圆锥形及阶梯型变幅杆模态分析资料讲解

1、圆锥形及阶梯型变幅杆模态分析超声波变幅杆的设计及修正摘 要: 超声变幅杆是超声波振动系统中一个重要的组成部分。本文结合超声变幅杆理论对设计变幅杆进行结果分析及参数修正,采用 ANSYS 12.1 对变幅杆进行了有限元模态分析，在此基础上，设计并加工了一个应用于超声显微切割系统中的、谐振频率为 70 kHz 的半波长圆锥型变幅杆，和用于超声波近场悬浮的、谐振频率是 20kHz 的阶梯型变幅杆，并进行了相关实验。实验结果表明，利用 ANSYS 软件辅助设计方法得到的超声变幅杆，其谐振频率与模态分析值非常接近，修正理论也可以让变幅杆谐振频率更加接近设计值，为超声变幅杆的设计、校核和优化提供了一种新途

2、径。关键词:变幅杆;有限元;模态分析Design and Revise of Ultrasonic hornAbstract：Ultrasonic horns apply widely in ultrasonic processing. Combined with ultrasonic horn theory, correct the ultrasonic horn by formula, analysis the modal of horn by ANSYS 12.1, on this basis, design a half-wavelength conical horn which re

3、sonant frequency is 60kHz, used by a ultrasonic micro dissection system, and a stepped ultrasonic horn which resonant frequency is 20kHz, used by a near-field acoustic levitation system, then make the related experiment. The results show that the resonant frequency of the ultrasonic horn designed by

4、 ANSYS is approaching the theory value, the correction coefficient also can make the resonant frequency approach the theory value, that provides a new way to design, checking or optimization.Key word: Ultrasonic horn; Finite element; Modal analysis引 言超声变幅杆是超声振动系统的重要组成部件，它在振动系统中的主要作用是把机械振动的质点位移量或运动速度

5、放大，并将超声能量集中在较小的面积上1。在高强度超声应用 中，如超声加工、超声焊接、超声切割、超声波悬浮等场合，所需要的振幅大约为几十至几百微米，但是超声换能器辐射面所产生的振动幅度较小，一般只有几微米，所以必须借助变幅杆将机械振动质点的位移或速度放大至满足工程应用要求。目前，有关超声变幅杆的设 计，国内外主要采用传统解析法、等效电路法与替代法等，但是这些方法普遍存在计算量大而且设计精度不高的缺陷。运用有限元分析软件 ANSYS，可以有效地解决传统设计方法中存在的不足2。因此，运用 ANSYS，通过对超声变幅杆进行模态分析和参数优化，可以大大提高设计效率和精度。本研究结合 ANSYS 软件，设

6、计一个在超声显微切割系统应用的、谐振频率为 60 kHz 的半波长圆锥型变幅杆和超声波悬浮中应用的谐振频率为 20kHz 圆柱型变幅杆。1 超声变幅杆的理论分析与设计1 变截面杆纵向振动的理论分析物体在弹性介质中发生振动时会引起介质的振动。在研究振动波时，假设把弹性介质分成若干层，每一层看作是由许多彼此紧密相连的质点组成，一旦介质中的某个质点受到某种扰动，此质点便产生偏离其平衡位置的运动3，由于介质各点之间存在着弹性的联系，这一运动势必推动与其相邻的质点也开始运动，这样，物体的振动就在弹性介质中传播出去，这种物体的振动在弹性介质中的传播被称为波动。以质点和简单机械振动系统的振动及超声波的传播原

7、理为理论基础，建立数学模型，根据牛顿定理可以确定变截面杆纵向振动的波动方程。为了便于研究，设定理想状态，假定变截面杆是由均匀、各向同性材料所构成的，略去机械损耗，当杆的横截面尺寸远小于波长时，可以认定，平面纵波沿杆轴向传播，在杆的横截面上应力分布是均匀的4。图 1 变截面杆纵向振动任一变横截面杆（如图 1 所示），其对称轴为 X 轴，作用在任意的一小体积元x, x dx上的张应力为 dx ，根据牛顿定律可以得出动力学方程：x(S) dx S 2 dx(1)x2 x 为变幅杆纵向振动位移， s s x为面积函数， k c 为波数， 为材料的密度。 为应力函数， E ，E 是杨氏模量。x按照经典的

8、一维变截面细杆纵振理论，假定变幅杆是由密度均匀且各向同性的材料制 成，不计机械损耗，在杆的横截面上应力分布均匀且平面波沿轴向传播，此时平面波的传播方程为：k 21 s 2 0(2)x2s x xE k c 为圆波数， 是圆频率， c 是纵波在细杆中的传播速度， c 5。圆锥型变幅杆的设计变幅杆的理论分析变幅杆各性能参数是根据纵向振动的波动方程、杆的面积函数及边界条件推导出的公式确定的，如图 2 所示。图 2 圆锥型变幅杆结构图以变幅杆的纵向为 x 轴， l 为长度， S (x) 为截面面积，设坐标原点 x =0 处的横截面积为S ， x l 处的横截面积为 S12自由的时候，边界条件为：；作用

9、在S ， S12上的力及位移分别为 F 、11和 F 、22，两端x 0 : , |11tx0, |x x0 0(3)x l : ,22 |txl, |xxl 0 (4)根据边界条件可以得到变幅杆的谐振长度：l 2这就是变幅杆的设计长都都是半波长的原因6。变幅杆谐振频率修正(5)假设变幅杆纵振时沿轴线方向上的位移为，则应变为xx x ，纵振速度为xd。xxdt根据瑞利近似理论9，横向应变为 rx ( 为泊松比)，横向位移为xr rr rx ( r 为x半径)，横向振动速度为 dr r x 。变幅杆上任意一个微分单元的质量为rdtxdm 2 rdrdx ，故沿轴向方向的纵向振动动能 Ex和沿径向

10、方向的横向振动动能 Er分别为：E 1 2dm l 2 R( x)2 dx(6)x2 x2 0 x 1 2 2 l 2( )4(7)Edmr2 r4 x R x dx1K2M0 忽略横向振动后的系统总动能降低，等效质量mx 减小，因为 f eq，故变幅杆计ExE Exr算出的谐振频率比实际谐振频率高7。增加横向振动后的纵振谐振频率 f 与忽略横向振动时的频率 f 比值为： f f(8)这里称 为频率修正系数。为了让变幅杆实际频率与设计频率一致，需要对未考虑横向振动时的杆长l 进行修正，经修正后的杆长l 为：l l(9) 2对于圆柱杆，两端自由时 Acos x ，所以l 2x dxl 2dx ，

11、故l0 x l 2 0 xEx杆 1 2 2 R2 ，于是圆柱杆的频率修正公式为：E Ex杆r杆2l 2 f 1杆f1 2 2 R22l 2(10)对于常用的粗细两段等长阶梯型变幅杆，令粗细两段半径分别为 R 和 r，质点的纵向振动速度分别为和xaxb。两端自由时，变幅杆两端应力为 0，在 x 0 的截面处力和位移连续，由这些边界条件可知 A A 0 ， B S B S，所以 R2 N ， xb N 2 。计算bS1121 12 2Sr22ba2xaa阶梯型变幅杆的纵振动能 Ex阶梯和横振动能 Er阶梯时，可以按照半径为 R 长度为 l 的等效圆柱杆来计算，只是在计算 Er阶梯时，应加上阶梯面

12、对变幅杆两端速度的影响。于是 Ex阶梯、 E分别r阶梯为：E R2 l x阶梯20 xa2dx R2 l 20 xa2dx(11)2 0 2l 2E4 R4 xa dx R4 2 xb dx r阶梯 32 lx2l0 x (12) 4l 21 N 4R4 2 0 xa2dx故阶梯型变幅杆频率修正公式为8：1 N 4 R2 2 2变幅杆的设计 11 阶梯22l2(13)分别为超声显微切割系统和超声波近场悬浮系统设计一个半波长的变幅杆，要求工作频率 f 60kHz 和 f 20kHz ，材料选用 45 号钢。根据系统结构要求，设定圆锥型变幅杆的大端直径 D1 20mm ，小端直径 D2 5mm ，

13、得到 N D D12 4 ，可知纵波声速（在 45 号钢中） c 5.17 106mm / s ，根据式（5）、式（6）和式（7）计算可得: l1 43mm ， x0 19mm 。同时，考虑到其与外界的装配问题，在节面处增加了一厚度为 4mm，外径为 28mm 的法兰盘，具体尺寸如图 3 所示。图 3 圆锥型变幅杆而对于设计频率是 20kHz 的近场悬浮变幅杆，型状是一个圆柱上面一个圆盘，可以把圆盘考虑成弯曲振动，这样设计的时候只需考虑圆柱杆。同上面的步骤，最后得到变幅杆尺寸为：长度l2 129mm ，取大端直径 D3 38mm ，小端直径 D4 20mm 。如图 4 所示。超声变幅杆的有限元

14、分析图 4 阶梯型变幅杆根据圆锥型变幅杆的理论完成设计，并进行有限元分析。这里采用美国 ANSYS 公司设计开发的大型通用有限元分析软件 ANSYS 12.1 进行分析。变幅杆模型的建立用 SolidWorks 建立上述圆锥型变幅杆的三维结构模型。将设计尺寸输入，经处理后建立变幅杆完整的实体模型。然后将模型数据存储为 x_t 格式并通过数据交换将几何模型导入有限元软件 ANSYS 中。定义材料特性设计变幅杆所用材料如表 1 所示。密度 /表 1 45 号钢材料属性材料（ kg m3）E弹/性G模P量a声 速 c /m s1泊松比45 号钢7800单元确定及网格划分21051700.28采用SO

15、LID187单元对圆锥型变幅杆进行自由映射网格单元划分。对重要部位做细化。圆柱型变幅杆仿真超声波悬浮变幅杆是直接和压电陶瓷连接起来，所以模拟的时候不对变幅杆施加约束，让其自由振动。采用 Lanczos 方法进行搜索，计算 30 阶模态，搜索空间是15kHz25kHz10。 最终得到三阶模态，第一阶频率是 16034kHz，弯曲振动;二阶频率是16042kHz，也是弯曲振动;三阶频率是 19080kHz，是纵向振动。各阶频率及阵型如图 57 所示，但是这个纵振频率与设计频率 20kHz 相差太大，加工出来的变幅杆振动不起来，需要进行修正。通过本文的频率修正后，可以得到l l 125.5mm 。修

16、正后各阶频率及振型如图810 所示：图 5 阶梯型变幅杆一阶频率：16034Hz图 6 阶梯型变幅杆二阶频率：16042Hz图 7 阶梯型变幅杆三阶频率：19080Hz图 8 阶梯型变幅杆修正后一阶频率：17142HZ图 9 阶梯型变幅杆修正后二阶频率：17146HZ图 10 阶梯型变幅杆修正后三阶频率：19871HZ从仿真结果可以看出，如果设计的变幅杆不修正，纵振频率值和设计值会有比较大的误差，修正后会非常接近设计值。圆锥型变幅杆仿真根据实际情况，在法兰盘处施加完全约束。模态分析采用精度和计算速度都高的Lanczos 直接叠加法，计算 30 阶模态。搜索空间是 50kHz70kHz，一共得到

17、了六阶模态。一阶模态频率是 56635Hz，振型是纵向振动；二阶频率是 64530Hz，纵向振动；三阶频率为65516Hz，是弯曲振动；四阶频率为 65535Hz,弯曲振动；五阶频率是 69398Hz，纵向振动； 六阶频率是 69408Hz,弯曲振动。五阶纵振频率非常接近设计的 70kHz，满足设计要求，各阶频率及振型如图 11-16。图 11 圆锥型变幅杆一阶频率：56635Hz图 12 圆锥型变幅杆二阶频率 64530Hz图 13 圆锥型变幅杆三阶频率 65516Hz图 14 圆锥型变幅杆四阶频率 65535Hz图 15 圆锥型变幅杆五阶频率 69398Hz图 16 圆锥型变幅杆六阶频率

18、69408Hz因为圆锥型变幅杆中间固定了一个法兰盘，有效的限制了变幅杆的横向振动，所以结果不需要修正就已经很准了。4 结论本文分别设计了一个圆锥型变幅杆和阶梯型变幅杆。通过能量修正法分析了传统变幅杆纵振频率比设计值低的原因，并对阶梯型变幅杆提出了一种简单的修正公式。然后通过有限元软件数值模拟对设计的变幅杆进行分析。结果表明：阶梯型变幅杆经过修正之后会非常接近理论值，而带法兰盘的圆锥型变幅杆由于法兰盘的存在，不需要修正。参考文献1 初涛. 超声变幅杆的设计及有限元分析J. 机电工程, 2009, 26(1): 102-107.曹凤国.超声加工技术M.北京:化学工业出版社,2005.王敏慧, 鲍善

19、惠, 江长青. 粗细端截面比对阶梯形变幅杆谐振频率的影响J. 声学技术, 2004(04): 242-245. 4 朱 寅.超声变幅杆有限元谐振分析J.机械, 2005, 32(12): 13-15.范国良, 应祟福,林仲茂等. 一种新型的超声加工深小孔的工具系统J. 应用声学, 1982 (01): 2-7.RAWSON F F. High power resonant horns for ultrasonicwelding and theirmaterial aspectsJ.U ltrasonics, 1987, 25(6): 371.林仲茂. 超声变幅杆的原理和设计M. 北京:科学出版

20、社, 1987: 95-100.S. Zhao, J. Wallaschekl. A standing wave acoustic levitation system for large planar objects J.Arch. Appl. Mech., 2011, 81 (2): 123-139朱武, 张佳民. 基于四端网络法的超声波变幅杆设计J. 上海电力学院学报, 2004, 20(4): 20-23分析步骤（为节省时间以阶梯型变幅杆修正后的为例）：第 1 步： 载入 SolidWorks 中创建的模型如图 1-1、1-21-1 读入 SolidWorks 中创建的 X_T 文件1-

21、2 读入后线框显示的模型第 2 步：指定分析标题并设置分析范畴设置标题等 Utility MenuFileChange Title图 2-1 设置标题Utility MenuFile Change Jobname图 2-2 设置工作名称Utility MenuFileChange Directory图 2-3 设置工作目录选取菜单途径 Main MenuPreference ,单击 Structure,单击 OK第 3 步：定义单元类型图 2-4 选取菜单途径Main MenuPreprocessorElement TypeAdd/Edit/Delete,出现 Element Types 对话

22、框, 单击 Add 出现 Library of Element Types 对话框,选择 Structural Solid,再右滚动栏选择 10node 187,然后单击 OK，单击 Element Types 对话框中的 Close 按钮就完成这项设置了。第 4 步：指定材料性能图 3 定义单元类型为 10node 187选取菜单途径 Main MenuPreprocessorMaterial PropsMaterial Models。出现 Define Material Model Behavior 对话框,在右侧 StructuralLinearElasticIsotropic,指定材料

23、的弹性模量和泊松系数 StructuralDensity 指定材料的密度，完成后退出即可。第 5 步：划分网格图 4 指定材料性能选取菜单途径 Main MenuPreprocessorMeshingMeshTool,出现 MeshTool 对话框，一般采用只能划分网格，点击 SmartSize,下面可选择网格的相对大小（太小的计算比较复杂，不一定能产生好的效果，一般做两三组进行比较，本次分析设为 3），保留其他选项，单击Mesh 出现 Mesh Volumes 对话框，其他保持不变单击 Pick All，完成网格划分。图五 圆锥形变幅杆划分网格后第 6 步：进入求解器并指定分析类型和选项选取

24、菜单途径 Main MenuSolutionAnalysis TypeNew Analysis，将出现 New Analysis对话框,选择 Modal 单击 OK。图 6-1 指定分析类型为 Modal选取 Main MenuSolution Analysis TypeAnalysis Options， 将出现 Modal Analysis 对话框，选中 Block Lanczos 模态提取法，在 Number of modes to extract 处输入相应的值（一般为 5 或 10，如果想要看更多的可以选择相应的数字,此次分析使用 30），单击 OK，出现Subspace Model

25、Analysis 对话框，选择频率的起始值和终值，其他保持不变，单击 OK。第 7 步：施加边界条件图 6-2 选择频率起始值和终值选取 Main MenuSolutionDefine loadsApplyStructuralDisplacement,出现 ApplyU,ROT on KPS 对话框，选择在点、线或面上施加位移约束,单击 OK 会打开约束种类对话框，选择（All DOF,UX,UY,UZ）相应的约束,单击 apply 或 OK 即可，此处由于超声波悬浮变幅杆是直接和压电陶瓷连接起来，所以模拟的时候不对变幅杆施加约束，让其自由振动。第 8 步：指定要扩展的模态数选取菜单途径 Main MenuSolutionLoad Step OptsExpansionPassExpand Modes,出现Expand Modes 对话框,在 numbe