专题四：三角形中的三角问题含向量

1、高三数学微专题四三角形中的三角向量问题（含向量）基础回顾 1在ABC中，M是BC的中点，AM3，BC10，则eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()_2在边长为1的正三角形ABC中，设eq o(BC,sup6()2eq o(BD,sup6()，eq o(CA,sup6()3eq o(CE,sup6()，则eq o(AD,sup6()eq o(BE,sup6()_.3在ABC中，a，b，c为内角A，B，C的对边，向量m(1，eq r(3)与n(cos A，sin A)平行，且acos Bbcos Acsin C，则角B_.4在ABC中，Ceq f(,2)，AC1，BC2，则f()

2、|2eq o(CA,sup6()(1)eq o(CB,sup6()|的最小值是_典型例题 例1如图，在OAB中，已知P为线段AB上的一点，eq o(OP,sup6()xeq o(OA,sup6()yeq o(OB,sup6().(1)若eq o(BP,sup6()eq o(PA,sup6()，求x，y的值；(2)若eq o(BP,sup6()3eq o(PA,sup6()，|eq o(OA,sup6()|4，|eq o(OB,sup6()|2，且eq o(OA,sup6()与eq o(OB,sup6()的夹角为60时，求eq o(OP,sup6()eq o(AB,sup6()的值例2如图所示，

3、已知ABC的面积为14 cm2，D，E分别是AB，BC上的点，且eq f(AD,DB)eq f(BE,EC)2，, 求APC的面积例3.的三个内角依次成等差数列 （）若，试判断的形状； （）若为钝角三角形，且，试求代数式的取值范围例4已知点A，B，C是直线l上不同的三点，点O是l外一点，向量eq o(OA,sup6()，eq o(OB,sup6()，eq o(OC,sup6()满足eq o(OA,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x21)eq o(OB,sup6()(ln xy)eq o(OC,sup6()0，记yf(x)(1)求函数yf(x)的解析式；(2)若

4、对任意的x1,2，不等式|aln x|ln(f(x)0恒成立，求实数a的取值范围同步练习1设O是ABC内部的一点，P是平面内任意一点，且EQ O(OA,SUP8()2EQ O(OB,SUP8()2EQ O(PC,SUP8()2EQ O(PO,SUP8()，则ABC和BOC的面积之比为 2在四边形ABCD中，eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()(1,1)，eq f(1,|o(BA,sup6()|)eq o(BA,sup6()eq f(1,|o(BC,sup6()|)eq o(BC,sup6()eq f(r(3),|o(BD,sup6()|)eq o(BD,sup6()，则四边

5、形ABCD的面积为_3在ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，S为ABC的面积，若向量p(4，a2b2c2)，q(1，S)满足pq，则C_.4设两个向量a(2，2cos2 )和beq blc(rc)(avs4alco1(m，f(m,2)sin )，其中，m，为实数若a2b，则eq f(,m)的取值范围是_5 在ABC中，M是BC的中点，|eq o(AM,sup6()|1，eq o(AP,sup6()2eq o(PM,sup6()，则eq o(PA,sup6()(eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()_.6ABC的外接圆的圆心为O，AB2，AC3，BCeq r(

6、7)，则eq o(AO,sup6()eq o(BC,sup6()_.7在ABC中，已知BC2，eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()1，则ABC的面积SABC最大值是_8. 给出下列三个命题（1）若00恒成立，求实数a的取值范围解析(1)由题意，得eq o(OA,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x21)eq o(OB,sup6()(ln xy)eq o(OC,sup6()，且A，B，C三点共线，所以eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x21)(ln xy)1，所以yf(x)ln xeq f(1,2)x2(x0)(2)因为f(

7、x)eq f(1,x)x，所以|aln x|lneq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,x)，即aln xlneq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,x)恒成立因为ln xlneq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,x)lneq f(x2,x21)lneq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,x21)在1,2上取最小值ln 2，ln xlneq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,x)ln(x21)在1,2上取最大值ln 5，所以a的取值范围是(，ln 2)(ln 5，)同步练习 1设O是ABC内部的一点，P是平面内任意一点，且EQ O(

8、OA,SUP8()2EQ O(OB,SUP8()2EQ O(PC,SUP8()2EQ O(PO,SUP8()，则ABC和BOC的面积之比为 51 2在四边形ABCD中，eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()(1,1)，eq f(1,|o(BA,sup6()|)eq o(BA,sup6()eq f(1,|o(BC,sup6()|)eq o(BC,sup6()eq f(r(3),|o(BD,sup6()|)eq o(BD,sup6()，则四边形ABCD的面积为_eq r(3)_3在ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，S为ABC的面积，若向量p(4，a2b2c2)

9、，q(1，S)满足pq，则C_eq f(,4)_.4设两个向量a(2，2cos2 )和beq blc(rc)(avs4alco1(m，f(m,2)sin )，其中，m，为实数若a2b，则eq f(,m)的取值范围是_6,1_解析由a2b，得eq blcrc (avs4alco1(22m，,2cos2m2sin .)由2mcos22sin 2(sin 1)2，得22m2，又2m2，则24(m1)2m2，eq blcrc (avs4alco1(4m29m20，,4m29m60.)解得eq f(1,4)m2，而eq f(,m)eq f(2m2,m)2eq f(2,m)，故6eq f(,m)1.5在A

10、BC中，M是BC的中点，|eq o(AM,sup6()|1，eq o(AP,sup6()2eq o(PM,sup6()，则eq o(PA,sup6()(eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()_eq f(4,9)_.解析因为M是BC的中点，所以eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()2eq o(PM,sup6()，又eq o(AP,sup6()2eq o(PM,sup6()，|eq o(AM,sup6()|1，所以eq o(PA,sup6()(eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()eq o(PA,sup6()2eq o(PM,sup6()4|e

11、q o(PM,sup6()|2eq f(4,9)|eq o(AM,sup6()|2eq f(4,9).6ABC的外接圆的圆心为O，AB2，AC3，BCeq r(7)，则eq o(AO,sup6()eq o(BC,sup6()_eq f(5,2)_.7在ABC中，已知BC2，eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()1，则ABC的面积SABC最大值是_eq r(2)解析以线段BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则B(1,0)，C(1,0)设A(x，y)则eq o(AB,sup6()(1x，y)，eq o(AC,sup6()(1x，y)，于是eq o(

12、AB,sup6()eq o(AC,sup6()(1x)(1x)(y)(y)x21y2.由条件eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()1知x2y22，这表明点A在以原点为圆心，eq r(2)为半径的圆上当OABC时，ABC面积最大，即SABCeq f(1,2)2eq r(2)8 给出下列三个命题（1）若0tanAtanB1，则ABC一定是钝角三角形；（2）若lgcosA=lgsinClgsinB=lg2, 则ABC是等腰直角三角形；（3）若cos(AB)cos(BC)cos(CA)1，则ABC一定是等边三角形以上正确命题的序号是： 9已知ABC所在平面上的动点M满足2eq o(A

13、M,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(AC,sup6()2eq o(AB,sup6()2，则M点的轨迹过ABC的_外_心解析如图，设N是BC的中点，则由2eq o(AM,sup6()eq o(BC,sup6()(eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()(eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()2eq o(AN,sup6()，得(eq o(AM,sup6()eq o(AN,sup6()eq o(BC,sup6()0，即eq o(NM,sup6()eq o(BC,sup6()0，所以eq o(NM,sup6()eq o(B

14、C,sup6()，所以M点的轨迹过ABC的外心10已知中，边上的高与边的长相等，则的最大值为 11ABC 内接于以O为圆心，1为半径的圆，且（1）求数量积；（2）求ABC的面积解析（1）两边平方，得，同理可得，（2）由，可得，由，得，同理求得其他三角形面积，所以12设函数f(x)=cos(2x+)+sinx. （1）求函数f(x)的最大值和最小正周期. （2）设A,B,C为ABC的三个内角，若cosB=，f()=，且C为锐角，求sinA.解析（1）f(x)= 函数f(x)的最大值为,最小正周期. （2）f()=， C为锐角，,sinA =cosB=. 13在ABC中，A，B，C所对边分别为a，

15、b，c，已知向量m(1,2sin A)，n(sin A,1cos A)，且满足mn，bceq r(3)a.(1)求A的大小；(2)求sineq blc(rc)(avs4alco1(Bf(,6)的值解析(1) Aeq f(,3).(2)bceq r(3)a，由正弦定理，得sin Bsin Ceq r(3)sin Aeq f(3,2).因为BCeq f(2,3)，所以sin Bsineq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)B)eq f(3,2).所以eq f(r(3),2)cos Beq f(3,2)sin Beq f(3,2)，即sineq blc(rc)(avs4alco1(Bf

16、(,6)eq f(r(3),2).14已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x8，P为该平面上一动点，作PQl，垂足为Q，且(eq o(PC,sup6()eq f(1,2)eq o(PQ,sup6()(eq o(PC,sup6()eq f(1,2)eq o(PQ,sup6()0.(1)求动点P的轨迹方程；(2)若EF为圆N：x2(y1)21的任一条直径，求eq o(PE,sup6()eq o(PF,sup6()的最值解析(1)设P(x，y)，则Q(8，y)由(eq o(PC,sup6()eq f(1,2)eq o(PQ,sup6()(eq o(PC,sup6()eq f(1,2)eq o(PQ

17、,sup6()0，得|PC|2eq f(1,4)|PQ|20，即(x2)2y2eq f(1,4)(x8)20，化简得eq f(x2,16)eq f(y2,12)1.所以点P在椭圆上，其方程为eq f(x2,16)eq f(y2,12)1. (2)因eq o(PE,sup6()eq o(PF,sup6()(eq o(NE,sup6()eq o(NP,sup6()(eq o(NF,sup6()eq o(NP,sup6()(eq o(NF,sup6()eq o(NP,sup6()(eq o(NF,sup6()eq o(NP,sup6()(eq o(NP,sup6()2eq o(NF,sup6()2eq o(NP,sup6()21，是设P(x0，y0)，则有eq f(xoal(2,0),16)eq f(yoal(2,0),12)1，即xeq oal(2,0)16eq f(4yoal(2,0),3)，