《金融工程学》课件第06章

1、金融工程学 第五章 合成与复制1 第六章 无套利动态过程2第七章 风险中性3第二篇 原理与方法本章学习目标：理解套利概念的内涵；认识无套利均衡的实现过程；掌握无套利均衡分析与定价的一般方法；了解无套利均衡方法在金融分析中的理论与实践意义。 第六章 无套利动态过程按照菲利普H戴布维格和斯蒂芬A罗斯的定义，套利是指投资者在不需要任何初始投资的情况下获取无风险利润。在理论上，套利被界定为一种这样的努力，即通过在多个市场同时建立一个组合头寸，不需投资就能获取无风险利润。第一节 套利与无套利均衡一、套利（arbitrage）有三点是至关重要的：首先，头寸的建立是同时的；其次，不需要初始投资；最后，收益是

2、确定的，组合头寸不存在风险。套利交易者要想购买任何金融产品，必须先卖出某种金融产品，然后用所得收益实现目标资产的购买。比如，投资者通过对资产A的分析，发现资产A被市场低估（undervalued），也就是其市场价格低于其价值。投资者希望买入资产A，以获得无风险利润，在这种情况下，要发生套利行为，投资者需要寻找购买资产A的资金，因此必须卖出某种资产B，并要保证到期卖出资产A的资金能买回资产B。也就是说，套利需要借助一个零成本的投资组合，该组合能够保证其期末价值要么为正要么为零。第一节 套利与无套利均衡一、套利（arbitrage）第一，套利不需要任何初始投资，即套利策略是自融资策略（self-f

3、inancing）。在金融市场上，套利行为时常发生，但套利过程是一种实实在在的客观过程，没有夹杂任何主观判断。当投资者经过深入分析，发觉某一种资产A的价值被低估，于是他买入该资产，过一段时间后，资产A的价格果然回到其价值，投资者获得利润；第一节 套利与无套利均衡一、套利（arbitrage）第二，套利获得无风险利润。相反，如果投资者发觉某一种资产B的价值被高估（overvalued），他可以卖空资产B，过一段时间后，资产B的价格果然回到其价值，投资者以较低的价格买入资产B偿还卖空头寸获得利润。这两种情况下的利润都不能称为无风险利润，因为资产A的价值可能长期被低估，而资产B的价值可能长期被高估，

4、此时投资者获得利润的愿望就会落空。第一节 套利与无套利均衡一、套利（arbitrage）第二，套利获得无风险利润。无套利均衡原理，有时也称无套利原则，是指具有相同价值的金融资产在同一个竞争的市场中应当具有相同的价格。也就是说，在竞争均衡的市场中不存在套利机会，两种自由交易、可完全替代的资产在没有摩擦（如交易费用、卖空约束、税收等）的情况下，必须按同样的价格进行交易，投资者不可能取得零投资下的无风险收益。第一节 套利与无套利均衡二、无套利均衡原理（no-arbitrage equilibrium）无套利原理的运用最早体现在1958年Modigliani和Miller研究公司资本结构与公司价值之间

5、关系时的重要成果（即MM资本结构理论）中。MM理论认为，在理想的市场条件下，公司的市场价值只依赖于它的现金流，而与资本结构和分红策略无关。这就是说，公司的投资决策和融资决策可以完全分离，公司的金融活动本质上并不创造价值。第一节 套利与无套利均衡二、无套利均衡原理（no-arbitrage equilibrium）例6.1 假设有A、B两家公司，它们的经营风险相同，其息税前收益（EBIT）都是1000万元。两家公司具有不同的资本结构，A公司的资本全部由股本权益组成，共100万股，金融市场对该公司股票的预期收益率是，这也是公司的资本成本。在没有所得税的情况下，公司所有净收益都将以股利的形式分配给股

6、东。第一节 套利与无套利均衡二、无套利均衡原理（no-arbitrage equilibrium）根据公司未来收入现金流的风险性质，A公司的价值可以根据资本成本对收益现金流的折现来得到：第一节 套利与无套利均衡所以A公司的每股股票价格为10000/100=100（元/股）。B公司的资本中有3000万元的负债，年利率是6%。每年需要支付30006%=180万元的利息。假设公司负债是无限期的，B公司的权益股份数为60万股。下面通过无套利原理分析B公司股票的价格。二、无套利均衡原理（no-arbitrage equilibrium）首先可以粗略地分析一下，由于A公司和B公司的收益相同，因此两个公司相

7、同的份额应当具有相同的价值。考虑1的份额，A公司的价值是100万元，B公司对应的是7000股股票及30万元公司债券。因此B公司7000股股票的价值是10030=70万元，B公司股票价格为700 0007 000100元。第一节 套利与无套利均衡二、无套利均衡原理（no-arbitrage equilibrium）如果B公司股票价格不是100元，就会出现套利机会。比如，当B公司股票价格是90元时，交易者就会进行下列套利活动。卖空1（规模可以任意）的A公司股票，即1万股，同时买进B公司l的债权（价值30万元）和l的公司股票7 000股。套利者的现金流状况如表6.1所示。第一节 套利与无套利均衡二、

8、无套利均衡原理（no-arbitrage equilibrium）表6.1 套利者头寸及现金流状况（B公司股票价格被低估）第一节 套利与无套利均衡头寸情况当前现金流（万元）未来每年的现金流（万元）1% A股票的空头100EBIT1%1% B股票的多头0.79063（EBIT180）1%1% B债券的多头1%3000301.8净现金流70二、无套利均衡原理（no-arbitrage equilibrium）这时，套利者获得利润7万元。套利者的利润会随着套利规模的扩大而扩大。由于金融市场的有效性，套利规模的扩大会使得市场对A公司股票的供给迅速放大，对B公司的股票和债券的需求迅速放大，这种市场变化会

9、迅速将股票B的价格抬高到100元，使套利利润消失。第一节 套利与无套利均衡二、无套利均衡原理（no-arbitrage equilibrium）反之，当B公司股票价格是110元时，套利者同样可以构造相反的套利组合，直至套利机会消失。如表6.2所示。第一节 套利与无套利均衡二、无套利均衡原理（no-arbitrage equilibrium）表6.2 套利者头寸及现金流状况（B公司股票价格被高估）头寸情况当前现金流（万元）未来每年的现金流（万元）1% A股票的多头100EBIT1%1% B股票的空头0.711077（EBIT180）1%1% B债券的空头1%3000301.8净现金流70MM理论

10、贯穿的无套利均衡原理实际上是用一组有价证券来复制另一项（组）有价证券，使其具有完全相同的现金流特征，因此这两组证券的价值就应该相等，否则就存在套利机会。第一节 套利与无套利均衡二、无套利均衡原理（no-arbitrage equilibrium）无套利均衡分析的基本思想是，当市场处于供求不平衡状态时，价格偏离价值会导致无风险套利机会，追求无风险收益的套利力量则会推动市场重新回到均衡状态。市场恢复后，套利机会自然消失，而套利机会消失后的均衡价格与市场风险因素有关，且为市场的真实价格。第一节 套利与无套利均衡二、无套利均衡原理（no-arbitrage equilibrium）根据无套利定价原则，

11、在有效的金融市场上，任何一项金融资产的定价，应当使得利用该项金融资产进行套利的机会不复存在，换言之，如果某项金融资产的定价使得套利机会存在，套利活动会促使该资产的价格发生变化，直到套利机会消失。第二节 无套利均衡分析与定价一、无套利定价（arbitrage-free pricing）的一般方法例6.2 假定当前的市场情况是：货币市场上，美元利率是3%，欧元利率是5%；外汇市场上，美元与欧元的即期汇率是1美元兑换0.9欧元，那么，一年期的远期汇率应该是多少呢？第二节 无套利均衡分析与定价一、无套利定价（arbitrage-free pricing）的一般方法答案是一年期的远期汇率应当使得在货币市

12、场和外汇市场套利机会不存在。从图6.1可以看出，在货币市场上，为使一年后仍然得到美元，有两种方法，一是直接进行美元投资；二是先在即期外汇市场将美元换成欧元，并对欧元进行货币市场投资，然后在远期货币市场将欧元换成美元。无套利均衡要求两种方法得到的最后结果是一样的，即 ，因此可以求得 第二节 无套利均衡分析与定价一、无套利定价（arbitrage-free pricing）的一般方法如果远期汇率不是0.917475，比如，假定是1: 0.9，那么会发生什么情况呢？这时会发生无风险的套利活动。套利者可以进行如下操作：（1）借入1美元，在一年后归还1.03美元；（2）在即期市场上，用借来的1美元兑换成

13、0.9欧元存放一年，到期后得到0.945欧元；（3）在即期市场上购买0.9欧元的同时，按照目前的远期汇率卖出0.945欧元，换回1.05美元。 第二节 无套利均衡分析与定价一、无套利定价（arbitrage-free pricing）的一般方法因此，在期末扣除掉应归还的1.03美元（原先借入的1美元的本息和）之外，还剩余0.02美元。这个剩余就是套利者获取的无风险利润，所以0.9欧元/美元不是均衡的远期汇率。由于套利者可以在很短的时间内获得任意大的头寸，因此，汇率必然会发生变化，直到套利机会消失。反之，如果远期汇率大于0.917475，套利者可以构建相反的套利头寸，并挣得无风险利润，套利机会同

14、样很快消失。 第二节 无套利均衡分析与定价一、无套利定价（arbitrage-free pricing）的一般方法例6.3 假设现在的半年期即期年利率为4%（连续复利，下同），一年期的即期利率为5%。如果有人把今后6个月到1年期的远期利率定为4.5%，那么这样的市场行情是否存在套利机会？ 第二节 无套利均衡分析与定价一、无套利定价（arbitrage-free pricing）的一般方法要判断市场中是否存在套利机会，可以采用前述的无套利分析方法，比较一次性投资和滚动投资的结果，如果两者相等就不存在套利机会。假设投资金额为100万元，根据此例中给出的参数条件，由于第二节 无套利均衡分析与定价一、

15、无套利定价（arbitrage-free pricing）的一般方法所以例子中给出的市场行情条件存在套利机会。下面给出一个简单的获取套利收益的交易策略。第一步，交易者按4%的利率借入一笔6个月资金，比如100万元；第二步，签订一份远期利率协议，规定交易者可以按4.5%的利率在6个月后从市场借入资金 万元，1年期末应偿还本息 万元；第三步，按5%的利率贷出一笔1年期的款项100万元。第四步，1年后收回该贷款，得到本息 万元，并用102.2755万元偿还第二步中远期协议的债务本息后，交易者剩余2.8516万元（105.1271万元102.2755万元）。第二节 无套利均衡分析与定价一、无套利定价（

16、arbitrage-free pricing）的一般方法显然，此例中给出的远期利率不能使市场实现均衡，4.5%的定价偏低，因此套利者可以通过“借短贷长”实现无风险的套利收益。当然，如果定价偏高，则可以“借长贷短”来实现套利。为求得今后6个月到1年期之间的均衡远期利率，依然要借助无套利定价方法。假设此期间的远期利率为，交易金额为，则有解出。这就是根据无套利均衡分析确定的远期利率，套利者将无法通过这一结果获得无风险利润。第二节 无套利均衡分析与定价一、无套利定价（arbitrage-free pricing）的一般方法第三节 衍生工具市场交易机制一、不同交易场所的交易机制无套利定价的主要特征：第二

17、节 无套利均衡分析与定价一、无套利定价（arbitrage-free pricing）的一般方法（1）无套利定价的前提条件是套利活动必须在无风险的状态下进行。（2）无套利定价的关键技术是“复制”技术，即用一组证券来复制另外一组证券。（3）从即期现金流来看，套利活动的投资组合成本为零。也就是说，套利者不需要期初投入，投资组合也不存在维持成本。假设金融市场中有 种资产，当前时间为 ，期末时间为 。我们运用这些资产构造适当的无风险套利组合 ，其中 为第 种资产的持有量。如果 用表示套利组合的价值，那么“ ”便成为无套利均衡定价的基本线索。给定套利组合 ，令组合的期末价值 ，根据无套利均衡的涵义，得到

18、组合的期初价值 ，即其中 为第 种资产当前的价格。在其他资产的价格既定时，可以通过上述条件求解 资产当前的均衡价格 ，这就是无套利均衡定价的一般方法。第二节 无套利均衡分析与定价一、无套利定价（arbitrage-free pricing）的一般方法例6.4 假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。假设当前的无风险年利率等于5。现在要找出一份3个月期、协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。第二节 无套利均衡分析与定价一、无套利定价（arbitrage-free pricing）的一般方法例6.4 假设一种不支付红利股票目前的市价为10元

19、，3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。假设当前的无风险年利率等于5。现在要找出一份3个月期、协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。第二节 无套利均衡分析与定价一、无套利定价（arbitrage-free pricing）的一般方法由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于3个月后股票的市价。若3个月后股票价格等于11元，则该期权价值为0.5元；若3个月后股票价格等于9元，则该期权价值为0。为了求出该期权的价值，可构建一个由一单位看涨期权空头和单位的标的股票多头组成的组合。若3个月后该股票价格等于11元时，该组合价值等于（ ）元；若3个月后该股票价格等于9元时，该组合价值等于 元

20、。第二节 无套利均衡分析与定价一、无套利定价（arbitrage-free pricing）的一般方法为了使该组合价值处于无风险状态，应选择适当的 值，使3个月后该组合的价值不变，这意味着 ，得到 。因此，一个无风险组合应包括一单位看涨期权空头和0.25单位标的股票，无论3个月后股票价格等于1l元还是9元，该组合价值都将等于2.25元。在没有套利机会情况下，无风险组合只能获得无风险利率，则该组合的现值应为 （元）由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位股票多头，而目前股票市场为10元，所以 ，解得 。第二节 无套利均衡分析与定价一、无套利定价（arbitrage-free pricing

21、）的一般方法这就是说，该看涨期权的价值应为0.278元，否则就会存在无风险套利机会。例6.5：设资产 现在的市场价格是 =100元， =2%， =0.98， =1.07。第二节 无套利均衡分析与定价二、动态无套利均衡定价图6-3（a） 证券A价格变动图1079896.04104.86114.49期初1期末2期末期初1期末2期末图6-3（B） 证券B价格变动图例6.5：设资产 现在的市场价格是 =100元， =2%， =0.98， =1.07。假设证券和的价格变动如图6-3所示。从图6-3（b）可以看到，证券在第2期末有三种价格状态，要求计算出现在的均衡价格。使用倒推法，先从的图形中右上部分开始

22、。在第1期末，假设市场处于上升状态，此时我们用份证券和市场价值为的无风险证券来复制证券的组合，见图6-4。第二节 无套利均衡分析与定价二、动态无套利均衡定价第二节 无套利均衡分析与定价二、动态无套利均衡定价图6-4 用证券A和无风险证券复制证券B（第二阶段）107114.49104.86联立方程组，得第二节 无套利均衡分析与定价二、动态无套利均衡定价用同样的方法处理图6-4(b)右下方的二叉树。解出 =0.509， =48.62， 。最后来看图6-3(a)。用 份资产A和价值为 的无风险证券的组合来复制证券B，从而可以解出 ， ，由此可以算出债券B现在的市场价值 =98.52941。例6.5中

23、用到的分析方法就是动态无套利均衡分析法，其中的一个关键点就是所谓的自融资策略（self-financing）。在第1期末，尽管调整了资产A和无风险证券在组合中的头寸，原来的（0.5，48.53）调整为（0.488，50.78），但证券组合的价值没有发生变化，因为有所以，组合调整过程中交易者既没有投入资金，也没有抽出资金，只是靠出售部分证券 增加一部分资金，并把它投入到无风险证券的投资中去。动态无套利均衡方法中的“动态”，指的就是需要随时调整 和 ，而在调整中必须保持组合价值不会发生变化，这就是“自融资”的基本含义。第二节 无套利均衡分析与定价二、动态无套利均衡定价第三节 无套利均衡的理论意义1

24、. 无套利均衡反映了金融资产的本质特征投资者对一项金融资产进行投资，其目的就是获得一个预期的收益，而预期的收益取决于未来现金流的可预测性，因此收益的可预测性是金融资产的本质特征。第三节 无套利均衡的理论意义2. 无套利均衡巧妙地抓住了金融市场均衡最为本质的特征相对于商品市场，金融市场有两个重要特征：首先，其他市场的参与者在价格失衡时，只能有限地调整自己的供求状况，但是在金融市场上，一个投资者只需了解所投资的金融资产的价格以无套利均衡利率为标准来衡量是高还是低。其次, 在一个完全竞争的金融市场上，如果没有信用风险，所有的金融资产所产生的收益率将会相同，这是因为如果市场参与者能够确切地预期金融资产

25、未来发展的状况（如价格、利率等），他就会卖掉收益率低的金融资产，买进收益率高的金融资产，即进行套利。第三节 无套利均衡的理论意义3. 无套利均衡是贯穿于现代金融理论体系的一根主线 20世纪50年代建立起来的现代金融理论研究的基本中心点是金融市场的运营或交易，对这一基本中心点的研究形成了现代金融理论的四个分支（或组成部分）：有效市场理论、风险和收益评估理论、资本资产及期权定价理论和公司财务理论。其中最为核心的问题就是如何为金融资产定价。第三节 无套利均衡的理论意义4. 无套利均衡是现代金融学研究的基本方法在金融理论发展史上, 金融研究方法上的革命促成了金融理论的突破。现代金融理论在方法论上的基本特征，就是在金融资产的无套利均衡关系中对其定价，直接从无套利假设出发进行金融产品定价，可以使论证大大简化，得到许多富于启