2022届北京市东城区第五十高三适应性调研考试数学试题含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷请考生注意：1请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用05毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2答题前，认真阅读答题纸上的注意事项，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1复数的模为（ ）AB1C2D2设，分别为双曲线（a0，b0）的左、右焦点，过点作圆 的切线与双曲线的左支交于点P，若，则双曲线的离心率为（ ）ABCD3已知复数z=2i1-i，则z的共轭复数在复平面对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三

2、象限D第四象限4在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限5设分别是双线的左、右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与该双曲线的两条渐近线分别交于两点（位于轴右侧），且四边形为菱形，则该双曲线的渐近线方程为（ ）ABCD6复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限7抛物线y2=ax(a0)的准线与双曲线C:x28-y24=1的两条渐近线所围成的三角形面积为22，则a的值为 ( )A8B6C4D28在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）

3、.已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A1010.1B10.1Clg10.1D1010.19已知集合，若，则（ ）A或B或C或D或10已知非零向量、，若且，则向量在向量方向上的投影为（ ）ABCD11党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（ ）ABCD12若点(2，

4、k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k的值是( )A1B-3C1或D-3或二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13的展开式中的常数项为_14设命题：，则：_15设，满足条件，则的最大值为_.16设为等比数列的前项和，若，且，成等差数列，则 .三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，为的前n项和，求证：.18（12分）某工厂，两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下通过日常监控得知，生产线生产的产品为合格品的概率分别为和.（1）从，生产线上各抽检一件产品，若使得至少有一件合格的概率不低

5、于，求的最小值.（2）假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以（1）中确定的作为的值.已知，生产线的不合格产品返工后每件产品可分别挽回损失元和元若从两条生产线上各随机抽检件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线挽回的损失较多？若最终的合格品（包括返工修复后的合格品）按照一、二、三等级分类后，每件分别获利元、元、元，现从，生产线的最终合格品中各随机抽取件进行检测，结果统计如下图；用样本的频率分布估计总体分布，记该工厂生产一件产品的利润为，求的分布列并估算该厂产量件时利润的期望值.19（12分）某企业原有甲、乙两条生产线，为了分析两条生产线的效果，先从两条生产线生产的大量产品中各抽

6、取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值该项指标值落在内的产品视为合格品，否则为不合格品乙生产线样本的频数分布表质量指标合计频数2184814162100（1）根据甲生产线样本的频率分布直方图，以从样本中任意抽取一件产品且为合格品的频率近似代替从甲生产线生产的产品中任意抽取一件产品且为合格品的概率，估计从甲生产线生产的产品中任取5件恰有2件为合格品的概率；（2）现在该企业为提高合格率欲只保留其中一条生产线，根据上述图表所提供的数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与生产线有关？若有90%把握，请从合格率的角度分析保留哪条生产线较好？甲生产线乙生产

7、线合计合格品不合格品合计附：，0.1500.1000.0500.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.87920（12分）已知函数（1）当时，解关于x的不等式；（2）当时，若对任意实数，都成立，求实数的取值范围21（12分）已知函数，（1）当时，求不等式的解集； （2）若函数的图象与轴恰好围成一个直角三角形，求的值22（10分）已知函数.（1）若函数，求的极值；（2）证明：. （参考数据： ）参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1D【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数

8、模的计算公式求解【详解】解：，复数的模为故选：D【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题2C【解析】设过点作圆 的切线的切点为，根据切线的性质可得，且，再由和双曲线的定义可得，得出为中点，则有，得到，即可求解.【详解】设过点作圆 的切线的切点为，所以是中点，.故选:C.【点睛】本题考查双曲线的性质、双曲线定义、圆的切线性质，意在考查直观想象、逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.3C【解析】分析：根据复数的运算，求得复数z，再利用复数的表示，即可得到复数对应的点，得到答案详解：由题意，复数z=2i1-i=2i1+i1-i1+i=-1+i，则z=-1-i所以复数z在

9、复平面内对应的点的坐标为(-1,-1)，位于复平面内的第三象限，故选C点睛：本题主要考查了复数的四则运算及复数的表示，其中根据复数的四则运算求解复数z是解答的关键，着重考查了推理与运算能力4C【解析】化简复数为、的形式，可以确定对应的点位于的象限【详解】解：复数故复数对应的坐标为位于第三象限故选：【点睛】本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内点的对应关系，属于基础题5B【解析】由于四边形为菱形，且，所以为等边三角形，从而可得渐近线的倾斜角，求出其斜率.【详解】如图，因为四边形为菱形，所以为等边三角形，两渐近线的斜率分别为和.故选：B【点睛】此题考查的是求双曲线的渐近线方程，利用了数形结合的

10、思想，属于基础题.6D【解析】由复数除法运算求出，再写出其共轭复数，得共轭复数对应点的坐标得结论【详解】，对应点为，在第四象限故选：D.【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，考查复数的几何意义掌握复数的运算法则是解题关键7A【解析】求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值【详解】抛物线y2=ax(a0)的准线为x=-a4， 双曲线C:x28-y24=1的两条渐近线为y=22x， 可得两交点为-a4,-2a8,-a4,2a8， 即有三角形的面积为12a42a4=22，解得a=8，故选A【点睛】本题考查三角形的面积的求法，注意运用抛

11、物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题8A【解析】由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,.故选A.【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识信息处理能力阅读理解能力以及指数对数运算.9B【解析】因为,所以,所以或.若，则,满足.若，解得或.若，则，满足.若，显然不成立，综上或，选B.10D【解析】设非零向量与的夹角为，在等式两边平方，求出的值，进而可求得向量在向量方向上的投影为，即可得解.【详解】，由得，整理得，解得，因此，向量在向量方向上的投影为.故选：D.【点睛】本题考查向量投影的计算，同时也考查利用向

12、量的模计算向量的夹角，考查计算能力，属于基础题.11D【解析】 根据四个列联表中的等高条形图可知， 图中D中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大， 它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选D12D【解析】由题得，解方程即得k的值.【详解】由题得，解方程即得k=-3或.故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查点到直线的距离公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 点到直线的距离.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】写出展开式的通项公式，考虑当的指数为零时，对应的值即为常数项.【详解】的展开式通项公式为： ，令，所以，所以常数项为.故答案为：.【点

13、睛】本题考查二项展开式中指定项系数的求解，难度较易.解答问题的关键是，能通过展开式通项公式分析常数项对应的取值.14，【解析】存在符号改任意符号，结论变相反.【详解】命题是特称命题，则为全称命题，故将“”改为“”，将“”改为“”，故：，.故答案为：，.【点睛】本题考查全(特)称命题. 对全(特)称命题进行否定的方法：(1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；(2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可15【解析】作出可行域，由得，平移直线，数形结合可求的最大值.【详解】作出可行域如图所示由得，则是直线在轴上的截距.平移直线，当直线经过可行域内的点时，最小，此时最

14、大.解方程组，得，.故答案为：.【点睛】本题考查简单的线性规划，属于基础题.16.【解析】试题分析：，成等差数列，又等比数列，.考点：等差数列与等比数列的性质.【名师点睛】本题主要考查等差与等比数列的性质，属于容易题，在解题过程中，需要建立关于等比数列基本量的方程即可求解，考查学生等价转化的思想与方程思想.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）（2）证明见解析【解析】（1）利用与的关系即可求解. （2）利用裂项求和法即可求解.【详解】解析：（1）当时，；当，可得，又当时也成立，；（2），【点睛】本题主要考查了与的关系、裂项求和法，属于基础题.18 (1) (2

15、) 生产线上挽回的损失较多. 见解析【解析】(1)由题意得到关于的不等式，求解不等式得到的取值范围即可确定其最小值；(2).由题意利用二项分布的期望公式和数学期望的性质给出结论即可；.由题意首先确定X可能的取值，然后求得相应的概率值可得分布列，最后由分布列可得利润的期望值.【详解】（1）设从，生产线上各抽检一件产品，至少有一件合格为事件，设从，生产线上抽到合格品分别为事件，则，互为独立事件由已知有，则解得，则的最小值（2）由（1）知，生产线的合格率分别为和，即不合格率分别为和.设从，生产线上各抽检件产品，抽到不合格产品件数分别为，则有，所以，生产线上挽回损失的平均数分别为：，所以生产线上挽回的

16、损失较多.由已知得的可能取值为，用样本估计总体，则有，所以的分布列为所以（元）故估算估算该厂产量件时利润的期望值为（元）【点睛】本题主要考查概率公式的应用，二项分布的性质与方差的求解，离散型随机变量及其分布列的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19（1）0.0081（2）见解析，保留乙生产线较好【解析】(1)先求出任取一件产品为合格品的频率，“从甲生产线生产的产品中任取5件，恰有2件为合格品”就相当于进行5次独立重复试验，恰好发生2次的概率用二项分布概率即可解决.(2)独立性检验算出的观测值即可判断.【详解】（1）根据甲生产线样本的频率分布直方图，样本中任取一件产品为合格品的频

17、率为：设“从甲生产线生产的产品中任取一件且为合格品”为事件，事件发生的概率为，则由样本可估计那么“从甲生产线生产的产品中任取5件，恰有2件为合格品”就相当于进行5次独立重复试验，事件恰好发生2次，其概率为：（2）列联表：甲生产线乙生产线合计合格品9096186不合格品10414合计100100200的观测值，有90%把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与生产线有关由（1）知甲生产线的合格率为0.9，乙生产线的合格率为，保留乙生产线较好【点睛】此题考查独立重复性检验二项分布概率，独立性检验等知识点，认准特征代入公式即可，属于较易题目.20（1）（2）【解析】（1）当时，利用含有一个绝对值不等

18、式的解法，求得不等式的解集.（2）对分成和两类，利用零点分段法去绝对值，将表示为分段函数的形式，求得的最小值，进而求得的取值范围.【详解】（1）当时，由得由得解：，得当时，关于的不等式的解集为（2）当时，所以在上是减函数，在是增函数，所以，由题设得，解得.当时，同理求得.综上所述，的取值范围为.【点睛】本小题主要考查含有一个绝对值不等式的求法，考查利用零点分段法解含有两个绝对值的不等式，属于中档题.21（1） （2）【解析】（1）当时，由可得，（所以，解得，所以不等式的解集为 （2）由题可得，因为函数的图象与轴恰好围成一个直角三角形，所以，解得，当时，函数的图象与轴没有交点，不符合题意；当时，函数的图象与轴恰好围成一个直角三角形，符合题意综上，可得22（1）见解析；（1）见证明【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（1）问题转化为证exx1xlnx10，根据xlnxx（x1），问题转化为只需证明当x0时，ex1x1+x10恒成立，令k（x）ex1x1+x1，（