工数复变函数第二章x2

1、2 函数解析的充要条件 1.函数解析的充要条件 2. 举例 如果复变函数w=f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在定义域 D内处处可导，则函数w=f (z)在D内解析。 本节从函数u (x , y)及v (x , y)的可微性，探求 函数w=f (z) 的可微性，从而导出判别函数解析的 一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。 问题 如何判断函数的解析性呢？ 1. 函数解析的充要条件 记忆定义 方程称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).定理1 设f(z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内有定义，则 f(z)在点z=x+iy D处可导的充要条件是 u(x, y

2、)和v(x, y)在点(x, y )可微，且满足 Cauchy-Riemann方程上述条件满足时,有证明（由f (z)的可导 C-R方程满足上面已证！只须证 f (z)的可导 函数 u(x, y)、v(x, y)可微）。函数 w =f (z)在点 z可导，即 则 f (z+ z)f(z)=f (z)z+(z)z (1), 且 u+iv = (a+ib)(x+iy)+(1+i2)(x+iy) =(ax-by+1x-2y)+i(bx+ay+2x+1y)令：f (z+z) - f (z)=u+iv，f (z)= a+ib， (z)=1+i2 故（1）式可写为因此 u=ax-by+1x-2y , v=

3、bx+ay+2x+1y所以u(x, y)，v(x, y)在点(x, y)处可微. （由函数u(x,y) ,v (x,y)在点(x,y)处可微及满足 C-R方程 f (z)在点z=x+iy处可导）u(x，y)，v(x，y)在(x，y)点可微，即： 推论 设f(z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内有定义，则 f(z)在点z=x+iy D处可导的充分条件是u(x, y) 和v(x, y)在点(x, y )的偏导数连续，且满足C-R 方程。 定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要条件 是u(x, y)和v(x, y)在D内可微，且满足 Cauchy-Rieman

4、n方程 定理提供了判别函数解析性的方法及如何求f (z)的导数值.使用时: i)判别u(x, y)，v (x, y)偏导数的连续性， ii) 验证C-R条件.iii)求导数： 2. 举例例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析： 解 (1) 设z =x+iy w =x-iy u=x, v = -y 则 解 (2) f (z)=ex(cosy +isiny) 则 u=excosy, v= exsiny 仅在点z = 0处满足C-R条件，故 解 (3) 设z =x+iy w =x2+y2 u= x2+y2 , v =0 则 例2 证明 例3 如果f (z)=u(x, y)+i v(x, y)是一解析函数， 且f (z)0，那么曲线族u(x, y)=C1， v(x, y)=C2必互相正交，这里C1 、 C2常数. 那么在曲线的交点处，i)uy、 vy 均不为零时， 由隐函数求导法则知曲线族 u(x, y)=C1，v(x, y)=C2中任一条曲线的(切线)斜率分别为 解 利用C-R方程 ux= vy, uy=vx 有k1k2=( ux/uy)( vx/vy)= 1，即：两族曲线互相正交. ii) uy