2022年一阶常微分方程解法总结

1、一阶常微分方程解法总结第一章一阶微分方程的解法的小结,得到、可分离变量的方程: 、形如dyf(x )g(y)dx当g( y)0时,得到dy)f(x)dx,两边积分即可得到结果; g(y当g(0)0时,则y(x)0也就是方程的解。例 1、1、dyxydx解:当y0时,有dyxdx,两边积分得到lnyx2C(C 为常数)y2x2所以yC 1e2( C 1 为非零常数且C 1C e)y0显然就是原方程的解; x 2综上所述 ,原方程的解为yC 1e2( C 1为常数)、形如M(x )N(y)dxP(x)Q(y)dy0当P(x)N(y)0时,可有M(x)dxQ(y)dy,两边积分可得结果; P(x)N

2、(y)当N(y0)0时,y0y为原方程的解 ,当P(x 0）0时 ,xx0为原方程的解。例 1、2、x(y21 )dxy(x2)1dy0解:当(x21 )(y21 )0时,有1y2dyx2x1dx两边积分得到ylnx21lny21lnC( C0 ),所以有(x21 )(y21 )C( C0 ); 当(x21 )(y2)10时,也就是原方程的解; 综上所述 ,原方程的解为(x21 )(y21 )C(C为常数)。可化为变量可分离方程的方程: 、形如dyg(y)dxx解法 : 令uy,则dyxduudx,代入得到xduug(u)为变量可分离方程xdx一阶常微分方程解法总结f(u,x,C)0(C为常数

3、)再把 u 代入得到f(y,x ,C)0( C 为常数)。,得x、形如udyG( axby),(ab0 ),代入得到1duadx解法 :令by,则dyadxduG( u )为变量可分离方程axbbdxb到f(u,x,C)0( C为常数)再把 u 代入得到f(axby ,x ,C)0(C为常数)。、形如dyf(a 1xb 1yc 1)dxa2xb 2yc2xx 0解法 :1 、0a 1b 10,转化为dyG(axby),下同 ; a 2b 2dx2 、0a 1b 10,a 1xb 1yc 10的解为(x0y0),令ua 2b 2a2xb 2yc20vyy 0得到 ,dvf(a 1 ub 1 v)

4、f(a 1b 1v)g(v),下同 ; u vdua 2ub 2va 2b 2ursinu还有几类 :yf(xy )dxxg(xy )dy0 ,uxyx2dyf(xy ),vxydyxf(y 2),xwydxdx2 xM(x,y)(xdxydy)N(x,y)(xdyydx)0 ,xrcos,y以上都可以化为变量可分离方程。例 2、1、dyyxy5du,代入得到1duuu7,有udu7dx)。dxxy2解:令ux2,则dydxdx所以u27xC(C为常数),把 u 代入得到（xy2）27xC(C为常数22例 2、2、dy2xy11,令ux1,有dydv,代入得到dxx2y1解:由2x0得到xy1

5、3 13 1x2y10yvydxdu33一阶常微分方程解法总结dv2 uv2v,令tv,有dvtduudt,代入得到t(udt du(2t,化简得u 2 v uduu2 v1u12t到,du21t2 t2t2dtd( 1tt2),有lnuln(1tt2)CC为常数),所以u22 (1tt2)2有u1C1t2，( C1eC),故代入得到x11yC 1y12(,C 10 )3t13 13 1xx33(3)、一阶线性微分方程: x )yh (x )dxQ(x)dxeP(x )dx(ePx)dxQ(x)dxC)一般形式 :a（x)dya 0(dx标准形式 :dyP (x )yQ (x )dx解法 :1

6、、直接带公式 : eP(x )dxeP(x)yCeP(x)dx2、积分因子法 : y(x)1)(x) Q(x)dxC,(x )eP(x )dx,xQ(t)et0P(s )ds dt)(xtP(s)ds3、IVP:dyP (x)yQ(x ),y (x 0)y 0dxyexP(s )ds(xQ(t)exP(s)dsdty0)y0ex0 x0 x 0 xx 0 x0例 3、(x)1dynyex x)1n1nQ (x )e x x)1n;dx解:化简方程为 :dyxn1ye x x1 )n,则P (x )dxx1代入公式得到(x)eP(x)dxen1dx(x1 )-n(x)1n(x eC)( C 为常

7、数x所以 ,y(x )(x1 )n(x1 )nx e(x)1ndxC(4)、恰当方程 : 形如M(x,y)dxN(x,y)dy0,G(x,y),s .dGM(x ,y)dxN(x,y )dy解法 :先判断就是否就是恰当方程: (x,y)恒成立 ,那么原方程就是个恰当方程,找出一个如果有M(x,y)Nyx一阶常微分方程解法总结G(x ,y),s . tG(x,y )M(X,y),G(x ,y)N(x,y), ,两边对y 求偏xy有G(x,y)C(,C为常数); 例 4、(3x26xy2)dx(6x2y4y3)dy0解:由题意得到 ,M(x ,y)3x26xy2,N(x,y)6x2y4y3由M12

8、xyN得到 ,原方程就是一个恰当方程; yxy)(y )下面求一个G(x ,y ),s . tG(x,y)M(X,y),G(x,y)N(x,xy由G (x ,y)M(X,y)3x262 xy得G(x ,y)x33x2y2x导得到G6x2y(y)6x2y4y3,得到(y)4y3,有(y )y4, y故G(x,y)x33x2y2y4,由dG0,得到x33 x2y2y4C,(C为常数)(5)、积分因子法 : 方 程M(x,y)dxN(x,y)dy0 ,(x,y),s . t.MdxNdy0是一个恰当方程,那么称(x,y)就是原方程的积分因子;积分因子不唯一。,且为(x ,y)e(x)dx,两边MN当

9、且仅当yNx(x),原方程有只与x 有关的积分因子同乘以(x,y),化为恰当方程 ,下同 (4)。,且为(x ,y)e(y)dy,两边MN当且仅当yMx(y),原方程有只与y 有关的积分因子同乘以(x,y),化为恰当方程 ,下同 (4)。例 5、1、(ex3y2)dx2xydy0一阶常微分方程解法总结解:由M(x ,y)ex3y2,N(x ,y)2xy得MN6y2y4y2,且有yxMNN(x )2, 有(x ,y)e2dxx2, 原 方 程 两 边 同 乘xyxy, 得 到xxx2(ex3y2)dx2x3ydy0 ,化为d(x22x2)exx3y2)0,得到解为(x22x2 )e xx3y2C

10、(,C为常数)例 5、2、ydx(xy3 dy02,得到解:由题意得到 ,M(x ,y)y,N(x,y )(xy3),有MN1(1 )2yx有MMN(y)2,有(x ,y )e(y)dye2dyy2,原方程两边同乘yxyydx(xy)dyd(xy2)0,得到原方程的解为: yy2y2xy2C(,C为常数)y2(6)、贝努力方程 : 形如dyP (x)yQ (x )yn, (x )u1(n ) Q (x ),下同 (3) dx解法 :令uy1n,有du1(n)yndy,代入得到du( 1n )Pdx例 6、dy6y2 xydxx6,Q(x )x, 解:令uy1,有duy2dy,代入得到du6ux

11、,则P (x )dxxx有(x)eP(x)dx6 x,u(x )x6x6xdxCx2C,(C为常数),把 u 代入得到8x61x2C,(C为常数)、y8x6(7)、一阶隐式微分方程: 一般形式 :F(x,y,y)0,解不出 y 的称为一阶隐式微分方程。一阶常微分方程解法总结下面介绍四种类型: (4)F(y,y)0()1yf(x ,y)(2)xf(y,y)(3 )F(x ,y)0、形如yf(x ,dy), pf xfdp,这就是关于dx一般解法 :令pdy,代入得到yf(x,p),两边对 x 求导得到dxpdxx,p 的一阶线性微分方程,仿照 (3), 1、得出解为p(x,C),C为常数,那么原

12、方程的通解为yf(x,(x ,C),C为常数2、得出解为x(p,C),C为常数,那么原方程的通解为yx(p ,C)p ),C 为常数f(p ,C),1ffdp,此方程就是3、得出解为(x,p ,C)0,C 为常数,那么原方程的通解为(x ,p ,C)p )0 ,C 为常数yf(x ,、形如xf(y ,dy)dx一般解法 :令pdy,代入有xf(y,p),两边对y 求导 ,得到dxpypdy一阶微分方程 ,可以按照以上 (1)(5)求出通解(y ,p,C)0 ,C为常数,那么原方程的通解为、形如F(x ,y)0(y ,p ,C)p )0 ,C 为常数(t)dt, 两 边 积 分 得 到xf(y,

13、一 般 解 法 : 设x( t )(, t 为参数( t ),dyydx(t)yy( t)( t)dtC,C 为常数,于就是有原方程的通解为y(t)(t)dtC,C为常数x(t)一阶常微分方程解法总结、形如F(y ,y)0(t)dx, 有一 般 解 法 : 设y( t )(, t 为参数( t ), 由 关 系 式dyydx得(t)dtydx(t)dt,两边积分得到x(t)dtC， C为常数,于就是有(t)(t)xy( t )dt( t )( t )C，C为常数例 7、1 x y31y解:令py,得到x1pp,两边对 y 求导 ,得到1(13 ( 14p)dp, 3pp3pdy,有有dy(23

14、)dp,得到y2232C,C为常数,于就是通解为p2p3ppyx1pC，C为常数p323p2p2例 7、2 yy2ey解:令py,得到yp2ep,两边对 x 求导 ,得到p(p22p) epdpdxdx(p2 )epdp,两边积分得到x(p1 )epC,C为常数,于就是通解为x(p)1p eC,C 为常数y2 pep例 7、3 x2y21解:设xcost,有dyydxsint(sint)dtcos2 t1dt,所以ysint2ysin2 ttC,C 为常数42于就是通解为一阶常微分方程解法总结例 7、4 y21(y2)1dyysin2 ttC,C 为常数tant),所以4 x2 cos ty有dxsint1tdtdttd(sint,解:设y1ycos2tsincos2cos txtantC,C为常数于就是通解为xytan t1C,C 为常数cos t(8)、里卡蒂方程 : 一般形式 :dyP(x )y2)Q(x )yR (x )1,有dydy 01dz dx,代入原方程得到dx一般解法 :先找出一个特解y 0 x),那么令yy 0zdxdxz2dy 01dzP (x )(y 01 )z2Q(x )(y 01)R (x ), dxz2dxz,解出化简得到dz(2 P(x0,为一阶线性微分方程y 0Q