人教版高中数学-基本不等式(一)

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业人教版高中数学同步练习3.4基本不等式：eq r(ab)eq f(ab,2)(一)课时目标1理解基本不等式的内容及其证明；2能利用基本不等式证明简单不等式1如果a，bR，那么a2b22ab(当且仅当ab时取“”号)2若a，b都为正数，那么eq f(ab,2)eq r(ab)(当且仅当ab时，等号成立)，称上述不等式为基本不等式，其中eq f(ab,2)称为a，b的算术平均数，eq r(ab)称为a，b的几何平均数3基本不等式的常用推论(1)abeq blc(rc)(av

2、s4alco1(f(ab,2)2eq f(a2b2,2) (a，bR)；(2)当x0时，xeq f(1,x)2；当x0时，eq f(b,a)eq f(a,b)2；当ab0，b0，则eq f(ab,2)，eq r(ab)， eq r(f(a2b2,2)，eq f(2ab,ab)中最小的是()A.eq f(ab,2) B.eq r(ab) C. eq r(f(a2b2,2) D.eq f(2ab,ab)答案D解析方法一特殊值法令a4，b2，则eq f(ab,2)3，eq r(ab)eq r(8)， eq r(f(a2b2,2)eq r(10)，eq f(2ab,ab)eq f(8,3).eq f(

3、2ab,ab)最小方法二eq f(2ab,ab)eq f(2,f(1,a)f(1,b)，由eq f(2,f(1,a)f(1,b)eq r(ab)eq f(ab,2) eq r(f(a2b2,2)，可知eq f(2ab,ab)最小2已知maeq f(1,a2) (a2)，neq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x22 (xn Bmn Cmn Dmn答案A解析m(a2)eq f(1,a2)22eq r(a2f(1,a2)24，n22x2n.3设a，bR，且ab，ab2，则必有()A1abeq f(a2b2,2) Bab1eq f(a2b2,2)Cabeq f(a2b2,2)1 D.

4、eq f(a2b2,2)ab1答案B解析abeq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)2，ab，abeq f(ab,2)0，eq f(a2b2,2)1，ab1eq f(a2b2,2).4已知正数0a1,0b2eq r(ab)，a2b22ab，所以，最大的只能是a2b2与ab之一而a2b2(ab)a(a1)b(b1)，又0a1,0b1，所以a10，b10，因此a2b2ab，所以ab最大5设0ab，且ab1，在下列四个数中最大的是()A.eq f(1,2) Bb C2ab Da2b2答案B解析abeq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)2，abeq f(1,4)，2a

5、beq f(ab,2)0， eq r(f(a2b2,2)eq f(1,2)，a2b2eq f(1,2).b(a2b2)(bb2)a2b(1b)a2aba2a(ba)0，ba2b2，b最大6若不等式x2ax10对一切xeq blc(rc(avs4alco1(0，1)恒成立，则a的最小值为()A0 B2 Ceq f(5,2) D3答案B解析x2ax10在xeq blc(rc(avs4alco1(0，1)上恒成立axx21aeq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(xf(1,x)max.xeq f(1,x)2，eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,x)2

6、，a2.二、填空题7若a1，则aeq f(1,a1)有最_值，为_答案大1解析a1，a10，y0，eq f(2,x)eq f(5,y)eq f(2,x)eq f(x,2)2(x2时取等号)9已知x，yR，且满足eq f(x,3)eq f(y,4)1，则xy的最大值为_答案3解析x0，y0且1eq f(x,3)eq f(y,4)2eq r(f(xy,12)，xy3.当且仅当eq f(x,3)eq f(y,4)时取等号10若对任意x0，eq f(x,x23x1)a恒成立，则a的取值范围为_答案eq blcrc)(avs4alco1(f(1,5)，)解析x0，eq f(x,x23x1)0，易知a0.

7、eq f(x23x1,x)eq f(1,a)，eq f(1,a)xeq f(1,x)3.x0，xeq f(1,x)32eq r(xf(1,x)35(x1时取等号)，eq f(1,a)5.aeq f(1,5).三、解答题11设a、b、c都是正数，求证：eq f(bc,a)eq f(ca,b)eq f(ab,c)abc.证明a、b、c都是正数，eq f(bc,a)、eq f(ca,b)、eq f(ab,c)也都是正数eq f(bc,a)eq f(ca,b)2c，eq f(ca,b)eq f(ab,c)2a，eq f(bc,a)eq f(ab,c)2b，三式相加得2eq blc(rc)(avs4al

8、co1(f(bc,a)f(ca,b)f(ab,c)2(abc)，即eq f(bc,a)eq f(ca,b)eq f(ab,c)abc.12abc，nN且eq f(1,ab)eq f(1,bc)eq f(n,ac)，求n的最大值解abc，ab0，bc0，ac0.eq f(1,ab)eq f(1,bc)eq f(n,ac)，neq f(ac,ab)eq f(ac,bc).ac(ab)(bc)，neq f(abbc,ab)eq f(abbc,bc)，neq f(bc,ab)eq f(ab,bc)2.eq f(bc,ab)eq f(ab,bc)2 eq r(f(bc,ab)f(ab,bc)2(2bac

9、时取等号)n4.n的最大值是4.能力提升13已知不等式(xy)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(a,y)9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A8 B6 C4 D2答案C解析只需求(xy)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(a,y)的最小值大于等于9即可，又(xy)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(a,y)1aeq f(x,y)eq f(y,x)aa12 eq r(af(x,y)f(y,x)a2 eq r(a)1，等号成立仅当aeq f(x,y)eq f(y,x)即可，所以(eq r(a)22 eq r(a)1

10、9，即(eq r(a)22 eq r(a)80求得eq r(a)2或eq r(a)4(舍去)，所以a4，即a的最小值为4.14已知a，b，c为不等正实数，且abc1.求证：eq r(a)eq r(b)eq r(c)eq f(1,a)eq f(1,b)eq f(1,c).证明eq f(1,a)eq f(1,b)2 eq r(f(1,ab)2eq r(c)，eq f(1,b)eq f(1,c)2 eq r(f(1,bc)2eq r(a)，eq f(1,c)eq f(1,a)2 eq r(f(1,ac)2eq r(b)，2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)f(1,b)f(1,c)2(eq r(a)eq r(b)eq r(c)，即eq f(1,a)eq f(1,b)eq f(1,c)eq r(a)eq r(b)eq r(c).a，b，c为不等正实数，eq r(a)eq r(b)eq r(c)eq f(1,a)eq f(1,b)eq f(1,c).1设a，b是两个正实数，用min(a，b)表示a，b中的较小的数，用max(a，b)表示a，b中的较大的数，则有min(a，b)eq f(2,f(1,a)f(1,b)eq r(ab)eq