自动控制理论：4第四章 根轨迹法-1

1、2022/7/13第四章 根轨迹法从前述章节可知，系统动态性能与闭环极点在S平面上的位置密切相关。因此，在分析系统性能时，需要定量研究系统的一个或者多个参量在一定范围内变化时，系统闭环极点的位置变化以及对系统性能的影响。 1948年，伊万斯（W.R.Evans）根据反馈系统开、闭环传递函数之间的内在联系,提出了直接由开环传递函数寻求闭环特征根（即闭环极点）移动轨迹的方法，建立了一套绘制根轨迹的规则，这就是被广泛应用的根轨迹法。2022/7/13第四章 根轨迹法该方法可以简便、直观地分析系统特征根与系统参数之间的关系。适用于单闭环系统，也可用于多闭环系统。根轨迹法作为经典控制理论的基本方法，与频

2、率特性法互为补充，是分析和研究自动控制系统的有效工具。实际上，我们可以利用matlab方便地绘制系统的根轨迹图。2022/7/13本章内容第一节 根轨迹的基本概念第二节 绘制根轨迹的基本条件和基本规则第三节 广义根轨迹第四节 滞后系统的根轨迹第五节 利用根轨迹分析系统的性能第六节 用Matlab绘制系统的根轨迹2022/7/13第一节 根轨迹的基本概念对图4-1所示二阶系统，系统开环传递函数为：图4-1，二阶系统系统闭环传递函数为：闭环系统的特征根：2022/7/13第一节 根轨迹的基本概念 如果系统的开环增益K（根轨迹增益K1）从0向变化时，系统闭环特征根在复平面上的变化情况绘制为曲线，如图

3、4-2所示。这样获得的曲线称为K1从0向变化时系统的根轨迹。闭环系统的特征根：K1s1s200-21-1-12-1+j-1-j-1+j-1-j2022/7/13 可见，根轨迹图全面地描述了参数K1对闭环特征根分布的影响。 定义：当系统中某一参数(一般以增益为变化参数)发生变化时，系统闭环特征根在s平面上描绘的曲线称系统的根轨迹。 图4-2 二阶系统的根轨迹2022/7/13一般地，绘制系统根轨迹时选择的可变参量可以是系统的任意参量。以系统根轨迹增益K1为可变参量绘制的根轨迹称为常规根轨迹。以其它参数为变量绘制的根轨迹称为参量根轨迹。 2022/7/13利用根轨迹，可对系统动态特性进行下述分析：

4、（1）判断该系统在K1从0到变化时的稳定性；（稳）（2）判断系统在K1从0到变化时根轨迹的条数；（3）判断该系统在K1取值任何范围时处于过阻尼、 临界阻尼和欠阻尼状态； （4）判断系统的“型”，从而计算系统稳态特性；（准） （5）当K1值确定后，在根轨迹上找到闭环极点，从而计算系统闭环性能指标；或反之。（快） 2022/7/13第二节 绘制根轨迹的基本条件和基本规则一、绘制根轨迹的基本条件 讨论图4-3所示系统 ，特征方程为 1G(s)H(S)=0 或 G(S)H(S)=-1 根据复数等式两边的幅值和相角应分别相等的原则，可得绘制系统根轨迹的基本条件，即： 幅值条件： 相角条件： 以上条件是判

5、断复平面上某点是否在系统根轨迹上的充要条件。 图4-3 系统方框图2022/7/13系统开环传递函数通常可以写成两种因子形式，即时间常数表达式和零极点表达式。（1）时间常数表达式：（2）零极点表达式：此时幅值条件和相角条件分别为：2022/7/13在实际绘制根轨迹时，只要依据相角条件就可以绘制根轨迹，而幅值条件主要用于确定根轨迹上各点对应的根轨迹增益K1值。【例4-1】单位反馈系统的开环传递函数为: 试检验S1=-1.5+j2.5是否为该系统根轨迹上的点；如果是，则确定与它相对应的K1值是多少。2022/7/13解:（1）确定开环零、极点,并标注到复平面上。p1=0,p2=-2,p3=-6.6

6、, z1=-4，（2）将s1坐标带入相角条件：满足相角条件,S1=-1.5+j2.5是该系统根轨迹上的点。试验点S1=-1.5+j2.52022/7/13本例说明的是一种试探法绘制系统根轨迹的例子,十分烦琐。图4-4 例4-1图（3）利用幅值条件求得与S1相对应的K1值。2022/7/13二、绘制根轨迹的基本规则 规则1：根轨迹的分支数和对称性。 根轨迹的分支数等于特征方程的阶数n；根轨迹对称于实轴。 规则2：根轨迹的起点与终点。 起始点： K1=0时的闭环极点，即系统的开环极点。 起始点与终止点个数相等，均为n； 终止点：（1）有限值终止点：当K1时，有m条分支趋向开环零点； （2）无限远终

7、止点：当K1时， 有n-m条分支趋向无穷远处,需要确定其方位和走向。 2022/7/13证明：由幅值条件当 时，只有 才能满足以上幅值条件，故根轨迹必从开环极点 出发。当 时，只有 才能满足以上幅值条件，故根轨迹必 终止于开环零点 或无穷远处。2022/7/13 规则3: 实轴上的根轨迹。 实轴上某线段右边的实零点和实极点总数为奇数时，这些线段就是根轨迹的一部分。如图4-5所示。 图4-5 实轴上的根轨迹证明：s1左边每个开环极点或零点提供的相角为0， s1右边每个开环极点或零点提供的相角为180，每对共轭极点和零点提供的相角之和为0或360，互相抵消。故，只有其右边开环零点、极点的总数为奇数

8、的实轴线段才满足相角条件。2022/7/13 规则4:根轨迹的渐近线。 当系统的根轨迹增益K1时，趋向无穷远处的根轨迹共有n-m条，它们趋向无穷远处的方位可由渐近线决定。（1）渐近线与实轴的倾角为：（2）渐近线与实轴的交点坐标(称形心)为：（证明略）2022/7/13【例4-2】解：无零点，只有一个极点 故其根轨迹只有一条分支， 且就在实轴上，其根轨迹 如图4-6所示，画根轨迹。图4-6 例4-2的根轨迹图【例4-3】，画根轨迹。解：无零点，有两个极点故其根轨迹有两条分支趋向无穷远，渐近线倾角：2022/7/13渐近线与实轴的交点：其根轨迹如图4-7所示两条根轨迹分别从极点0、0.5出发，并汇

9、合于-0.25（a点），然后分离，分别沿90，90的渐近线趋向无穷远图4-7 例4-3的根轨迹图a2022/7/13用Matlab绘制根轨迹： n=1; d=conv(1,0,1,0.5); rlocus(n,d)图4-8 例4-3的根轨迹图Matlab绘制2022/7/13【例4-4】设系统的开环传递函数为：当K1由0变化到时，试按一般步骤与规则绘制其根轨迹图。 解: （1）本系统为3阶系统，有3条根轨迹；（2）起始点：系统没有开环零点，只有三个开环极点， 分别为p1=0，p2=-1，p3=-2。（3）渐近线：K1时，有3条根轨迹趋向无穷远处，其渐近线的倾角为： 渐近线与实轴的交点坐标为 2

10、022/7/13（4）实轴上的根轨迹：在S平面实轴上0，-1和-，-2线段上存在根轨迹。 根轨迹草图如图4-8所示 其中一条从p3=-2出发，随着K1的增加，沿着负实轴趋向无穷远处。另两条分支分别从p1=0和p2=-1出发，沿着负实轴向b点移动。图4-9 例4-4的根轨迹图b2022/7/13当K1值达到某一数值时,这两条分支相交于实轴上的b点,这时系统处于临界阻尼状态。 当K1继续增大时,这两条分支离开负实轴分别趋近60o和-60o的渐近线，向无穷远处延伸。在KbK1Kc时,系统处于欠阻尼状态,出现衰减振荡。而当K1Kc时,，系统成为不稳定状态。 图4-9 例4-4的根轨迹图bc2022/7

11、/13用Matlab绘制根轨迹： n=1; d=conv(1,1,1,2),0; rlocus(n,d)图4-10 例4-4的根轨图Matlab绘制2022/7/13规则5：根轨迹的分离点、会合点和分离角。 几条根轨迹在s平面上相遇后又分开的点称为根轨迹的分离点（或会合点）。分离点在两极点之间，会合点在两零点之间。分离点(会合点)是闭环特征方程的重根点，在 的变化过程中，分离点(会合点)是 取得极大值或极小值的点， 在特征方程中，将 用s及其各次幂的形式表达出来，再根据求极值的方法寻找分离点(会合点)处的s值，即分离点与会合点必须满足方程: 上述方程是求取分离点或会合点的必要条件，是否确实为分

12、离点或会合点，需要用相角条件进行判断。分离点或会合点可能在s平面上任何一点2022/7/13【例4-5】求例 4-4中分离点b的坐标。 解：系统的特征方程为 推出：由此得：解得：s1=-0.42,s2=-1.58，即此两点为可能的分离点，又知分离点在0至1之间的线段上，故s1=-0.42为分离点b的坐标。分离角：根轨迹离开重根点处的切线与实轴正方向的夹角被称为分离角,其计算公式为： r为分离点处根轨迹的分支数求解重根点（分离点、汇合点）的另一种方法：2022/7/13同样，该解仍然是必要条件，是否确实为分离点或会合点，需要用相角条件进行判断。2022/7/13对于例4-52022/7/13规则

13、6：根轨迹的出射角和入射角。 根轨迹从开环复数极点出发的角度（出射点的切线与实轴正方向的夹角）称为出射角； 进入开环复数零点的角度（入射点的切线与实轴正方向的夹角）称为入射角。 (出射角对应于复极点，入射角对应于复零点)。出射角：入射角：2022/7/13其中： 为其它开环零点、极点对出射点或入射点提供的相角，即：说明：如图4-11所示为已知系统开环零、极点分布，可说明出射角的求取。在根轨迹上靠近起点P1较近处取一点S1,显然满足相角条件，有2022/7/13当S1无限趋近于P1点时， 即为P1点的出射角 ，一般情况下，开环复数极点Pk的出射角为：图4-11 出射角的确定2022/7/13用同

14、样的方法可以确入射角2022/7/13规则7：根轨迹与虚轴的交点。在根轨迹与虚轴的交点处，存在系统的纯虚根，实际上是系统的临界稳定点。通常用以下两种根轨迹与虚轴交点。（1）复数相等方法（2）劳斯判据法2022/7/13【例4-6】已知系统开环传递函数如下： 试求系统根轨迹与虚轴的交点。 解：2022/7/132022/7/13规则8（补充）：闭环极点的和与积。根据代数方程的根与系数的关系 闭环极点之和： 闭环极点之积：为系统特征方程的系数2022/7/13特别地，当n-m2时，有: 即闭环极点之和等于开环极点之和。 这些表明在开环极点确定的情况下，随着K1的变化，若有一些闭环特征根增大，则另一

15、些特征根必然减小。即一些根轨迹右行时，另一些根轨迹必左行。2022/7/13【例4-7】已知与开环传递函数为 其根轨迹与虚轴的交点为s1,2= j1.414,试求交点处的临界K1值及第三个特征根。解：系统的特征方程为： 由闭环极点之和公式易得 s1+s2+s3=j1.414-j1.414+s3=-a1=-3,所以：s3=-3 由闭环极点之积公式易得 s1s2s3=an=K1=62022/7/13【例4-8】已知反馈控制系统的开环传递函数为： 试绘制K1变化时的根轨迹。解：按以下步骤绘制系统的根轨迹：（1）开环极点为p1=0，p2=-3， p1=-1j,无开环零点；（2）根轨迹分支数n=4条；（

16、3）在实轴上-3，0之间为根轨迹段；（4）渐近线,n-m=4条：2022/7/13（5）由特征方程求分离点 利用根轨迹的幅值条件可求得对应于分离点s1=-2.3的K1值为4.33。（6）求出射角根据对称性可知：p4 =71.6解得s1=-2.3，s2,3=0.725j0.365。经检验s1为分离点。分离角为90o。 2022/7/13（7）求根轨迹与虚轴的交点。 由特征方程 并列出劳斯表：令劳斯表中S1行的首项为零，求得 K1=8.16。根据表中S2行的系数写出辅助方程: 令s=j，K1=8.16代入上式，求得=1.1。根轨迹的两条分支与虚轴交于=j1.1处对应的K1=8.16。2022/7/

17、13图4-12 例4-8的根轨迹图最后，得到系统的根轨迹如图4-10所示-2.3-1.25j0.7-0.4j1.1绘制的根轨迹图如下：2022/7/13用Matlab绘制根轨迹： n=1; d=conv(1,3,1,2,2),0; g=tf(n,d); rlocus(g)图4-13 例4-8的根轨迹图Matlab绘制在绘制过程中，切忌“想当然”，即便是零、极点的相对位置不变，数值大小的变化也会影响根轨迹的形状。请看下例：2022/7/132022/7/13绘制根轨迹的大概步骤2022/7/132022/7/132022/7/13四、利用根轨迹分析系统性能1、暂态性能分析2022/7/13202

18、2/7/132022/7/132、增加开环零点： 增加合适的开环零点使根轨迹向s平面左方弯曲或移动，可以减小系统的超调量和调整时间，改善系统的稳定性和快速性。 如果选择不合适，则于系统性能改善无益。 一般先根据性能指标要求确定闭环极点的位置，再选择增加合适的开环零点2022/7/13例、设二阶系统的开环传函为：增加零点后的传函为：分析其性能的变化解：变化前的根轨迹如右图，当增益K1大于0.25以后，根轨迹沿着与虚轴距离0.5的一条平行线向上向下移动。无论怎样选择增益K1，闭环极点离虚轴的距离都较近，影响系统的快速性（调整时间）2022/7/13增加零点z=-2，根轨迹向左弯曲，选择合适的K1，如图中的s2，即可使闭环极点离虚轴有一定的距离保证快速性，又可以使 角较小（ 较大），以降低超调量2022/7/13增加零点z=-0.5，无论如何选择的K1，闭环极点总是两个实极点，主导极点离虚轴的距离在0-0.5之间，使得系统的调节时间不可能缩短。20