二次根式讲义和练习题

1、学材教育二次根式及一元二次方程知识点一：二次根式的概念.定义：形如而(”之0)的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数 式，把握的重点：(1)二次根式是形式上定义的，必须含有二次根号(2)被开方数a必须是非负数，即aMO(3)/二的根指数是2, 一般省略根指数2,写作工，这一点一定 要切实注意，不可误认为根指数为“1”，“0”。.性质/ 1、两个非负性：(1)根号下的a必须是非负数,表示为a20；(2) & (a0)本身是一个非负数.表示为亚宣2、a (a20)的平方根是土0,a (a20)的算术平方根是正/a (a0)3、V? =_|_a_L

2、= -J一、-a (a0o因而它的运算的结果是有差异的，（/ =以口之）a(a0)a0)2、相同点：当被开方数都是非负数，即时-，（俐2=G；a0）即两个二次根式相除， 把被开方数相除，根指数不变。注意 （1）除法运算的结果也要进行化简（2）在运算过程中要注意条件（且，b0）（3）假设含有系数的二次根式相除，可类比单项式的除法法那么，将它分为 系数和根式两局部分别运算，然后想乘。1 性质 b = （aNO, b0）三最简二次根式1最简二次根式应满足的条件:学材教育（1）被开方数不含分母或分母中不含二次根式;（2）被开方数中不含开得 尽方的因数或因式（熟记20以内数的平方；因数或因式间是乘积的关

3、系，当被开方数是整式时要 先判断是否能够分解因式，然后再观察各个因式的指数是否是2 （或2的倍数）， 假设是那么说明含有能开方的因式，那么不满足条件，就不是最简二次根式）2、化简最简二次根式的方法：（1）把被开方数（或根号下的代数式）化成积的形式，即分解因式;（2）化去根号内的分母（或分母中的根号）,即分母有理化:（3）将根号内能开得尽方的因数（或因式）开出来.（此步需要特别注意的是： 开到根号外的时候要带绝对值,注意符号问题）知识点三二次根式的加减1二次根式的加减法：先把各个二次根式化为最简二次根式,再找被开方数相 回的二次根式（即同类二次根式）进行合并。（合并方法为：将系数相加减,二 次根

4、式局部不变）,不能合并的直接抄下来。可归结为“一化二找三合并”知识点四一一比拟大小一、移动因式法此法好学，适用。就是将根号外的正因式移入根号内，从而转化为比拟被开方数的大小 例1：比拟一 5、万5与- 6、厄的大小。二、运用平方法两边同时平方，转化为比拟哥的大小。此法的依据是：两个正数的平方是正 数，平方大的数就大；两个负数的平方也是正数，平方大的数反而小例2：比拟小+、厄+出-花与四+新的大小。学材教育三、分母有理化法此法是先将各自的分母有理化，再进行比拟。1 + 0 2+ 淄例3：比拟3 +与尤+ 1的大小。四、分子有理化法此法是先将各自的分子有理化，再比拟大小。2出-旧例4：比拟3&与2

5、4的大小五、求差或求商法六、求倒数法先求两数的倒数，而后再进行比拟。例 7：比拟 J2009 J2008与J2008 V2007 的大小。学材教育一.利用二次根式的双重非负性来解题（/2 0 （20）,即一个非负数的算术平方根是一个非负数。） TOC o 1-5 h z 1.以下各式中一定是二次根式的是（）。A、J-3 ； B、yx ； C、dX? +1 ； D、-12J取何值时，以下各式在实数范围内有意义/、5 + x/、 , 1(4) J-(5)/V X + 4V2X-13.假设J3加-1有意义,那么m能取的最小整数值是5.当x为何整数时，J10 x-1+1有最小整数值,这个最小整数值为6

6、.假设|2004-4 +，/-2005 =4 ,那么。一20042=学材教育7 右 y - Jx 3 + J3 x + 4 ,那么 x + 歹=8设n n满足=近亘十匹了+ 2 771-38设n n满足=近亘十匹了+ 2 771-3,那么 yjmn =那么第三边c的取值范围是9 .假设三角形的三边a、b、c满足/ 4a + 4 +Jb 3 =0,10方程| 4x 8 | + y _2 = 0 ,当0时，m的取值范围是（）A 0 m m2C m m b）二.利用二次根式的性质行=同=0（。= 0）（即一个数的平方的算术平方根等于这个-aa 0）数的绝对值)来解题. Vx3 + 3x2 =xJx

7、+ 3，贝ij ()A.xWOB.xW 3C.xN3 D.3WxW0.ab,化简二次根式J-的正确结果是()A. 一 a J- abB. -C. a4ab D. ay/- ab.假设化简1 l-x-J%28x + 16的结果为2x-5那么X的取值范围是()A、x 为任意实数 B、1WxW4 C、xl D、xW4. a, b, c 为三角形的三边，那么 J(a+.-c)2 +J(b-c-a)2 +y/(b + c-a)2 =.当-3x5 时，化简 Jx2 +6x +9 + Vx2 - 10 x + 25 =6、：a + y/-2a + a2 =1,那么a的取值范围是()。A、a = 0 ； B、

8、(7 = 1； C、4 = 0 或 1； D、a 0）,即1 .把以下各式化成最简二次根式:(1)小| (2) a/412 -4022.计算以下各题：（1） 6后（-3回3.计算(1) 2 V- 3 J Vs HJ12 TV50 V3 25学材教育4 虚+2更+际=10，那么x等于（）A. 4 B. 2 C. 2 D. 4.假设 abcO,且 abc,化简飞a，b3c?.如果最简根式叫4a +1仍与2即 + 46 + 1是同类二次根式,求（a+b） 1007./ +2ab + b2 a2-b2 1 , 1， 其中，aj=-?/? = -p=-oV2+1V2-1：a h = 1 + VTo, / -= aa四.二次根式的分母有理化1.1.己矢口:x=V3 V3 + V2V3 + V2求代数式3/-5xy+3歹2的值。学材教育2.化简：厂=，化简并求值：辜叵 + 向/,其中x=2+ V3，y=2-6，Ja+Jby/xy + y x-y/xy答案为 o化简:屈+用