工程项目不确定性分析

1、第六章 工程项目不确定性分析第一节 概述 不确定性，一是指影响工程方案经济效果的各种因素如各种价格的未来变化带有不确定性；二是指测算工程方案现金流量时各种数据如投资额、产量等由于缺乏足够的信息或测算方法上的误差，使得方案经济效果评价指标值带有不确定性。 不确定性是指人们在事先只知道所采取行动的所有可能后果而不知道它们出现的可能性，或者两者均不知道，只能对两者做些粗略的估计，因此不确定性是难以计量的。 不确定性分析主要分析各种外部条件发生变化或者测算数据误差对方案经济效果的影响程度，以及方案本身对不确定性的承受能力。一 、不确定性分析的概念第六章 工程项目不确定性分析 政治形势引起的大变化。如战

2、争，地区性动乱与冲突经济上的冲突等; 气候变异或大范围反常。造成粮食或重要工业原材料的欠收、价格变化; 由于政治、经济形势变化引起的政策变化，如整顿、调整引起的银根松紧，利率高低变化等。 统计信息资料不全，存在水分等。 价格体系的调整，外汇汇率变化或通货膨胀经济变化二产生不确定性的原因 物价变动。价格调整和通货膨胀引起工程总投资变化; 建设期、投产期估计不准对经济效益的影响; 生产能力的变化。项目投产后供求关系变化对效益影响 科技的进步，新产品的出现导致竞争能力、成本的变化外部环境内部因素第六章 工程项目不确定性分析三不确定性分析的方法 不确定性分析就是根据拟建项目的具体情况，分析各种外部条件

3、发生变化或者测算数据误差对方案经济效果的影响程度，以估计项目可能承担不确定性的风险及其承受能力，确定项目在经济上的可靠性，并采取相应的对策力争把风险减低到最小限度。 根据各种不确定因素对工程项目经济指标的影响程度通常采用的不确定性分析方法有：（1） 盈亏平衡分析；（2） 敏感性分析；（3） 概率分析。 其中盈亏平衡分析只用于财务评价，敏感性分析和概率分析可同时用于财务评价和国民经济评价。第六章 工程项目不确定性分析第二节 盈亏平衡分析 盈亏平衡分析也称量本利分析，是将项目投产后的产销量作为不确定因素，通过计算企业或项目的盈亏平衡点的产销量，据此分析判断不确定性因素对方案经济效果的影响程度说明方

4、案实施的风险大小及项目承担风险的能力。 盈亏平衡分析就是要找出投资方案的盈亏平衡点。一般地，盈亏平衡点越低，项目实施所评价方案盈利的可能性就越大，亏损的可能性就越小，对某些不确定因素变化所带来的风险的承受能力就越强。 该方法有两种：线形盈亏分析.生产成本、销售收入与产销量之间呈线性关系。非线性盈亏分析. 生产成本、销售收入与产量或销售量）之间呈非线性关系。 盈亏平衡分析一般可通过损益表和盈亏平衡图进行。第六章 工程项目不确定性分析 线性盈亏分析是对企业总成本和总收益的变化作线性分析的一种方法，其目的是掌握投资项目的盈亏界限，确定投资项目的最优生产规模使项目获得最大的经济效益以作出合理的决策。

5、线性盈亏分析,在西方管理会计学上称为CVP分析。即对成本(Cost),产量(Volume),利润(Profit)进行的分析。我国译为两平法、保本法、不盈不亏法等。是假定项目的主营业务收入(或总收益)和主营业务成本(或总成本)均是产量的线性函数。 一线性盈亏平衡分析基本假定：产量等于销售量；单位产品可变成本不变；单位产品销售单价不变；产品可换算为单一产品计算。第六章 工程项目不确定性分析有设: TR总收益或总收入 ； TC总成本；Q销售量； p产品价格； F固定成本；Cv可变成本（1）利润等于零的点称为盈亏平衡点:记平衡点的销量为注：单位产品销售税金及附加包含在单位变动成本中解析法第六章 工程项

6、目不确定性分析利润大于零称为盈利, 故盈利的销售量Q必满足利润小于零称为亏损, 故亏损的销售量Q必满足则利润(M)不为零的产销式:（2）平衡点的生产能力利用率。则盈亏平衡点的生产能力利用率为：（3）盈亏平衡点的销售单价(4）平衡点的单位产品变动成本第六章 工程项目不确定性分析亏本盈利TR或TCF0O*O总收益或总成本图析法 以项目的产量或销售量为横轴。 以项目总成本或总收益为纵轴。 绘制销售收入直线和总成本直线。两条直线的交汇处或交汇点即是盈亏平衡点。表明此处项目销售收入等于总成本。即利润为0。 大于此点的区域为盈利区，小于此点区域为亏损区线性盈亏平衡图亏损区盈利区盈亏平衡点利润固定成本金额产

7、量盈亏平衡产量销售收入总成本可变成本第六章 工程项目不确定性分析例：某项目年设计生产能力为生产某种产品3万件，单位产品售价3000元，总成本费用为7800万元,其中固定成本3000万元，总变动成本与产品产量成正比关系,求以产量生产能力利用率,销售价格和单位产品变动成本表示的盈亏平衡点。解：首先计算单位产品变动成本: Cv=(78003000)3=1600(元/件) 盈亏平衡产量：Q*=30000000/(30001600)=21400(件) 盈亏平衡生产能力利用率：L=21400/30000=71.33% 得到设计产量、售价的盈亏平衡销售价格 p=1600+30000000/30000=260

8、0(元)盈亏平衡单位产品变动成本: Cv=3000-30000000/3000=2000(元/件)第六章 工程项目不确定性分析例：某企业生产某种产品，每件产品的售价为50元，单位可变成本为28元，年固定成本为66000元，求企业的最低产量，企业产品产量为5000件时的利润，企业年利润达到60000元时的产量。解：(1)求盈亏平衡点的产量Q*Q*=F/(P-CV)=66000(50-28)=3000(件)所以，该工厂的最低产量为3000件。(2)若产品产量为5000件，年获利润为5000=(66000+M)(50-28) M=44000(元) 即当产量达到5000件时，每年可获利44 000元。

9、(3)若预期利润达到60000元时，则产量应为Q=(F+M)/(P-CV)= 5727(件)即当产量达到5727件时，企业每年可获利60000元。第六章 工程项目不确定性分析二非线性盈亏平衡分析 在生产实践中，由于产量扩大到一定水平，原材料、动力供应价格会引起上涨等原因造成项目生产成本并非与产量呈线性关系，也由于市场容量的制约，当产量增长后，产品售价也会引起下降，价格与产量呈某种函数关系，因此，销售收入与产量就呈非线性关系。 一般情况下，线性关系只是在生产产量较低的情况下成立，当销售量超过一定范围，市场需求趋向饱和，销售收入随产量增加而增加的幅度就越来越小了，两者之间显下凹非线性的关系。同样单

10、位产品的可变成本也是在一定产量范围内才近似于常数，超过这个产量范围，由于生产条件的逐渐恶化，生产成本与产量之间显上凸的非线性关系 总成本曲线总收入曲线收入或成本产量Q*Q* 非线性盈亏平衡分析示意图 第一种情况，销售收入与产销量呈线性关系，生产总成本与产销量非线性关系(如二次曲线)。非线性盈亏分析可以分为三种情况： 第二种情况,销售收入与产销量呈非线性关系,生产总成本与产销量呈线性关系 第三种情况,销售收入生产总成本与产销量均呈非线性关系。第六章 工程项目不确定性分析 非线性盈亏平衡分析示意图第六章 工程项目不确定性分析第六章 工程项目不确定性分析 设: TR总收益或总收入 ； TC总成本；Q

11、销售量；p产品价格； F固定成本；Cv可变成本；M利润额销售收入与产量的函数为生产成本与产量的函数为 可以求出相应的Q*，就是非线性盈亏平衡产量。非线性盈亏平衡分析可能存在多个盈亏平衡点，即存在多个盈亏平衡产量。由第六章 工程项目不确定性分析 (1)盈亏平衡点的计算 在非线性盈亏平衡分析中,销售收入曲线TRf1(Q)和生产总成本曲线TCf2(Q)可能在两个及以上点处相交，这些点都是盈亏平衡点，所对应的产销量即为盈亏平衡产销量，所对应的销售收人即为盈亏平衡销售收入。 设利润函数为M，则 MTR-TCf1(Q)-f2(Q) M0时的产销量即为盈亏平衡产销量，解如下方程可以得到 f1(Q)-f2(Q

12、)=0 所求得的盈亏平衡产销量有两个，这两个点又称为利润限制点。当实际产销量QQ1或QQ2时，TRTC，M为负值，即发生亏损，只有当Q1QQ2时，才会有TRTC，M为正值，产生利润。第六章 工程项目不确定性分析 (2)求利润最大时的产销量 根据微分求极值原理，对利润函数求关于Q的一阶偏导数，并令其等于零，即可得到Q*。即例：已知某产品的生产成本函数和销售收入函数分别为 TC=180000+100Q+0.01Q2,TR=300Q-0.01Q2,试求其盈亏平衡点产销量和最大盈利产销量。解：当TC=TR时，可求盈亏平衡点。此时， 180000+100Q+0.01Q2 =300Q-0.01Q2 Q2-

13、1000Q+9000000=0 解得：Q1=1000,Q2=9000。 M=TR-TC=-0.02Q2+200Q-180000 dM/dQ=-0.04Q+200=0， 有Q=5000。 所以，当Q=5000时，可实现最大盈利。第六章 工程项目不确定性分析三互斥项目盈亏平衡分析 在需要对若干个互斥方案进行比选时，如果是某一个共有的不确定因素影响这些方案的取舍，可以采用优劣点盈亏平衡分析进行不确定性条件下的项目比选帮助决策。 设两个互斥方案的经济效果都受某不确定因素x 的影响可以把x 看作一个变量，把两个方案的经济效果指标都表示为x的函数： 式中E1和E2分别为方案1与方案2的经济效果指标。当两个

14、方案的经济效果相同时，有 解出使这个方程式成立的x值，即为两方案的盈亏乎衡点也就是决定这两个方案孰优孰劣的临界点。第六章 工程项目不确定性分析 例：生产某种产品有三种工艺方案，采用方案l，年固定成本800万元，单位产品变动成本为10元；采用方案2，年固定成本500万元，单位产品变动成本为20元：采用方案3，年固定成本300万元，单位产品变动成本为30元.分析各种方案适用的生产规模。 解：各方案年总成本均可表示为产量Q的函数：第六章 工程项目不确定性分析C31500产量C1C2QnLMQmQlN05001000各方案总成本函数曲线图 由图可见，三个方案的年总成本函数曲线两两相交于L.MN三点,各

15、个交点所对应的产量就是相应的两个方案的盈亏平衡点。 本例,Q m是方案2与方案3的盈亏平衡点，Q n是方案l与方案2的盈亏平衡点。显然: 当QQm时，方案3的年总成本最低； 当Q mQQ n时，方案2的年总成本最低； 当QQn时，方案l的年总成本最低。第六章 工程项目不确定性分析于是有：根据上式同理可得 由此可知，当预期产量低于20万件时，应采用方案3；当预期产量在20万件至30万件之间时，应采用方案2；当预期产量高于30万件时，应采用方案1。第六章 工程项目不确定性分析 例：某工程项目有两种方案，方案A初始投资为50万元预期年净收益15万元；方案B初始投资150万元，预期年净收益35万元。该

16、产品的市场寿命具有较大的不确定性 如果给定基准折现率为15，不考虑期末资产残值，试就项目寿命期分析两方案取舍的临界点。 解：设项目寿命期为x解这个方程，可得第六章 工程项目不确定性分析第三节 敏感性分析 敏感性指的是所研究方案的影响因素发生改变时对原方案的经济效果发生影响和变化的程度。如果引起的变化幅度很大，就说明这个变动的因素对方案经济效果的影响是敏感的；否则就说明它是不敏感的。 投资项目评价中的敏感性分析，就是在确定性分析的基础上，通过进一步分析、预测项目主要不确定因素的变化对项目评价指标如内部收益率、净现值、投资回收期、投资收益率等的影响，从中找出敏感因素，确定评价指标对该因素的敏感程度

17、和项目对其变化的承受能力。 一个项目，在其建设与经营的过程中，由于内、外部环境的变化，许多因素都会发生变化。一般将价格、成本、产品产量、主要原材料价格、建设投资、工期、汇率等作为考察的不确定因素。 敏感性分析可以使决策者在缺少资料的情况下，弥补和缩小对未来方案预测的误差，了解不确定因素对评价指标的影响幅度，明确各因素变化到什么程度时才会影响方案经济效果的最优性，从而提高决策的准确性。 此外，敏感性分析还可以启发评价者对那些较为敏感的因素重新进行分析研究，以提高预测的可靠性。 第六章 工程项目不确定性分析 敏感性分析有单因素敏感性分析和多因素敏感性分析两种 单因素敏感性分析是对单一不确定因素变化

18、的影响进行分析,即假设各个不确定性因素之间相互独立，每次只考察一个因素,其他因素保持不变，以分析这个可变因素对经济评价指标的影响程度和敏感程度。 单因素敏感性分析是敏感性分析的基本方法。 多因素敏感性分析是假设两个或两个以上互相独立的不确定因素同时变化时，分析这些变化的因素对经济评价指标的影响程度和敏感程度。由于项目评估过程中的参数和变量同时发生变化的情况非常普遍，所以多因素敏感性分析也有很强的实用价值。 因素敏感程度的表示：项目对某种因素的敏感程度，可表示为该因素按一定比例变化时引起评估指标的变动幅度：第六章 工程项目不确定性分析(1)确定分析指标。分析指标的确定，一般是根据项目特点，研究阶

19、段、实际需求情况和指标的重要程度来选择，与进行分析的目标和任务有关。 如果主要分析方案状态和参数变化对方案投资回收快慢的影响，则可选用投资回收期作为分析指标；如果主要分析产品价格波动对方案超额净收益的影响，则可选用财务净现值作为分析指标；如果主要分析投资大小对方案资金回收能力的影响，则可选用财务内部收益率指标等。 如果在机会研究阶段，主要是对项目的设想和鉴别，确定投资方向和投资机会。此时，各种经济数据不完整，可信程度低，深度要求不高，可选用静态的评价指标，常采用的指标是投资收益率和投资回收期。如果在初步可行性研究和可行性研究阶段，则需选用动态的评价指标，常用财务净现值、财务内部收益率，也可以辅

20、之以投资回收期。 由于敏感性分析是在确定性经济分析的基础上进行的，一般而言，敏感性分析的指标应与确定性经济评价指标一致，不应超出确定性经济评价指标范围而另立新的分析指标。一单因素敏感性分析 单因素敏感性分析是就单个不确定因素的变动对方案经济效果的影响所作的分析。在分析方法上类似于数学上多元函数的偏微分，即在计算某个因素的变动对经济效果指标的影响时，假定其它因素均不变.步骤第六章 工程项目不确定性分析 (2)选择需要分析的不确定性因素：影响项目经济评价指标的不确定性因素很多，但事实上没有必要对所有的不确定因素都进行敏感性分析而只需选择一些主要的影响因素。选择需要分析的不确定性因素时主要考虑以下两

21、条原则： 第一，预计这些因素在其可能变动的范围内对评价指标的影响较大； 第二，对在确定性经济分析中采用该因素的数据的准确性把握不大。 对于一般投资项目来说，通常从以下几方面选择项目敏感性分析中的影响因素：项目投资；项目寿命年限；成本，特别是变动成本；产品价格；产销量；项目建设年限、投产期限和产出水平及达产期限；汇率和基准折现率。 (3)分析每个不确定性因素的波动程度及其对分析指标可能带来的增减变化情况。首先，对所选定的不确定性因素，应根据实际情况设定这些因素的变动幅度，其他因素固定不变。因素的变化可以按照一定的变化幅度如5%、10%、20%等)改变它的数值。其次，计算不确定性因素每次变动对经济

22、评价指标的影响。 第六章 工程项目不确定性分析 (4)确定敏感性因素。由于各因素的变化都会引起经济指标一定的变化但其影响程度却各不相同。有些因素可能仅发生较小幅度的变化就能引起经济评价指标发生大的变动，而另一些因素即使发生了较大幅度的变化，对经济评价指标的影响却不大。前一类因素称为敏感性因素，后一类因素称为非敏感性因素。敏感性分析的目的在于寻求敏感因素，可以通过计算敏感度系数和临界点来判断。 敏感度系数表示项目评价指标对不确定因素的敏感程度。计算公式为 E=F/A 式中 E敏感度系数；F不确定因素F的变化率()；A不确定因素F发生F变化率时，评价指标A的相应变化率() E值越大，表明评价指标A

23、对于不确定因素F越敏感，反之，则越不敏感临界点是指项目允许不确定因素向不利方向变化的极限值。超过极限项目的效益指标将不可行。如当产品价格下降到某一值时，财务内部收益率将刚好等于基准收益率，此点称为产品价格下降的临界点。第六章 工程项目不确定性分析 (5)如果进行敏感性分析的目的是对不同的投资项目或某一项目的不同方案进行选择，一般应选择敏感程度小、承受风险能力强、可靠性大的项目或方案。例：有一个生产城市用小型电动汽车的投资方案，用于确定性经济分析的现金流量表见表，所采用的数据是根据对未来最可能出现的情况的预测估算的。由于对未来影响经济环境的某些因素把握不大，投资额、经营成本和产品价格均有可能在的

24、范围内变动。设基准折现率为10，不考虑所得税，试分别就上述三个不确定因素作敏感性分析。 选择财务净现值为敏感性分析的对象，根据财务净现值的计算公式，可计算出项目在初始条件下的财务净现值。年份012-1011投资15000销售收入1980019800经营成本1520015200期末残值2000净现金流-15000046006600 解：设投资I，年销售收入R，经营成本C，期末残值Y，用净现值指标评价方案的经济效果第六章 工程项目不确定性分析 这里用净现值指标分别就投资额、产品价格、经营成本三个不确定因素作敏感性分析： 设经营成本变动的百分比为y，分析经营成本变动对方案净现值影响的计算公式为： 设

25、投资额变动的百分比为x,分析投资额变动对方案净现值影响的计算公式为： 设产品价格变动的百分比为z，产品价格的变动将导致销售收入的变动，销售收入变动的比例与产品价格变动的比例相同，故分析产品价格变动对方案净现值影响的计算公式可写成：第六章 工程项目不确定性分析 按照上述三个公式，借助现金流量表的数据，分别取不同的x，y，z值，可以计算出各不确定因素在不同变动幅度下方案的净现值。计算结果见表不确定因素-20-100+10+20投资额14394128941139498948394经营成本2837419884113942904-5586产品价格-10725335113942245333513第六章 工

26、程项目不确定性分析 可见：在同样的变动率下，产品价格的变动对方案净现值的影响最大，经营成本变动的影响次之，投资额变动的影响最小。分别使用前面的三个公式计算出，当NPV=0时，x=76.0%；y=13.4%；z=-10.3。 就是说，如果投资额与产品价格不变，年经营成本高于预期位值13.4以上，或者投资额与经营成本不变，产品价格低于预期值10.3以上，方案将变得不可接受。而如果经营成本与产品价格不变，投资额增加76.0以上，才会使方案变得不可接受。据上面的分析，对本投资方案来说，产品价格与经营成本都是敏感因素。在作出是否采用本方案的决策之前，应该对未来的产品价格和经营成本及其可能变动的范围作出更

27、为精确的预测与估算。如果产品价格低于原预期值10.3%以上,或经营成本高于原预期值13.4%以上的可能性较大，则意味着这笔投资有较大的风险。 另外，经营成本的变动对方案经济效益有较大影响这一分析结果还提醒我们，如果实施这一方案，严格控制经营成本将是提高项目经济效益的重要途径。至于投资额，显然不是本方案的敏感因素，即使增加20%甚至更多一些也不会影响决策结论。 第六章 工程项目不确定性分析例：设某投资方案的初始投资为3000万元,年净收益480万元，寿命期10年，基准收益率10%，期末残值200万元。试对各不确定因素的初始投资、年净收益、寿命期和基准收益率单独变化时的净现值进行单因素敏感性分析。

28、解 (1)确定方案经济评价指标净现值。(2)各因素变化率的变化范围为30%，间隔为10%。(3)计算各因素单独变化时所得净现值。用NPVj(j1，2，3，4)分别表示初始投资、年净收益、寿命期和基准收益率单独变化时的净现值NPV1=480(P/A，10%，10)+200(P/F，10%，10)-3000(1+k)NPV2=480(1+k)(P/A，10%，10)+200(P/F，10%，10)-3000NPV3=480P/A,10%,10(1+k)+200P/F,10%,10(1+k)-3000NPV4=480P/A,10%(1+k),10+200P/F,10% (1+k),10-3000计算

29、结果见下表变化率%参数3020100102030初始投资 92762732727273573873年净收益 85856326827321616911寿命期 56034615127170334468基准收益率 4793131702798224436各参数单独变化时的净现值 根据表中的数据，画出敏感性分析图。用横坐标表示参数变化率k，纵坐标表示净现值，如下图所示。(4)确定敏感性因素，对方案的风险情况作出判断。在敏感性分析图上找出各敏感性曲线与横轴的交点,这一点上的参数值就是使净现值等于零的临界值。第六章 工程项目不确定性分析初始投资的敏感曲线与横轴交点约为0.98%，此时初始投资为： K3000

30、(1+0.98%)=3029(万元)即初始投资增加到3029万元时，净现值降至零，说明初始投资必须控制在3029万元以下，方案才是可行的。敏感性分析图 第六章 工程项目不确定性分析年净收益与横轴交点约为-1%，使方案可行的年净收益为：M480(1-1%)475(万元)寿命期与横轴交点约为-5%，使方案可行的寿命期为：n10(1-5%)=9.5(年)基准收益率与横轴交点约为4.8%，使方案可行的基准收益率为：i10%(1+4.8%)=10.48%对比各因素的临界变化率kj及敏感曲线的形状，可知临界变化率绝对值较小则敏感曲线较陡，相应参数的变化对净现值的影响较大。 第六章 工程项目不确定性分析 在

31、进行单因素敏感性分析的过程中，当计算某特定因素的变动对经济效果指标的影响时，假定其它因素均不变。实际上，许多因素的变动具有相关性，一个因素的变动往往也伴随着其它因素的变动 例如，对于前例中生产电动汽车这个方案，如果世界市场上石油价格上涨，电动汽车的市场需求量有可能增加，这将导致销售量和产品价格的上升，然而，石油价格上升还会引起其它生产资料价格的上涨，这将导致生产成本的增加。所以，单因素敏感性分析有其局限性。改进的方法是进行多因素敏感性分析，即考察两个或两个以上的多个因素同时变动对方案经济效果的影响，以判断方案的风险情况。 多因素敏感性分析要考虑可能发生的各种因素不同变动幅度的多种组合，计算起来

32、要比单因素敏感性分析复杂得多。如果需要分析的不确定因素不超过三个，而且经济效果指标的计算比较简单，可以用解析法与作图法相结合的方法进行分析。 二多因素敏感性分析第六章 工程项目不确定性分析 双因素敏感性分析是指设方案的其他因素不变，每次仅考虑两个因素同时变化对经济效益的影响。双因素敏感性分析是通过进行单因素分析确定两个敏感性大的因素，然后通过双因素敏感性分析考察这两个因素同时变化时对项目经济效益的影响。双因素敏感性分析主要借助作图法和解析法相结合的方法进行，步骤 (1)建立直角坐标系，横轴x与纵轴y表示两个因素的变化率； (2)建立项目经济效益评价指标(NPV,NAV或IRR)与两因素变化率x

33、和y的关系式，令该指标值为临界值(即NPV=0，NAV=0或IRR=i0)，即可得到一个关于x、y的函数式，称为临界方程；(3)在直角坐标系上画出这个临界方程的曲线，它表明两个变化率之间的约束关系； (4)该临界线把平面分成两个部分，一部分是方案可行区域，另一部分则是方案的不可行区域，据此可对具体情况进行分析。例：对前中的方案进行双因素敏感性分析。解：在前例中，我们得到4个主要因素的临界变化率分别是，初始投资0.98%，年净收益-1%，寿命期-5%，基准收益率4.8%。其中，最为敏感的两个因素是年净收益和初始投资,因此对这两个因素做双因素敏感性分析。设初始投资变化率为x，年净收益变化率为y，有

34、：NPV=480(1+y)(P/A,10%,10)+200(P/F，10%,10)-3000(1+x) 26.51-3000 x+2949.41y令NPV=0，有： y=1.02x-0.01在xoy坐标系上画出这一直线。见下图 双因素敏感性分析图 临界线NPV=0在x轴和y轴上截得的点分别是(0.98%,0)和(0,-1%)，0.98%和-1%正是单因素变化时初始投资和年净收益的临界变化率。 因此，如果先进行了单因素敏感性分析对呈线性变化的因素进行双因素分析就可简化，只要将两个因素的临界变化率找到连接这两点而成的直线即为双因素临界线第六章 工程项目不确定性分析 由图上可知，临界线把平面分成两个

35、部分，左上平面为年净收益增加、初始投资减小，应是方案的可行区域；右下平面则为年净收益减小、初始投资增加，是方案的不可行区域。所以，为了保证方案在经济上可接受，应设法防止右下平面区域的变化组合情况出现。第六章 工程项目不确定性分析例：根据前例小型电动汽车的投资方案给出的数据进行多因素敏感性分析沿用以前符号。如果同时考虑投资额和经营成本的变动，分析这两个因素同时变动对方案净现值的影响 将左表中的数据代入上式有不确定因素-20-100+10+20投资额14394128941139498948394经营成本2837419884113942904-5586产品价格-10725335113942245333513各不确定因素变动影响的净现金流 NPV=1130415000 x-84900y第六章 工程项目不确定性分析 根据公式： NPV=113