2.1导数的背景

1、2.1 导数的背景 复习： 1. 直线的斜率公式：2. 直线方程的点斜式：经过点 P1 ( x1 , y1 ) , 且斜率为 k 的直线方程为 y - y1 = k ( x - x1 ) .2.1导数的背景 （二）切线的斜率： 问题：如图，P(1，1) 是曲线 y = x 2 上的一点，Q 是曲线上点 P 附近的一个点，观察点 Q 沿曲线逐渐向点 P 接近时割线 PQ 的变化情况. （1）求割线 PQ 的斜率： 设点 Q 的横坐标为 1+x，则点 Q 的纵坐标为 (1+x)2 . 点 Q 对于点 P 的纵坐标的增量（即函数的增量） y = (1+x)2 1 = 2 x + (x)2 . （二）

2、切线的斜率： 问题：如图，P(1，1) 是曲线 y = x 2 上的一点，Q 是曲线上点 P 附近的一个点，观察点 Q 沿曲线逐渐向点 P 接近时割线 PQ 的变化情况. （1）求割线 PQ 的斜率： 设点 Q 的横坐标为 1+x，则点 Q 的纵坐标为 (1+x)2 . 点 Q 对于点 P 的纵坐标的增量（即函数的增量） y = (1+x)2 1 = 2 x + (x)2 . （2）求过 P 点的曲线的切线的斜率： 当点 Q 无限接近于点 P 时，也就是当x无限趋近于0时，割线 PQ 的极限位置叫做曲线在点 P 处的切线. 由点斜式，这条切线的方程为 y 1 = 2(x - 1)即 y = 2

3、x - 1 . （2）求过 P 点的曲线的切线的斜率： 当点 Q 无限接近于点 P 时，也就是当x无限趋近于0时，割线 PQ 的极限位置叫做曲线在点 P 处的切线. 由点斜式，这条切线的方程为 y 1 = 2(x - 1)即 y = 2x - 1 . （2）求当 t 0 时，平均速度的极限：所以，小球下落 3 秒时的速度是 29.4 (m / s) . 引言 问题 1：一个小球自由下落，求它在下落 3 秒时的速度. 学完本章的导数知识后，就能够根据自由落体的运动公式，求出小球下落 3 秒时的速度.6060 xxxx 问题 2：用边长为 60cm 的正方形铁皮，做一个无盖水箱，先在四角截去一个小

4、正方形，然后把四边翻转 90 角，再焊接而成. 水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？求最大容积. 学完导数一章之后，这个问题也就能够解决了.2.1导数的背景 （一）瞬时速度： 问题 1：一个小球自由下落，求它在下落 3 秒时的速度. （1）求小球从 3 s 到 ( 3+t ) s 这段时间的平均速度 ( 其中t 叫做时间增量 )：这段时间内的位移增量s为 s = s (3+ t ) s (3) = 4.9 (3+ t )2 - 4.9 32= 29.4 t + 4.9(t )2 （2）求当 t 0 时，平均速度的极限：所以，小球下落 3 秒时的速度是 29.4 (m / s) .2.1导数的背景 （二）切线的斜率： 问题：如图，P(1，1) 是曲线 y = x 2 上的一点，Q 是曲线上点 P 附近的一个点，观察点 Q 沿曲线逐渐向点 P 接近时割线 PQ 的变化情况. （1）求割线 PQ 的斜率： 设点 Q 的横坐标为 1+x，则点 Q 的纵坐标为 (1+x)2 . 点 Q 对于点 P 的纵坐标的增量（即函数的增量） y = (1+x)2 1 = 2 x + (x)2 . （2）求过 P 点的曲线的切线的斜率： 当点 Q 无限接近于点 P 时，也就是当x无限趋近于0时，割线 PQ 的极限位置叫做曲线在点 P 处的切线. 由点斜式，