随机过程课件：第三章 泊松过程

1、1第三章 泊松过程泊松过程定义泊松过程的数字特征时间间隔分布、等待时间分布及到达时间的条件分布复合泊松过程非齐次泊松过程滤过泊松过程2计数过程：称随机过程N(t),t0为计数过程，若N(t)表示到时刻t为止已发生的“事件A”的总数，且N(t)满足下列条件： N(t) 0; N(t)取正整数值； 若st，则N(s) N(t)； 当s0），事件A发生的次数N(t+s)-N(t)仅与时间差s有关，而与t无关。3泊松过程定义1：称计数过程X(t),t0为具有参数0的泊松过程，若它满足下列条件：1、X(0)=0；2、X(t)是独立增量过程；3、在任一长度为t的区间中，事件A发生的次数服从参数0的泊松分布

2、，即对任意s,t0，有泊松过程同时也是平稳增量过程表示单位时间内事件A发生的平均个数，故称为过程的速率或强度4泊松过程定义2：称计数过程X(t),t0为具有参数0的泊松过程，若它满足下列条件： X(0)=0； X(t)是独立、平稳增量过程；X(t)满足下列两式：例如：电话交换机在一段时间内接到的呼叫次数；火车站某段时间内购买车票的旅客数；机器在一段时间内发生故障的次数；保险的理赔5定理 ：定义1和定义2是等价的。例子：设交换机每分钟接到电话的次数X(t)是强度为的泊松过程。求两分钟内接到3次呼叫的概率。第二分钟内接到第3次呼叫的概率。6泊松过程的数字特征设X(t),t0是泊松过程，对任意的t,

3、s0, )，且ss1+s2|Ss1。即假定最近一次事件A发生的时间在s1时刻，下一次事件A发生的时间至少在将来s2时刻的概率。9时间间隔的分布设N(t),t0是泊松过程，令N(t)表示t时刻事件A发生的次数，Tn表示从第（n-1）次事件A发生到第n次事件A发生的时间间隔。10定理：设X(t),t0为具有参数的泊松过程，Tn,n1是对应的时间间隔序列，则随机变量Tn是独立同分布的均值为1/的指数分布。对于任意n=1,2, 事件A相继到达的时间间隔Tn的分布为概率密度为11等待时间的分布等待时间Wn是指第n次事件A到达的时间分布因此Wn是n个相互独立的指数分布随机变量之和。12定理：设Wn,n1是

4、与泊松过程X(t),t0对应的一个等待时间序列，则Wn服从参数为n与的分布，其概率密度为例：已知仪器在0，t内发生振动的次数X(t)是具有参数的泊松过程，若仪器振动k（k=1）次就会出现故障，求仪器在时刻t0正常工作的概率。13到达时间的条件分布假设在0,t内时间A已经发生一次，我们要确定这一事件到达时间W1的分布。泊松过程平稳独立增量过程可以认为0,t内长度相等的区间包含这个事件的概率应该相等，或者说，这个事件的到达时间应在0,t上服从均匀分布。对于st有分布函数分布密度14定理：设X(t),t0是泊松过程，已知在0,t内事件A发生n次，则这n次到达时间W1W2, Wn与相应于n个0,t上均

5、匀分布的独立随机变量的顺序统计量有相同的分布。例题设在0,t内事件A已经发生n次，且0st，对于0kn，求PX(s)=k|X(t)=n例题设在0,t内事件A已经发生n次，求第k(kn)次事件A发生的时间Wk的条件概率密度函数。1、设X(t),t0是泊松过程，在给定0,t内事件A发生n次的条件下，这n次到达时间W1，W2, ，Wn ，每一个都是U0,t的一个样本，且相互独立。2、若不考虑其大小顺序，其分布就如n个独立的均匀随机变量U0,t，如到达时间的条件分布的说明3、如果我们有一组n个独立均匀分布U0,t随机变量的观测值，将其按大小排列，则可以将其视为给定X(t)=n的齐次泊松过程的n个到达点

6、，是一种产生齐次泊松过程的方法例题有线电视公司从客户签约时刻起开始收费，每单位时间收费1元，设签约客户为参数为的泊松过程，求公司在(0，t时间段内的平均总收入。16非齐次泊松过程允许时刻t的来到强度是t的函数定义：称计数过程X(t),t0为具有跳跃强度函数(t)的非齐次泊松过程，若它满足下列条件： X(0)=0； X(t)是独立增量过程； 非齐次泊松过程的均值函数（积分强度函数）为17定理：设X(t),t0为具有均值函数 非齐次泊松过程，则有或18到达时间的条件分布19例题设X(t),t0是具有跳跃强度 的非齐次泊松过程（0），求EX(t)和DX(t)。例题设某路公共汽车从早上5时到晚上9时有

7、车发出，乘客流量如下：5时按平均乘客为200人/时计算；5时至8时乘客平均到达率按线性增加，8时到达率为1400人/时；8时至18时保持平均到达率不变；18时到21时从到达率1400人/时按线性下降，到21时为200人/时。假定乘客数在不相重叠时间间隔内是相互独立的。求12时至14时有2000人来站乘车的概率，并求这两个小时内来站乘车人数的数学期望。20复合泊松过程定义：设N(t),t0是强度为的泊松过程，Yk,k=1,2,是一列独立同分布随机变量，且与N(t),t0独立，令则称X(t),t0为复合泊松过程。N(t)YkX(t)在时间段(0,t内来到商店的顾客数第k个顾客在商店所花的钱数该商店

8、在(0,t时间段内的营业额21定理设 是复合泊松过程，则 X(t), t0是独立增量过程； X(t)的特征函数 ，其中 是随机变量Y1的特征函数，是时间的到达率； 若E(Y12)，则例题：结巴（stuttering）泊松过程对于一个复合泊松过程，如果Yn服从几何分布：23泊松过程的分解例题设到达某商场的顾客组成强度为的泊松过程，每个顾客购买商品的概率为p，且与其他顾客是否购买商品无关，若X( t )，t0为购买商品的顾客数，证明X( t )，t0是强度为p的泊松过程。泊松过程的分解：强度为的泊松过程，事件A在时刻s到达，则此到达可分解成概率为P(s)的type-1到达和概率为1- P(s) 的type-2到达，用Ni ( t ) ，t0，i=1,2，表示type-i在时间(0,t的达到次数，则有24泊松过程的分解可推广到n个类型，用Pi(s)表示type-i在时刻s达到的概率，定义：则Ni ( t ) ，t0为参数pi的泊松分布，且Ni ( t )相互独立例：某沙滩汽车的到达服从指数为的泊松过程，汽车在沙滩的逗留时间分布为G(s)，假定各汽