数值计算方法：ch1-1 解线性方程组的直接法

1、第一章 解线性方程组的直接法线性方程组 对于n个变元m个方程所组成的线性方程组 (1) 当右端常数项b1=b2=bm=0时，称为n元齐次线性方程组，否则称为n元非齐次线性方程组。 对于一般的线性方程组来说，所谓方程组(1)的一个解就是指由n个数k1，k2，kn组成的一个有序数组( k1，k2，kn )，当x1，x2，xn分别用k1，k2，kn代入后，使(1)中的每个等式都变成恒等式。方程组(1)的解的全体称为它的解集合。如果两个方程组有相同的解集合，我们就称它们是同解的。2计算方法 第一章解线性方程组的直接法写为矩阵形式简记为Axb3计算方法 第一章解线性方程组的直接法求解线性代数方程组的方法

2、分类直接法假设计算过程中不产生舍入误差，经过有限次运算可求得方程组的精确解的方法。低阶稠密矩阵方程组迭代法从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷序列去逼近精确解的方法。大型稀疏矩阵方程组4计算方法 第一章解线性方程组的直接法直接法Gauss 消元法矩阵的LU分解5计算方法 第一章解线性方程组的直接法预备知识分别表示n维实和复向量空间，用 表示nn阶实矩阵的向量空间.为实数为复数6计算方法 第一章解线性方程组的直接法转置矩阵单位矩阵其中非奇异矩阵设。如果ABBAI，则称B是A的逆矩阵，记为A-1，且 。如果A-1存在，则称A为非奇异矩阵。如果 均为非奇异矩阵，则7计算方法 第一章解线性方程组的直

3、接法矩阵的行列式 设 ，则A的行列式可按任一行（或列）展开，即 其中Aij 为aij的代数余子式， Aij=(-1)i+j Mij ,Mij为元素aij的余子式。行列式性质(a)det(AB)=det(A)det(B), (b)det(AT)=det(A),(c)det(cA)=cndet(A)(d) 是非奇异矩阵.8计算方法 第一章解线性方程组的直接法设对角矩阵 如果当 时，aij=0对称矩阵 如果 AT=A对称正定矩阵 如果(a) AT=A,(b)对任意非零向量 ，正交矩阵 如果A-1=AT9计算方法 第一章解线性方程组的直接法上三角矩阵及单位上三角矩阵下三角矩阵及单位下三角矩阵计算方法

4、第一章解线性方程组的直接法10设A是一个mn矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等方阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等方阵。11计算方法 第一章解线性方程组的直接法定理 设 ，则下述命题等价：(1)对任何 ,方程组Ax=b有唯一解；(2)齐次方程组Ax=0只有唯一解x=0；(3)(4)A-1存在(5)A的秩rank(A)=n.12计算方法 第一章解线性方程组的直接法1.1 Gauss消元法13计算方法 第一章解线性方程组的直接法举例说明Gauss消元法求解过程14计算方法 第一章解线性方程组的直接法消元过程回代过程15计算方法 第一章解线性

5、方程组的直接法Gauss 消元法分为两个过程消元过程把原方程组化为阶梯形方程组回代过程求解方程组的解16计算方法 第一章解线性方程组的直接法 Gauss消元法的基本思想 用消元法解方程组实际上就是反复地对方程组进行以下三种变换将其化为阶梯形式求解： (1) 用一个非零的数乘某一个方程； (2) 把一个方程的倍数加到另一个方程上； (3) 互换两个方程的位置。 我们称这样的三种变换为方程组的初等变换。 可以证明，初等变换总是把方程组变成同解的方程组。17计算方法 第一章解线性方程组的直接法例1：解线性方程组 (2) 解： 把第一个方程的-3，1，-2倍分别加到第二、三、四 个方程上，使得在第二、

6、三、四个方程中消去未知 量x1:18计算方法 第一章解线性方程组的直接法 把第二个方程的-3，2倍分别加到第三、四个方程上， 使得在第三、四个方程中消去未知量x2: 消去第四个方程中的x3: (3) 由此我们容易求出方程组的解为(-16，5，3，1)。 19计算方法 第一章解线性方程组的直接法例 2 解方程组解：由第三个方程得 x3=3。代入第二个方程，得x2=1。再把x3=3， x2=1代入第一个方程，即得x1=-2。因此上述方程组有唯一解(-2，1，3)。20计算方法 第一章解线性方程组的直接法 解： 用初等变换消去第二、三个方程中的x1:再施行一次初等变换，得上述方程组无解。例 3 解方

7、程组21计算方法 第一章解线性方程组的直接法 解： 用初等变换消去第二、三个方程中的x1:再施行一次初等变换，得 改写成最后得到 其中x2是自由未知量。 例 4 解方程组22计算方法 第一章解线性方程组的直接法 对于一个由m个方程n个变元构成的非齐次线性方程组： (1) 设 （如果 ，那么可以利用初等变换(3)使 ）。利用初等变换(2)分别把第一个方程的-ai1/a11倍加到第i个方程(i=2,3,m)。原方程组化为： (4) 其中23计算方法 第一章解线性方程组的直接法 再对方程组(4)中第二个到第m个方程，按照上面的方法进行变换，并且这样一步步做下去，最后便可得到一个阶梯形方程组。设所得方

8、程组为： (5) 其中 方程组(5)中的“0=0”是一些恒等式，表明相应的方程在原方程组中为多余方程，故去掉以后并不影响方程组的解。 24计算方法 第一章解线性方程组的直接法（1）如果 ，则方程组(1)无解；（2）如果 ，则方程组(1)有解，且有 (i)当r=n时，方程组(1)可以化为： (6) 其中 于是，我们可以由最后一个方程开始，将 的值逐个地唯一地确定，得出它的唯一解。 (ii)当 时，方程组(1)可以化为： 其中 把它改写成25计算方法 第一章解线性方程组的直接法 (7) 由此可见，任给 一组值，就可以唯一地确定出的值，这样就定出了方程组(7)的一个解，一般地，由(7)可以把 通过

9、表示出来： (8) 我们称(8)为方程组(1)的一般解，并称 为一组自由未知量。易见，自由未知量的个数为n-r。26计算方法 第一章解线性方程组的直接法小结Gauss消元法的初等变换：(1) 用一个非零的数乘某一个方程；(2) 把一个方程的倍数加到另一个方程上；(3) 互换两个方程的位置。非齐次线性方程组： 时，方程组无解； 时，若 ，方程组只有唯一解； 若 ，方程组有无穷多组解， 自由未知量的个数为n-r。27计算方法 第一章解线性方程组的直接法 Gauss消元法的基本思想 用消元法解方程组实际上就是反复地对方程组进行以下三种变换将其化为阶梯形式求解： (1) 用一个非零的数乘某一个方程；

10、(2) 把一个方程的倍数加到另一个方程上； (3) 互换两个方程的位置。 我们称这样的三种变换为方程组的初等变换。 可以证明，初等变换总是把方程组变成同解的方程组。28计算方法 第一章解线性方程组的直接法预备知识矩阵的初等变换(1) 用非零的数乘矩阵的某行（列）；(2) 互换矩阵的某两行（列）；(3) 将矩阵的某行（列）的若干倍加到另一行(列).初等矩阵：对单位矩阵施行一次初等变换而 得到的矩阵29计算方法 第一章解线性方程组的直接法Gauss 消元法的消元过程按照矩阵变换的观点来描绘消元的过程Gauss消元法是利用初等变换将系数矩阵化为上三角矩阵，每一次消元，即对增广矩阵左乘初等矩阵。30计

11、算方法 第一章解线性方程组的直接法分别表示n维实和复向量空间，用表示nn阶实矩阵空间考虑线性方程组 Ax=b其中为实数为复数计算方法 第一章解线性方程组的直接法31矩阵形式为其增广矩阵为以方程组为例计算方法 第一章解线性方程组的直接法32第一步消元过程相当于用矩阵G1左乘增广矩阵，即它可以记为 其中是将A中的第一列中的元素a11换成0而得到的列向量， 是单位矩阵I的第一列所形成的列向量，1/2是a11的倒数。这种形式的矩阵称为Gauss矩阵。计算方法 第一章解线性方程组的直接法33同样，若取Gauss矩阵为则有从上述讨论看出，消元过程等价于将方程组的增广矩阵依次左乘相应的Gauss矩阵，将其化

12、为上三角形式计算方法 第一章解线性方程组的直接法34下面，按照上述思想推导消元法的一般算式对于一般的矩阵A=aij，设a110，令 构造Gauss矩阵用G1左乘a1得从而G1(A,b)具有下列形式，其中计算方法 第一章解线性方程组的直接法35一般地，如果已经利用Gauss矩阵G1, ,Gk-1得到则当 时,取计算方法 第一章解线性方程组的直接法3637计算方法 第一章解线性方程组的直接法如此继续下去,最后,当 时得到其中上述过程结束后,方程组化成了具有上三角系数矩阵的方程组当U非奇异，即uii0(i=1,2, ,n)时，方程组容易求解。38计算方法 第一章解线性方程组的直接法Gauss消元法的