第11讲 对数（教师版）

1、第11讲对数编【学习目标】.理解对数的概念.,知道自然对数和常用对数.理解对数的运算性质，能进行简单的对数运算.知道对数的换底公式，能将一般对数转化为自然对数和常用对数，并能进行简单的化简、计算.【基础知识】知识点一对数的概念对数的概念一般地，如果优=N(0,且存1),那么数x叫做以。为底N的对数，记作x=logN,其中。叫做对数的底 数，N叫做真数.常用对数与自然对数通常，我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把logioN记为IgM另外，在科技、经济以及社会生活中 经常使用以无理数e=2.718 28.为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把logcN记为InM 知识点二对数与指数的

2、关系易得log“N=N, loga/=b.根据对数的定义，可以得到对数与指数之间的关系：当。0,且时，a=Nox=logaN.知识点三对数的有关性质对数的有关性质是解题的重要依据(1)零和负数没有对数；(2)1的对数为零，即logal =030且存1)；(3)底数的对数为1,即log4=im0且存1).知识点四对数运算性质 熟记对数运算性质，切忌记混性质如果0,且存1, M0, N0,那么：(1 )log(M7V) = log,+logoN；M(2)log(W= logM logaN；72拓展：log产Ar=：logaMR,加川)知识点五换底公式经常转化为常用对数和自然对数对数换底公式：lOg

3、ab = Tf?m0,且。，1, /?0, C0,且存1).lOgcu特别地：log/?loga=l(0,且存1,特0,且厚1).【分析】结合题意，根据对数的运算性质即可求解.【详解】设过滤的次数至少为次，那么n1%,从而 1g二4一6馆2gpn(lg2-lg5)-61g2所以之-61g 2Ig2-lg5 0), 那么 log” 5 =()3A. 2B. 3C.2【答案】D【解析】【分析】指数式化为对数式，得出结果.【详解】22因为凉=5(0)，所以log“5 = a.应选：D3. log22 =()3A. 3B. 1C一【答案】B【解析】【分析】利用对数运算性质直接计算作答.【详解】D.D.

4、_5log2 2 = 1应选：By x.2 =24 =3,贝I二2一的值为（）孙A. 1B. 0C. -1D. 2【答案】C【解析】【分析】利用指数与对数互化的公式表示出x = log23,y = log24 3 ,再利用换底公式和对数的运算性质化简计算.【详解】因为2” =24, =3,所以x = log23,y = log24 3 ,由换底公式和对数的运算性质可得3y-x 313131Gle4101181=-=3 log3 2 - log3 24 = log3 8 - log3 24 = log3 = log3 - = -1.xy x y log2 3 log24 3243应选：C5.农业

5、农村部于2021年2月3日发布信息：全国按照主动预防、内外结合、分类施策、有效处置的总体要 求，全面排查蝗灾隐患.为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为6%,最初有N。只，那么大约经过()天能到达最初的1800倍.(参考数据：lnL06a0.0583, Ini.6Po.4700,In 1800 比 7.4955, In 8000 % 8.9872 .)A. 129B. 150C. 197D. 199【答案】A【解析】【分析】设经过天后蝗虫数量到达原来的1800倍，列出方程，结合对数的运算性质即可求解.【详解】由题意可知，蝗虫最初有N。只且日增长率为6%,设经过天后蝗虫

6、数量到达原来的1800倍，eN0(l + 6%) gee In 1800那么=1800, .L06=1800，a n = log, 061800 = 128.6,N。In 1.061,大约经过129天能到达最初的1800倍.应选：A6. log2 8 =()A. 5B. 3C. 2D, 0【答案】B【解析】【分析】利用对数运算公式进行计算.【详解】log2 8 = log2 23 = 3 log 2 2 = 3.应选：B7.log43 = p, log325 ,那么lg5 （用乙q表示）等于（）A.A.pqp+qB.p+qpqc.i + pqp+qD.pq1+pq【答案】d【解析】【分析】ql

7、og325 = =log35 = -qlog325 = =log35 = -利用换底公式和对数运算法那么得到Sg*：/ 1。&5 =晟,进而再用换底公式和对数运算法那么表示出怆5 【详解】vlog43 = P, /. log34 = =log32 = - P2P那么怆5=小蛀=呼$1吗5=a.、 log310 log3（2x5） log32 + log35 J_ + 1 + P 夕2 2应选：D二、多项选择题.以下运算错误的选项是（）A. Ig2xlg3 = lg6 B. （lg2）2 =lg4 C. Ig2 + lg3 = lg5D. Ig4-lg2 = lg2【答案】ABC【解析】【分析】

8、h根据对数的运算法那么来进行判断，根据log. + log. c = log.庆可以判断ABC,通过log,*-log- c = log.-可 c以判断D选项【详解】根据对数的运算，Ig2 + lg3 = lg6从而判断A, C都错误，Ig2 + lg2 = lg4,从而判断B错误，4Ig4-lg2 = lg- = lg2,从而判断D正确.应选：ABC.（多项选择）假设 10 =4, 10 =25,那么（）B. b-a = iA. 。+6=2C. ab = 4【答案】AD【解析】D.J lg2b lg5【分析】根据对数和指数的互化计算出么b,然后逐项验证即可.【详解】V 10a = 4, 10

9、=25, A 6z = lg4, Z? = lg25,+ Z? = 1g 4 + 1g 25 = 1g 100 = 2,故 A 选项正确;25Z?-6Z = lg25-lg4 = lg,故 3 选项错误；4Qb = lg4xlg25 = 21g2x21g5 = 41g2xlg5,故 C 选项错误；?=粤=譬，故。选项正确，b 1g 25 lg5应选：AD.（多项选择）以下指数式与对数式的互化中正确是（）A. 10=1 与 lgl=0B. ,7-=!与1g272=-34/33C. log39 = 2 与 32 = 9D. Iog55 = l 与 51=5【答案】ACD【解析】【分析】根据指数运算

10、和对数运算的法那么，相互转化逐项判断即可.【详解】B 选项中，？7一； =:=108272 = 一：. 乙/333应选：ACD三、填空题H.计算（1g2+ 1g21g5 + 1g5 3一陶2 =【答案】；#0.5【解析】【分析】 利用对数运算及指数式与对数式互化计算作答【详解】911(lg2)+lg21g5 + lg5 3啕 2=怆2(怆2 + 恒5) + 怆5 (3啕 2)-=ig2 + lg5 不=5.故答案为：;-0.5【答案】21【解析】 【分析】根据对数函数换底公式及运算法那么，指数运算法那么进行计算.【详解】 TOC o 1-5 h z 21吗1呜9 + 73、-(o.Ol)-05

11、 = 21og25 lo37 +1-10logs-Iog7 4I 5 J !?_5 37log3531og271( 31og35.1og27321log35-log27 I 2 J 2221故答案为：-二13.log,x = 2, log/,x = 3 , logcx = 5 ,那么壮人工=30 【答案】三【解析】 【分析】 TOC o 1-5 h z 根据换底公式得到log= 1, logv/7 = 1, 10gxC = 1,进而求出logi%、再用换底公式求出log欣 JJ【详解】由 logx = 2, logx = 3, log,x = 5 得：log v ct = -y logxZ?

12、= -, log c =-, 乙JJ1 1 1 3130logA. abc = logA. + logvb + logv c = - + - + - = ,所以 logaA = vx130故答案为：四、解答题14.(1)(2)根= lg2, 10 =3,计算I。.的值.【答案】(1) 1; (2)【解析】【分析】(1)根据给定条件，利用指数运算法那么计算作答.(2)利用指数式与对数式互化求出代入并结合对数运算法那么求解作答.【详解】31 Q17-3Q133Q1(1)原式=(士)22_2 + -Lx(4)3 3+ -Lx(-)2=- + = 1.(2)由 10 =3得：=怆3,而m= lg2,J

13、6所以，io4/n-3z, = io4,g2-31g3 = io,gl6-,g27 =10叼=2715. (1)计算：0.064 3+ 164 +0.252(2)假设 10 =2, 1(F=25,求2 +根的值.【答案】(1) 10； (2) 2.【解析】【分析】(1)利用分数指数幕运算法那么分别对每一项进行化简，然后合并求解；(2)先利用条件，把机、表示出来，代入要求解的式子中，利用对数的运算法那么化简即可.【详解】原式=标f向+g=1一陋+90(2)因为 10 =2, 10?=25,所以=怛2, w = lg25,所以 2 +根= 21g2 + lg25 = 21g2 + 21g5 = 2

14、(lg2 + lg5)= 21gl0 = 2喉【考点剖析】考点一：对数的定义及其应用例1.使式子log（3-）（3-x）有意义的X的取值范围是（A. x3B. x0由题意得:123x ,解得：工033应选：D考点二：指数式与对数式的互化例2.将以下指数式与对数式互化:(l)log216 = 4； log 27 = -3；3(3)logx = 3；(4)53=125;【答案】（1）24=16;-3= 27；(3)的！；(4)log5125 = 3；(5)log2； = T；9 = -2. 3【解析】【分析】(1) (2) (3) (4) (5) (6)利用指数式与对数式的互化公式直接求解作答.因

15、为log216 = 4,所以有：24 = 16.因为log27 = -3,所以有：口丫 =27. 3 因为log有工=3,所以有：(G) = x.因为53 =125,所以有：1暇125 = 3.因为2T =，所以有：log2； = -l. 乙乙因为FY=9,所以有：皿9 = -2. 3考点三：对数的运算性质例 3. a = log32,那么 Iog3 8-21og3 6用 a 表示是()A. 5。2B. a 2C. 3a (1 +。)D. 3ci cr 【答案】B【解析】【分析】利用对数的运算法那么求解即可.【详解】log3 8 -log3 6 = log3 23- 2(log3 2 + lo

16、g3 3)= log3 2 - 2 = i - 2 , 应选：B.考点四：换底公式的应用log59-log225-log34 =【答案】8【解析】【分析】直接利用对数的运算性质及对数的换底公式，对式子进行化简即可求解.【详解】解：Iog59log225log34=log532 xlog252 xlog322=2xlog53x2xlog25x2xlog32=8x log5 3 x log3 2 x log2 5-8x，g3xlg2xlg5-8o xXx- o ,lg5 lg3 lg2故答案为：8.考点五：利用对数运算法那么化简与求值例5.计算求值_3(D(V3 xV2)6-flp-(-8)；(2

17、) lg ： + lg2 + log2 24 + log3 V27 -log23 ；(3)6 =2 =3,求,一!的值. a b【答案】(1)44(3)1【解析】【分析】(1)由指数的运算法那么计算(2)由对数的运算法那么计算(3)将指数式转化为对数式后计算_ 3(近x友2-(-8)= 32 x23 -32x2-1 = 72-27-1 = 44；lg ； + 1g 2 + log2 24 + log3 V27 -log2 33=-lg 2 + 1g 2 + log2(3x8)+ log332 -log2339log23 + 3 + log23 =；6T = log63 , /? = log23

18、,那么 L = 10836, 7 = logs2 ； ab所以=log36-log32 = log 3 3 = 1.a b考点六：两边取对数思想在解题中的应用列 6.2 =3、=6, wl,求证：, + =C3【答案】证明见解析.【解析】【分析】令2、=3)=6z=攵，利用指数对数的互化和换底公式分别表示出,z,进而即可得到L + = Lx y z【详解】设 2、=3、=6二=攵01),那么 X = k)g2%=譬，y = log3%=譬，z = 10g6=譬， lg2lg3lg61 1 Jg2 + lg3 _lg6_l故+ -= = 丁7 = 一 x y Igk 1gAz【真题演练】1.模型

19、是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺K炎累计确诊病例数/。的单位：天）的LogiS区模型：-0.23（-53），其中K为最大确诊病例数.当 1 I L/（r）=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，那么约为（）（lnlg3）A. 60B. 63C. 66D. 69【答案】C【解析】【分析】将代入函数/=：T3）结合/年）=095K求得f即可得解. I C【详解】/） =W 所/（r） =- = 0.95ATIjlll 0.23（/-53）, V/ + eO.23（T3），以、/+ -0.23（/*-53），人6、 19 J所以，0.23r-53）= 11

20、119六3,解得广。上 + 53。66. 70.23应选：C.【点睛】此题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.2.匕0, log5b =，lgZ? = c, 5 =10,那么以下等式一定成立的是A. d-acB. a = cdC. c-adD. d-a-c【答案】B【解析】【详解】试题分析：logs人= /g匕=。相除得譬 二 31og51 = 3，又5=10,.logJ0 = d,所以d = B = cd = a,选 lg。 CCCB.【考点定位】指数运算与对数运算.3.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为I

21、S。那么以下各数中与最接近的是（参考数据:lg3ko.数）A. 1033B. IO53C. IO73D. IO93【答案】D【解析】【详解】M3361试题分析：设丝= x = N1O80,两边取对数,o361lgx = lg-= lg3361-lglO8=361xlg3-8O = 93.28 ,所以MI严8,即五最接近日应选D.【名师点睛】此题考查了转化与化归能力,此题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以*61及指数与对数运算的关系，难点是令元=需，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含Mlog。M + log。N = log。MN , log。M 一 log。N = l

22、ogr/ , log” Mn =noga M .4.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足根2 -町=lgg,其Z 乜2中星等为根上的星的亮度为以（61,2） .太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-L45,那么太阳与天狼星的亮度的比值为A. 1O10-1B. 10.1C. IglO.lD. 1O101【答案】A【解析】 由题意得到关于昂当的等式，结合对数的运算法那么可得亮度的比值.【详解】两颗星的星等与灵度满足4-仍=彳怆三,令咫=-1.45,町=-26.7,J79?F1g=（m2 叫）=一（一 1 45 + 26.7） = 10.1,=1255应选A.【点睛】此题以天文学问题为背景，考查考生的数学应用意识、信息处理能力、阅读理解能力以及指数对数运算.假设。= log43,那么 2+2-=【答案】6 j *【解析】【详解】_14 LV a = log4 3，:. 4 = 3 n 2=石,，2 + 2-2 = 3 + -j= = v3 .考点：对数的计算. IgO.Ol +log216=【答案】2【解析】【详解】lg0.01+log216=-2+4 = 2考点：此题考查对数的概念、对数运算的基础知识，考查基本运算能力. k)gx = 2, k)gx =