边坡稳定性的广义可靠度分析

1、引言不确定性是工程中广泛存在的客观现象，对工程中不确定是工程技术水平发展的一个关键环节。的认识和解决不确定性包括随机不确定性和模糊不确定性，传统的工程设计和中，大多只考虑随机不确定性或模糊不确定性。在边坡工程中，本文考虑了模糊不确定性和随机不确定性，即边坡广义可靠度分析，简单叙述了有限元广义边坡可靠度算法和可靠度二次算法。本文的主要内容包括：广义可靠度分析，边坡工程的随机性和模糊性、空间变异性、时变性和破坏的渐进性，模糊点估计法，有限元广义边坡可靠度算法和可靠度二次算法等。本文主要是基于教授的结构可靠度理论课程讲述的主要内容，并结合有限元等知识创作而成。感谢娄老师辛辛茹苦的教导，让学到了很多有

2、用的知识。限于本人知识水平，本文存在很多不足之处，还望娄老师继续教导。2目录引言1边坡工程可靠性分析4可靠性分析方法4广义可靠度分析4边坡工程中的不确定性问题52.12.22.3边坡工程中的随机性与模糊性5边坡工程的空间变异性6边坡工程的时变性和破坏的渐进性6边坡广义可靠度分析的模糊点估计法7统计矩点估计法7模糊截集理论10模糊点估计法11有限元广义边坡可靠度算法12有限元广义边坡可靠度的意义12基于偏最小二乘的有限元广义边坡可靠度12采用偏最小二乘的原因12偏最小二乘原理的计算思路和计算方法13岩体物理指标取值的模糊随机方法13有限元广义边坡可靠度分析的具体步骤15边坡广义可靠度分析的可靠度

3、二次算法15二次可靠度算法的计算原理15二次可靠度各计算量的具体表达式176 结语18参考文献193边坡稳定性的广义可靠度分析摘要：本文主要分析了边坡工程中的不确定性问题，介绍了边坡广义可靠度分析的模糊点估计法，提出了基于偏最小二乘原理的有限元广义边坡可靠度算法和可靠度二次算法。：边坡稳定性、广义可靠度、模糊点估计法、有限元、二次可靠度Abstract：This pr mainlyyzes the problem of uncertay inthe slope engineering, describes the fuzzy poestimate of theslope of generali

4、zed reliabilityysis, and shows based on theprinciple of partial least squares finite element generalized slope reliability algorithm and reliability of the second algorithm.Key Words：Slope Stability、Generalized Reliability 、Fuzzy PoEstimation 、Finite Element、The Second Reliability边坡工程可靠性分析可靠性分析方法边坡工

5、程可靠性分析是近 20 年发展起来的评价边坡工程状态的新方法，它把边坡岩体性质、荷载、水、破坏模式、计算模型等影响边坡稳定性的多个作为不确定量，借鉴结构工程可靠性理论方法，结合边坡工程的具体情况，用可靠指标或破坏概率来评价边坡安全度。与传统的确定性理论相比较，可靠性分析能更好地反映边坡工程的实际状态和安全程度，正确合理地解释许多用确定性理论无法解释的工程问题。1、王家臣 2对边坡的可靠性分析进行了较为系统的论述。等3以鞍钢眼前山露天铁矿南邦节理岩体边坡为工程背景，综合应用 FLAC-3D、损伤力学、断裂力学和可靠性分析等多项方法，系统了露天矿边坡的节理岩体伴随采矿开挖的概率损伤分析程序，定量揭

6、示了边坡岩体概率损伤分布及演等4基于 ANSYS 概率设计系统，提出了利用 ANSYS 概率分析功能化规律。等5基于响应面法，建立了一种高效的对边坡稳定性可靠性分析的方法。边坡可靠度指标和失效概率近似计算方法。1.2 广义可靠度分析岩土体是一种具有不确定性的工程材料，一方面，虽然在岩土体内某一点的性质是确定的，但通过勘查、取样、试验得到 的岩土参数却是离散的；另一方4面，由于理论上的近似和假设、边界条件的简化、计算方法的不定性等，岩土工程设计和分析中存在大量的不确定性。边坡工程是岩土工程中的一种，边坡的稳定状态由有限个参数确定，这些参数由许多决定，一方面，由于试验样品不足及其他各种的影响，试验

7、结果表现出很大的随机性；另一方面，由于岩土体处于一个复杂的地质环境中，岩土体的空间变异性和个人经验的影响，工程岩土的分组难以确定，这就使岩土体类属具有模糊性，同一岩土类组中不同位置的岩土体以不同的隶属度从属于该岩土组。这样，岩土类属的模糊性势必通过取样传给岩土样本，从而使岩土体力学参数具有模糊不确定性。此外，有限样本替代无限样本，分析中进行的简化、假设等也都产生模糊性。工程中对于随机性的处理，目前的做法主要是应用概率论和数理统计方法，建立岩土体的随机场概率模型、岩土介质与支护结构之间的概率相互作用、随机数值分析模型、工程可靠度设计等；对于模糊性的处理，主要是应用模糊数学的方法，通过建立隶属度函

8、数、模糊推理、模糊可靠度等来进行处理。但是同时考虑模糊性和随机性的目前还相当少，而任何仅考虑一种不确定性的做法无疑是片面的。因此，边坡工程中，有必要进行模糊随机性6。，即广义可靠度分析本文主要介绍了边坡广义可靠度分析的模糊点估计法，提出了有限元广义边坡可靠度算法和可靠度二次算法的基本原理和计算过程。2 边坡工程中的不确定性问题2.1 边坡工程中的随机性与模糊性造成边坡的不确定很多，如果按其成因大致可分为设计不确定性，模型不确定性，物理不确定性和人为过失造成的不确定性，很多条件因数既具有随机性又有模糊性。例如外加荷载大小和分布的不确定，就是既有不确定，也有模糊不确定性。地质环境，荷载环境，不同施

9、工环境等诸条件属于随机不确定性。模糊不确定对于变形破坏机理认识不清和对岩体特性不完全了解导致对计算和模拟等带来的不确定把它归为模糊性，例如岩体参数的选定，为了计算方便做的简化和假定，包括测量精度等这些具有模糊性。所以在分析边坡稳定性的过程中应分析影响边坡稳定的不确定的性质从而选着相应的合理分析方法。传统的安全系数为这些具有不确定性的参数，所以安全系数不是一个确定的值，用不确定的值来衡量边坡的稳定性一定存在着很大的问题。5边坡工作者们种努力用高精度测量仪器来测定参数虽可起到一定的效果。然而局部实验的精确性，不能消除岩体本身的随机性和模糊性，光靠提高测量和实验精度，来完善边坡稳定性分析是不够的。因

10、此，适用较简单的测试，对岩体进行大量信息，应用和发展软科学方法，特别是可靠性方法，以提高边坡工程状态客观判断的精度是十分必要和有意义的。可靠性理论可以有效解决系统内的不确定性和相关性，在边坡风险性评价中，可以有效给出边坡破坏程度，风险水平，为工程决策提供依据，在多种边坡治理方案的决策分析中，不同的保证率意味着不同的效益和损失，最大的效益，最小的损失所对应的风险水平为最优设计，而传统的以刚体极限平衡为基础的安全系数法对此则为力，目前不少者认识到边坡的不确定性，荷载环境，地质环境，不同施工环境与条件等属于随机不确定。而由于对岩体特征，变形破坏机理认识不清等导致对岩石力学分析和模拟的模糊性，如概化模

11、型，计算系数的选取，计算的假定，计算简化，测量精度以及设计施工数据与信息不实等属于模糊不确定性。2.2 边坡工程的空间变异性早期和目前绝大数岩土工程的可靠性分析都是将岩体作为简单的随机介质处理，认为不同点间的岩体性质是完全相关的，仅用岩体参数的概率分布描述，没有考虑到不同点间局部和整体的性质参数和差异。这无疑会影响对岩土工程的正确决策。因为岩体性质具有随空间和时间而变化的特性，并且这种变化又不能精确的用确定性数学关系来表达，同时这种固有变异性也并非完全随机，它确实存在三维实体中，至少在一定范围内这些特性和特征具有某种相关性，服从某些规律。岩体性质具有空间变异性，Matheron、Krige 等

12、对此进行了一些开创性理论分析工作。1990 年， dhurry7也借助随机场理论描述了岩体性质的空间变异性。确切地说，地质统计学是以区域化变量理论为基础，以变差函数为基本工具来描述那些 于空间并呈现出一定的随机性和结构性的自然现象的科学8。因此结合岩体性质具有随机性和结构性的特点，在地质勘测资料的基础上运用概率论和地质统计学理论对岩体性质的固有变异性进行 是很有必要的9。2.3 边坡工程的时变性和破坏的渐进性目前的大多数边坡工作者没有充分考虑到时间，实际上，边坡岩体强度参数是个随机过程，在随机不稳定应力场和岩土体强度时变特征的双重影响下，边坡岩体的抗滑力也是一个随机过程，由此边坡分析应该充分考

13、虑时间导致边坡的可靠度应为“时变可靠度”10。6对于边坡工程岩体为其主要对象岩体的演变和成因等形成时代以其所处的大地构造环境等对其工程力学性质起到很大的影响作用，在边坡稳定性分析中边坡岩体力学参数是进行边坡稳定性分析的基础。在边坡稳定性分析中，岩体的物理力学参数是的。但往往都是多用概率方法来确定力学参数，而在风化作用，原有节理裂隙的扩张，以及，人为等外载荷作用下，边坡岩体的物理和力学特性都会随时间变化发生改变，因此就要求分析边坡时可靠度的方法应该为时变可靠度。忽视对边坡的影响和边坡岩体自身的变化都会边坡的稳定性，自然也就很难正确合理的对边坡的稳定性进行有效的分析和及时的预报。这对矿山生产的安全

14、尤其不利，露天矿边坡的形式往往要经过十几年甚至上百年，在这段时间 由于风化作用作用，开挖扰动等作用，边坡岩体的强度会随时间的改变而变化，边坡岩体的抗滑力会随时间的改变而变化，边坡的稳定将直接关系矿山生产安全，矿山可持续发展和矿业开发的效益，因此开展边坡稳定性的时变可靠度是很有意义的。渐进破坏的观点很早有人提出，实际发生边坡破坏往往并不是同一时间滑动面上各点一起达到极限状态的，最可能的模式就是渐进破坏。Varnes渐进这个词用来指破坏扩展，即可用于向前，也可以用于向后，更可用用于两者同时发生破坏，或不固定的扩展。因此，如果掌握了边坡渐进破坏的规律，在边坡变形的某个阶段采取相应的加固或安全措施，就

15、可避免或减少巨大损失。3 边坡广义可靠度分析的模糊点估计法3.1 统计矩点估计法统计矩点估计法又称法，由 Rosenblueth 于 1981 年提出。1987年，Harr 在其论著中对该法进行了详细论述。统计矩点估计20 世纪 80 年代初被引入边坡可靠性分析中。当各状态变量的概率分布为未知时，只要利用各状态变量的均值和方差，有目的地选定或设计一些特殊值组成的点（常取关于每个随量的均值对称的两个点），用不同随量的点组成的变量组代入功能函数求其值，进而计算状态函数的各阶矩，从而求得边坡的可靠指标。对复杂不易求导或者功能函数非明确表达的边坡可靠性分析，统计矩点估计法应用起来十分方便。对于功能函数

16、Z = g X = g(x1，x2， ，xn )，其 K 阶原点矩用统计矩点估计法表示为E Zk = P1+P2+ PZkZk+ + P P P(1)n+ +1 2n 其中7Z+= g X1+，X2+， ，Xn+ Z= g X1，X2， ，Xn PiX= + xi (2)i +i+Pi+Pi+ X= (3)i ixiPi11Pi+ = 2 1 1 1 + (C/2)2 (4)sxiPi = 1 Pi+(5)式中：Csxi 为随量Xi 的偏度系数。当偏度系数未知时，假定Csxi = 0，设 n 个状态变量互相关，则每一组合的概率Pj 的大小取决于变量间的相关系数ij ：1P = 1 + e e

17、+ e e + + ee (6)j1 2122 323n1 n(n1)n2n其中ei (i = 1，2， ，n)取值如下：当xi取Xi +时，ei = 1；当xi取Xi 时，ei = 1。取 2n 个点时，其取值点的所有组合有2n 个，因此函数Z 的均值的点估计为2n= E Z = Pj Zj(7)zj=1如此便可推出状态函数Z 的概率分布的各阶矩表达式。（1）一阶矩M1，即均值 z ：2nM1 = E z Pj Zjj=1(8)2：（2）二阶矩M2，即方差2n2zM2 = E (Z z )2 PZ2 (9)j jj=1（3）三阶矩M3：82n2n3zM3 = E (Z z )3 PZ3 3z

18、 P Z2 + 2(10)j jj jj=1j=1（4）四阶矩M4：2nz M3 6 2M2 4zM4 = E (Z z )4 PZ4 4(11)j jzj=1于是由状态函数Z 的各阶矩可求得边坡的可靠指标 、变异系数 、偏度系数Cs以及峰度系数Ek ：M1/2M1M3M4， = 2 ，Cs = =，Ek =(12)M1/2M1M3/2M2222具体来说，设有两个随量X，Y，则功能函数Z = g X，Y ，每个随量取两个计算点，则有Z+ = g x + x ，( y + y )(13)Z+ = g x + x ， y (14)yZ+ = g Z = g x x ， x x ， + y (15)

19、y y (16)y因此E Z = P+Z+ + P+Z+ + P+Z+ + PZ(17)其中= P= 1 1 + P (18)+XY4= P= 1 1 P(19)+XY4功能函数Z 的方差为Var Z = E Z2 (EZ)2而(20)E Z 2 = PZ2Z 2Z2Z2+ P+ P+ P(21)+ + + + 因此EZ = (22) Var Z 93.2 模糊截集理论在实际应用中，对于模糊现象常常要作出不模糊的，因此，需要有一种能把模糊子集与普通子集沟通起来，即实现模糊子集与普通子集的相互转化的方 法。对于普通集合来说，只有当隶属度 A (X0) = 1才说X0 是属于A 的。对于模糊 集来

20、说，这样的水准太高了，需要将 1 改为 0，1，当且仅当 A (X0) 时，才说X0 是A 中的元素，这样，对每个 ，都能从 U 中确定一个普通子集，它是A 在 这个信任程度上的显像，由此设A F(U)，对 0，1，称A A u： A u ，u U (23)为A 的 截集（或水平集）， 称为水平或阈值。对于每个不确定变量， 截集能给出一个区间的两个点，如对于某一产生的上界值和下界值，这是进行模糊点估计的基础。截集既定某变量隶属函数的分布为梯形分布：0 x aa x a b a A x = (24)1b x cc d k2，k1、k2取值范围为0.53。当取 i截集时，对应的两个X 值为X= c

21、 + V(26)i+iX= b Vii10其中 b、c 为 = 1处的变量值；V i 为由 b、c 到 i截集点处加或减掉的部分。这样，对应不同的 i水平，即不同的隶属度，将分别得到对应的功能函数的点估计值。通过这样的离散分析，模糊变量的模糊性就能得到较好的认识，从而得到更为合理的分析结果。3.3 模糊点估计法Dodagoudar 等11认为，对于功能函数W = g X ，X = x ，x ， ，x ，在12n i水平处的点估计值为 k= p gk x + p g xi = 1，2， ，n；k = 1，2(27)+ i + i i式中：x i +、x i 为N 1向量，代表所有上界值和下界值的

22、组合。并由此推出考虑模糊随机性的功能函数的k 阶原点矩为mE( k) = 1 k(28)imii=1式(27)忽略了中间的2n 2项，显然是不正确的。因为统计矩点估计法公式中不仅有参数纯上下界的组合，还有上下界混合在一起形成的组合。通过对该文的研究发现，当用正确的统计矩点估计法代入式(28)时，将得不出功能函数合理的k阶矩值，因此式(28)必须进行修正12。采用模糊中的普通平均法13，则m 个 水平下考虑模糊随机性的状态函数的k 阶原点矩为mm kE k = i=1 i=1(29)iii对于边坡工程来说，安全状态函数Fs的表达式为Fs = g C， ， ，u，H， ， (30)式中：C 为粘聚

23、力， 为内摩擦角， 为容重，u 为孔隙水压，H 为边坡高度， 为边坡倾角。当有 n 个变量，每个变量取 2 个点时，则有2n 中组合，可根据状态方程求得2n 个状态函数值。因此，m 个 水平下考虑模糊随机性的安全状态函数的一阶原点矩为mE Fs = i=1二阶矩（即方差）为mi Fs ii=1(31)i2ni pj Fsj j=1mm i E Fs 2ii=12= i=1(32)114 有限元广义边坡可靠度算法4.1 有限元广义边坡可靠度的意义（1）本文结合一阶可靠度存在的不足，提出了一种新的方法，即通过用偏最小二乘的方法先求回归极限状态方程，然后再进行有限元可靠度分析。通常一阶可靠度功能函数

24、没有考虑到各变量之间的多重相关性，致使可能回归的系数估计值不稳定，另外功能函数形式通常为高度非线性的，采用常规的算代计算不收敛或无法计算可靠指标的问题14。出现迭（2）一阶可靠度分析原理的主要思路是取极限状态曲面的某一点（通常找的是验算点）处的切平面代替结构状态曲面，进而计算可靠度指标。其计算结果的精度取决于状态曲面和切平面的相似度。如果用二次曲面来代替状态曲面 ，精度大大提高。本文列出了具体的状态方程和用二次曲面代替切平面针对边坡的具体算法，并列出了量化的表达式。（3）用本文所算法拟合的功能函数，对计算可靠度值起到了简化的作用，更便于用有限元软件计算可靠度值，并且能够保证计算的精度。算法的思

25、路对以后确定多功能函数提供了参考思路。4.2 基于偏最小二乘的有限元广义边坡可靠度4.2.1 采用偏最小二乘的原因用现有的有限元软件进行高能的数算，还是非常麻烦的。基于此，可以对结构功能函数进行精确的多元线性回归，以得到既能满足精度又能起到计算简化的作用。对求功能函数的回归，本文没有使用通常的最小二乘原理，而采用偏最小二乘原理，主要原因如下：（1）因为在边坡稳定性分析中，各个应力分量和物理指标之间存在着严重的相关性，如果不考虑它们之间的多重相关性的话，可能会造成回归矩阵的严重，这时回归系数的估计方差会随着相关程度的增加而增加，并且回归系数的估计值对样本数据的微小变化也十分敏感，这样很可能使最小

26、二乘估计失真。（2）如果自变量高度相关，可能最后回归的估计系数与实际情况不符合，失去了物理含义。（3）如果各变量之间严重多重共线的话，那么其计算结果不能通过统计检验。12所以，为了避免这些问题，本文使用偏最小二乘原理，它不仅能使用于小样本，而且变量可以很多个，并且变量之间存在相关性也能够很好的回归计算。基于以上各种原因，本文选用偏最小二乘原理拟合功能函数。4.2.2 偏最小二乘原理的计算思路和计算方法偏最小二乘的关键是主成分的提取，其思路是如下：（1）分析主成分的代表性，在提取自变量和因变量时应尽可能的携带变量中的变异信息。（2）分析主成分的相关性，在提取第一主成分时，要求其之间的相关程度很大

27、，也就是说自变量要对因变量有很强的解释能力。（3）在提取完第一主成分后，分别实施各自变量对自变量系统第一主成分回归，各因变量对自变量第一主成分的回归。如果回归方程精度很高，则算法停止；否则，对残余信息进行第二轮的提取，直到满足精度为止（精度判断准则有交叉有效性准则和复测定系数准则）。偏最小二乘的计算过程方法如下：把原始数据标准化；主成分的提取；通过判断准则终止主成分的提取；建立回归方程；进行辅助分析。4.3 岩体物理指标取值的模糊随机方法边坡岩体的物理指标的确定是进行边坡稳定性分析的基础，所以应提高对岩体物理指标的空间变异性的认识。传统的算法是对样本的物理指标来代替整体的物理指标，后来随着人们

28、认识到物理指标对边坡稳定性分析的重要性，充分考虑了其随机性，但没有考虑到岩体物理指标的模糊性和时变性。对于工程的随机性，目前的做法通常都是应用数理统计和概率论，建立岩体的随机场概率模型、随机数值分析模型等。对于其模糊性通常应用模糊数学的方法，建立隶属度函数、模糊推理等方法。但同时考虑随机性和模糊性性的还是相对少，如果单一考虑一方法虽较以前的均值方法有所进步但还是片面，所以充分考虑随机性和模糊性是十分重要的。由于实际试验中数据有限，随即分析得到样本的均值和方差只是总体的模糊反映，为了的步骤如下：反映总体，必须进行模糊分析，求出真值，进行模糊随机分析（1）隶属函数的确定13确定参数隶属度的方法一般

29、有三种：经验方法（包括评分法、多。综合法）、分析推理法和统计法。一般采用分析推理设A 为论域U = x1，x2 ， ，xn 上的一个模糊子集，论域U 中的元素xi (i = 1，2， ，n)对于A 的隶属度为 A xi 。假设样本真值为X，当试验所得值xi (i = 1，2， ，n)与 X 相差越大，其隶属小；相反，当试验所得值与X相差越小，其隶属为大，因此，选用正态模糊分析作为隶属函数，其分布公式 xi = exp k xi X 2 0 为常数(33)式中：xi (i = 1，2， ，n)为试验值。（2）计算考虑模糊性的均值和标准差为使样本最大程度逼近真值，必须使样本的整体隶属度最大，即nG

30、 = xi = Maxi=1(34)对式（34）求导，得ndG = x 2k x X (35)iidXi=1令式（35）等于 0，得nX = i=1据文献n xi xi i=1，式中nn xi = exp k xi X 2 xi exp k xi X 2 (36)i=1i=12dmax dmin，d = x X 2k =(37)ii同理，可推出标准差的表达式expk x X 2 22 x X 2 nn2= i=1ii(38)n 1 nexpk xi X 2 22i=1其中22 2，d = x X 2 k =(39)iid dmaxmin式（36）和式（38）都是隐函数式，因此需用迭代法计算，方

31、法如下：取初值X0 = x ， 2 = 2 ，x 和 2为样本的随机均值和方差。0由式（36）计算参数的样本均值X。2。由式（38）计算参数的样本方差14判断：若 2 2 （为制定精度），则 2即为所求的；反之，则0令= 2再回到第步，直至满足精度要求。20（3）对参数置信区间的估计，给定显著水平，对于本理指标的置信区间为如果置信区间大说明数据不足或存在异常数据的参入。大量实验已经证明考虑到模糊性计算出的置信区间要比单独考虑随机性要小，说明更加精确对岩体参数的确定。（4）对其分布类型进行拟合检验，通常的方法是检验和 K-S 检验。4.4 有限元广义边坡可靠度分析的具体步骤（1）利用所确定的岩体

32、物理参数和分布类型，生成物理参数并赋予各单元。（2）利用有限元软件 ANSYS 得出岩体各个单元体的功能函数值和各个应力分量和岩体的物理指标。本文对单元体的功能函数选取为：2 +Z = c cos x + y sin x y2，利用单元表功能提取这 5 个量xy22的数据。（3）编写偏最小二乘原理的程序，利用回归功能函数。（4）利用得到的功能函数来计算各个单元体的功能函数值。（5）最后利用 ANSYS 生成可靠度等值线。由于单元体很小可以不考虑某个可靠度值很小的单元体对整体边坡可靠度的影响，最后用最小的可靠度等值线作为整体边坡的可靠度。5 边坡广义可靠度分析的可靠度二次算法可靠十几年来通常的算

33、法原理是利用结构极限状态曲面在验算点处的切平面来代替结构极限状态曲面来求结构的可靠度。显然，计算的精度取决于结 构极限状态曲面的形状。如果结构极限状态曲面与设计验算点处的切平面较接近，则算法有较好的精度。否则将会有较大的误差，因此，为了提高结构可靠指标，采用结构极限状态曲面验算点处进行二次曲面来近似结构状态曲面，从而提高计算精度。5.1 二次可靠度算法的计算原理设功能函数为F u ，u为标准正态随机向量，在验算点处展开用 Taglor 级数，保留二次项则F u = TU + 1 U u T B U u ，其中为一次可FF215靠指标。X = HU(40)式中：X为标准正态变量；H为转换矩阵。T

34、 A 1xxF x = xn F + (41)xn xn 2FF式中：x = (x1，x2， ，xn )；A = HBHT。过验算点在xn xj面内构造以一个平面，该平面与曲面F x 的交线方程为a x2 + 2a x x + a x 2 2 x = 0jj jnj jnFnnnFnF在验算点处，曲线的曲率为kj = ajj ，ajj 为 A 的对角线元素。由微分几何知n1n1nks = kj = kj = ajj ann(42)j=1j=1j=1其中kj为极限状态下曲圆在设计验算点处的主曲率。A 是由 B 通过正交交换得到的，所以有nn ajj = bjj ，j=1j=1T 其中ann =

35、，bjj为 对角线元素。于是，nks = ajj j=1T (43)为进一步简化计算，在验算点处采用直径为 2R 的旋转抛物线来拟合极限状态曲面，则n11F x = x + x2(44)nFj2Rj=1式中：R = n1ks度为n 1的 2分布，故F x 为一标准正态由概率论知， n1 x2服从j=1j变量和一度为n 1的 2分布变量的线性组合。结构失效概率为tPf = ( F )f2 t dt(45)xn12R016n3 21t2f t =n1 texp( ) 。其中：x2n1n1T()222通过反复试算和回归分析，得2ksn1(1+) R F 210(1+2 F ) 1 () 1 +，k 0FsF =(46) 1 +2.5ks1ks ，k 0 F + 2 ks 1 + 4025 2s 5F s 2n 5R +2ks5.2 二次可靠度各计算量的具体表达式结合边坡分析，本文F x 的选取2 +Z = c cos x + y sin x y2，以下为本文推导的各计算量的xy2具体表达式的结果2 6x + 6yF u =cos ， c sin +cos ，2 6x 6y6x 6y sin + ， 2 6x 6y 2 + 42xy 6x 6y 2 + 42 xy 2sin ， xy (47)22 xy 6x 6y 2 + 4令 F u 等于上述向量元素先求平方和再开方，