2022届滨海新区高三下第一次测试数学试题含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知函数，若方程恰有三个不相等的实根，则的取值范围为（ ）ABCD2已知函数是奇函数，且，若对，恒成立，则的取值范

2、围是（ ）ABCD3已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于A，B两点，交y轴于点M，若、M是线段AB的三等分点，则椭圆的离心率为( )ABCD4已知双曲线的右焦点为，若双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且点到该渐近线的距离为，则双曲线的实轴的长为ABCD5某网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（ ）A月收入的极差为60B7月份的利润最大C这12个月利润的中位数与众数均为30D这一年的总利润超过400万元6已知某口袋中有3个白球和个黑球（），现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球（即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则

3、放回一个白球），记换好球后袋中白球的个数是若，则= ( )AB1CD27在中，点为中点，过点的直线与，所在直线分别交于点，若，则的最小值为（ ）AB2C3D8设集合，则 ()ABCD9已知，则（ ）A2BCD310执行如图所示的程序框图，若输出的值为8，则框图中处可以填（ ）ABCD11本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（ ）A72种B144种C288种D360种12在四面体中，为正三角形，边长为6，则四面体的体积为（ ）ABC24D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，

4、共20分。13执行以下语句后，打印纸上打印出的结果应是：_14已知平面向量，满足|1，|2，的夹角等于，且（）（）0，则|的取值范围是_15若幂函数的图象经过点，则其单调递减区间为_16已知的三个内角为，且，成等差数列， 则的最小值为_，最大值为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数，.（1）若时，解不等式；（2）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.18（12分）已知函数，（1）当时，求不等式的解集； （2）若函数的图象与轴恰好围成一个直角三角形，求的值19（12分）已知非零实数满足 （1）求证：； （2）是否存在实数，使得恒成立？若存在

5、，求出实数的取值范围； 若不存在，请说明理由20（12分）已知椭圆：过点，过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别交于，两点.（1）证明：当取得最小值时，椭圆的离心率为.（2）若椭圆的焦距为2，是否存在定圆与直线总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.21（12分）已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数.).以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线与直线其中的一个交点为，且点极径.极角（1）求曲线的极坐标方程与点的极坐标；（2）已知直线的直角坐标方程为，直线与曲线相交于点(异于原点)，求的面积.22（10分）的内角的对边分别为，且.（1）求；

6、（2）若，点为边的中点，且，求的面积.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1B【解析】由题意可将方程转化为，令，进而将方程转化为，即或，再利用的单调性与最值即可得到结论.【详解】由题意知方程在上恰有三个不相等的实根，即，.因为，式两边同除以，得.所以方程有三个不等的正实根.记，则上述方程转化为.即，所以或.因为，当时，所以在，上单调递增，且时，.当时，在上单调递减，且时，.所以当时，取最大值，当，有一根.所以恰有两个不相等的实根，所以.故选：B.【点睛】本题考查了函数与方程的关系，考查函数的单调性与最值，转化的数学思想，

7、属于中档题.2A【解析】先根据函数奇偶性求得，利用导数判断函数单调性，利用函数单调性求解不等式即可.【详解】因为函数是奇函数，所以函数是偶函数.，即，又，所以，.函数的定义域为，所以，则函数在上为单调递增函数.又在上，所以为偶函数，且在上单调递增.由，可得，对恒成立，则，对恒成立，得，所以的取值范围是.故选：A.【点睛】本题考查利用函数单调性求解不等式，根据方程组法求函数解析式，利用导数判断函数单调性，属压轴题.3D【解析】根据题意，求得的坐标，根据点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程，即可求得结果.【详解】由已知可知，点为中点，为中点，故可得，故可得；代入椭圆方程可得，解得，不妨取，故可得点的坐

8、标为，则，易知点坐标，将点坐标代入椭圆方程得，所以离心率为，故选：D.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，难点在于根据题意求得点的坐标，属中档题.4B【解析】双曲线的渐近线方程为，由题可知设点，则点到直线的距离为，解得，所以，解得，所以双曲线的实轴的长为，故选B5D【解析】直接根据折线图依次判断每个选项得到答案.【详解】由图可知月收入的极差为，故选项A正确；1至12月份的利润分别为20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，7月份的利润最高，故选项B正确；易求得总利润为380万元，众数为30，中位数为30，故选项C正确，选项D错误.故选：.【点睛】本题考查了折线图，意

9、在考查学生的理解能力和应用能力.6B【解析】由题意或4，则，故选B7B【解析】由，三点共线，可得，转化，利用均值不等式，即得解.【详解】因为点为中点，所以，又因为，所以因为，三点共线，所以，所以，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为1故选：B【点睛】本题考查了三点共线的向量表示和利用均值不等式求最值，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.8B【解析】直接进行集合的并集、交集的运算即可【详解】解：； 故选：B【点睛】本题主要考查集合描述法、列举法的定义，以及交集、并集的运算，是基础题.9A【解析】利用分段函数的性质逐步求解即可得答案【详解】，；故选：【点睛】本题考查了函数值的

10、求法，考查对数的运算和对数函数的性质，是基础题，解题时注意函数性质的合理应用10C【解析】根据程序框图写出几次循环的结果，直到输出结果是8时.【详解】第一次循环：第二次循环：第三次循环：第四次循环：第五次循环：第六次循环：第七次循环： 第八次循环： 所以框图中处填时，满足输出的值为8.故选：C【点睛】此题考查算法程序框图，根据循环条件依次写出每次循环结果即可解决，属于简单题目.11B【解析】利用分步计数原理结合排列求解即可【详解】第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有种排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有种排法，所以不同的排表方法共有种.选.

11、【点睛】本题考查排列的应用，不相邻采用插空法求解，准确分步是关键，是基础题12A【解析】推导出，分别取的中点,连结，则，推导出，从而，进而四面体的体积为，由此能求出结果.【详解】解： 在四面体中，为等边三角形，边长为6，分别取的中点，连结，则，且，平面，平面，四面体的体积为：.故答案为：.【点睛】本题考查四面体体积的求法，考查空间中线线，线面，面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。131【解析】根据程序框图直接计算得到答案.【详解】程序在运行过程中各变量的取值如下所示：是否继续循环 i x循环前 1 4 第一圈 是 4 4+2第二圈 是

12、7 4+2+8第三圈 是 10 4+2+8+14退出循环，所以打印纸上打印出的结果应是：1故答案为：1【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.14【解析】计算得到|，|cos1，解得cos，根据三角函数的有界性计算范围得到答案.【详解】由（）（）0 可得 （）|cos12cos|cos1，为与的夹角再由 21+4+212cos7 可得|，|cos1，解得cos0，1cos1，1，即|+10，解得 |，故答案为【点睛】本题考查了向量模的范围，意在考查学生的计算能力，利用三角函数的有界性是解题的关键.15【解析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，再求出的单调递减区间【详解】解

13、：幂函数的图象经过点，则，解得；所以，其中；所以的单调递减区间为故答案为：【点睛】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，属于基础题16 【解析】根据正弦定理可得，利用余弦定理以及均值不等式，可得角的范围，然后构造函数，利用导数，研究函数性质，可得结果.【详解】由，成等差数列所以所以又化简可得当且仅当时，取等号又，所以令，则当，即时，当，即时，则在递增，在递减所以由，所以所以的最小值为最大值为故答案为：，【点睛】本题考查等差数列、正弦定理、余弦定理，还考查了不等式、导数的综合应用，难点在于根据余弦定理以及不等式求出，考验分析能力以及逻辑思维能力，属难题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明

14、、证明过程或演算步骤。17（1）（2）【解析】（1）零点分段法，分，讨论即可；（2）当时，原问题可转化为：存在，使不等式成立，即.【详解】解：（1）若时，当时，原不等式可化为，解得，所以，当时，原不等式可化为，解得，所以，当时，原不等式可化为，解得，所以，综上述：不等式的解集为；（2）当时，由得，即，故得，又由题意知：，即，故的范围为.【点睛】本题考查解绝对值不等式以及不等式能成立求参数，考查学生的运算能力，是一道容易题.18（1） （2）【解析】（1）当时，由可得，（所以，解得，所以不等式的解集为 （2）由题可得，因为函数的图象与轴恰好围成一个直角三角形，所以，解得，当时，函数的图象与轴没有

15、交点，不符合题意；当时，函数的图象与轴恰好围成一个直角三角形，符合题意综上，可得19（1）见解析（2）存在，【解析】（1）利用作差法即可证出.（2）将不等式通分化简可得，讨论或，分离参数，利用基本不等式即可求解.【详解】又即即当时，即恒成立（当且仅当时取等号），故当时恒成立（当且仅当时取等号），故综上，【点睛】本题考查了作差法证明不等式、基本不等式求最值、考查了分类讨论的思想，属于基础题.20（1）证明见解析；（2）存在，【解析】（1）将点代入椭圆方程得到，结合基本不等式，求得取得最小值时，进而证得椭圆的离心率为.（2）当直线的斜率不存在时，根据椭圆的对称性，求得到直线的距离.当直线的斜率存在

16、时，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用，则列方程，求得的关系式，进而求得到直线的距离.根据上述分析判断出所求的圆存在，进而求得定圆的方程.【详解】（1）证明：椭圆经过点，当且仅当，即时，等号成立，此时椭圆的离心率.（2）解：椭圆的焦距为2，又，.当直线的斜率不存在时，由对称性，设，.，在椭圆上，到直线的距离.当直线的斜率存在时，设的方程为.由，得，.设，则，.，即，到直线的距离.综上，到直线的距离为定值，且定值为，故存在定圆：，使得圆与直线总相切.【点睛】本小题主要考查点和椭圆的位置关系，考查基本不等式求最值，考查直线和椭圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查分类讨论的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.21（1）极坐标方程为，点的极坐标为（2）【解析】（1）利用极坐标方程、普通方程、参数方程间的互化公式即可；（2）只需算出A、B两点的极坐标，利用计算即可.【详解】（1）曲线C：(为参数，)，将代入，解得，即曲线的极坐标方程为，点的极坐标为.（2)由（1），得点的极坐标为，由直线过原点且倾斜角为，知点的极坐标为，