅当内积 V强43冲卫:鴻下而多项式的所有根：/（X）-x3叫叫-O,叫a.-叽.5 分）r-2-af-hx-2-aJ.h叫a,x-2-aJ2 IT, MIX用K忆分别眾示以下两个关于未鑒敛囂丿卫的方趨组的解空間：= 0二 Qx+qy-rO 讣 + 毎4*0.l -yv = 0! x*y*&r = 0试瑚定a.b曲值便得耳+玖为与的直和（【$分）设n驸方叢小足-6才+11.4-6f“.试31定史得疋+二可逆的敎

9、上的 范番.（E为承矽萍）（15分）、 -、对子数域户上的”维线性空何/，假设存在上的潼性变換6氏“瀟足CD rF = 0； （2） 0的秩小于&的快*试匹明；f与&至少老一个公关的特匿 向量.（15分）如果iftHEP上的维裁性空洵卩的纹性变iftb在P中有”个两两互异的特征 0 试求岀r的不变子空间的个St （xw-MwjjMjcjxo.）. （IQJ1字交通大学-、2005年磺工研究生入学考试试题 试题序号:里竺 试題名称二高等代数(含近世代数基础知识)(答案必须写在答題纸上，写在试趣裁上的一律不给分)1-下面的n元线性方程组何时无解、有唯一薯、有无穷多组 解？有解时”求出解：G11 l

10、ai 11aaJ工2Xn/ZaAa丿 （15 分）1I2-假设 /（X）=2 -z 2-x32X3 - 12x2 1 3 护1 4X3 1证明；存在实数c(0 c 1),使得(c) = 0,这里(工) 为/(x)的导函数;在-Qr中将/(z)分.解为不可约因式之积。共15分)对亍n阶方阵4及n阶可逆方阵假设r(E /lB) + r(E + BA) = n.求证：r(A) = n.(这里，r(X)衰示矩阵A的秩。)(15分)假设/lmxn長行满秩实矩阵，m Q,XAX2 0,试证明：存在n维非零实 向量Xo使得XAX0 = 0. (15分)假设7是数域P上的n维线性空间，而6是/上的线 性变换，

11、且溺足cm + 46 = Iv, =叭(其中Iv是Z的恒等 变换，ij=l,2,3,4).求证：(5。3)7(0)定6的孩叭1(0)与对) 的直和。(2假设n阶方阵4、B、C、D关于矩阵乘法相互可以交 换，如果 =试证明：r(人8) =+(15 分)对于实数域上的n2筆线性空间K =腳(九阶方阵全 #),如下定义V上的一个二元实函数-：P.Q = tr(PrQ),并 记|F=只鬥(其中，tr(C)为方阵C的对角笺元素之和J。证明：V关于成为一个欧氏空间：对于半正定矩阵P,Q,命P-Q = R.求证；1IPQII 拥冈巴 -(10分)用2表示数域F上的阶方阵的集合。(1)证明矩阵的等价 是集合V

12、上的一个等价关系；(2)求等价类的个殁；(3)对于每个等价 类，各写出一个代表元.(15分)9一假设 G 为 71 阶循环群.记 = m G Z/nZ|(m,n) = 1. 求证：Un关于2/nZ的乘注作成群：(2) G的自同构群Aut(C?) 与U*同构。(10分)10. F Z/3Z.求多项弍 f(H)= I3 4- 2r + 1 e rj 在 F 上 的一个分裂域K,并在KM中再多项式/(y)分齋因式.(15分)11对于髙斯整数坏Zi,求证 2f/(2 + )SZ/5Z;束域丸同/(2 + i)的特径。如果，+卩=是z中的洪艺，试证明：Z/(a 4- W)二 Z/p. (10 分)上海交

13、通大学2006年硕士研究生入学考试试题试题序号：423 试題名称：高等代数，(答案虽须写在答题娥上，写在试题纸上的一律不给分)1.设有两个线性方程组，52、+ ai2X2 + + amxn - blt+ 22J -*+ (t2u-rn 壬 2;(】).4 知护2 -I卜= bm11y + 啦!/2 + + 吗= 0,+ mi/2 41- d-m2ym = 0, (2) ln/l + an 0,，加如+炖血+虬1血=1.证明方程组(1)有解的充要条件是方程组无解.(满分15分)2-计算下列行列式的值，0 + *1100 00尙i十阿0 000切切+。3两 000000 n-200000 知.+

14、5-20000 n-la-l + an*(满分15分)3.取向鱼空间R4的一组基! = mg =(1, i,i, iy,5 - (1,1,-1, iy, a.| = (1,1,1,-iy.已知在基 ai, T,向量 a 的坐 标魁(-2,0,1,2儿线性变换9的矩阵是/ 1求在壓 01 = (3,1,1,1) 02 = (1,3,1,1)； 03 = 1,3,1)； 04 = (1.1,1,3)下，向 蛍a的坐标和线性变换v的矩阵.(满分25JJ4.用正交变换化二次型为 /(Ti X2,a：3)= xj+4x|+4x?_4xi：C2+如仲3(5 标准型(满分斓丁5-设八是3阶实矩阵，且存在a

15、G应使得a, Aa,线性无关，井且4aa二5护o - f5Ax.求矩阵2AZ + 31的行列式，其中f是3阶单位阵.（满分15分）若卩为索数，证明/（X）=严 + #-2 + + 丁 + 1在有理数域上不可约.（满分15分）没儿B是“阶复方阵* AB二BA,又它们都相似于对用阵，证明存在非奇异矩阵P,便PQP及P XBP同时为对角阵.（满分20分）&设秩为h - L的n阶矩阵A的特征值为冶，入n：其中= 0,求.4*的Jordan标准型.（满分15分）上海交通大学2007年硕士研究生入学考试试题试缺号；423 试題幽称:（答案眩须写在备题紙上，写在试，题址上的一律不鎗汾）一、判断题仃o分）1.

16、设儿B为n阶方阵，且A秩等于B秩，则对任何自然数m都有Am扶寻干8； 秩.2设T为实数城上n维线形空间V上的线形变换，划妊V上不一定存在T的舞征向 虽.3若n维耐盘b不在由A的列向址生成的列向壁空间中，则方程组心=6无解.t对一个矩阵实行行初等娈换不改变其列向址的线性关系，5.任何个实方阵必相似千一个实上三角阵.二（20 分）1-计算下列n阶行列式 TOC o 1-5 h z 乂 十 yxy0001e 牛 y3ry00n_01x 4-* 00n=+,4 .000工 + yxy0001工十M2.已知屮尹沪，试证方程组OJ：! + bZ2n = 1+ bXn-l h 1* F 丄* r| * JB

17、巧+力二 14 4丄佩二 16x”_i + arn+a = 1kci + ax2n 兰 1有唯一解，并求出它的第.三（15分）间k取何值时方程组AX二B有唯一解i无解；（3）有无穷多 鮮，此时求出它的通解.其中四(10分)、设-4 =“”，B 也4.证明Ah = 的解也罡Bx=Q的解的充要条件是s个方程组*4j lk2,- ,s都有解其中毎；(b八,bj-i，- , bjn) ,) 1,2, - - , 3.五(20分)1 .设/W,p(i)为数域F上的多项武，证明(/,9)= 1当且仅当1-2 ,用 H-a, H-bir-c 除 f(l)的余式依次为 r,s,t,试求用 ff(x) - iT-a)(r -h)(r-c) 除妙的余式.A (讪分.逐明维数定理；设V为数域F上的n维线牲空问.US 为V的两亍子 空间，试证- J + Hl/j) = dim 们 + dim 旳，七10分)、设A, B分别是數域F上n X讥、e X p矩阳 V是齐次线性方桎组TAB = 0 的解空间.求证7 =佃=工內h V为F*的子空何，并求.V的维数.八(10分)、A为非零矩阵但不必为方阵，证明AX = E有解当