精品初三数学圆经典例题

1、-一圆的定义及相关概念【考点速览】考点 1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它 的对称轴。圆心是它的对称中心。考点 2：确定圆的条件； 圆心和半径圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点 3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的 弦。弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。弧：圆上任意两点间的局部叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念 弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应

2、两个弓高 固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到 直角三角形。如以下列图：考点 4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在。考点 5点和圆的位置关系 设圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d，则点与圆的位置关系有三种。点在圆外一 dr；点在圆上一 d=r；点在圆 一 dr； 【典型例题】例 1 在ABC 中，ACB=90,AC=2,BC=4 ，CM 是 AB 边上的中线，以点 C 为圆心， 以 5 为半径作圆，试确定 A,B,M 三点分别与C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。例 2，如图，

3、CD 是直径， 三EOD = 84。，AE 交O 于 B，且 AB=OC，求A 的度数。EMB. z. z.-例 3 O 平面一点 P 和O 上一点的距离最小为 3cm，最大为 8cm，则这圆的半径是_cm。例 4 在半径为 5cm 的圆中，弦 AB CD，AB=6cm ，CD=8cm，则 AB 和 CD 的距离是多 少.例 5 如图, O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，AE=6cm ，EB=2cm, 三CEA = 30 ，求 CD 的长 C例 6.：O 的半径 0A=1，弦 AB、AC 的长分别为 2 , 3 ，求三BAC 的度数例 7.如图，在ABC 中， 三A = 90。，AB

4、=3cm，AC=4cm，以点AA 为圆心， AC 为半B径O画弧交 CB 的延长线于点 D，求 CD 的长 D例 8、如图，有一圆弧开桥拱，拱的跨度AB16cm，拱高 CD4cm，C则拱形的半径是_C_m。. 思考题ABDADB如下列图, O 的半径为 10cm，P 是直径 AB 上一点,弦 CD 过点 P,CD=16cm,过点 A 和 B 分别向 CD 引垂线 AE 和 BF,求 AE-BF 的值.CE二垂径定理及其推论【考点速览】PBA O考点 1垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条孤FD推论 1：平分弦不是直径的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条孤弦的垂直平分线经过圆

5、心，并且平分弦所对的两条孤平分弦所对的一条孤的直径,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条孤 推论 2 圆的两条平行弦所夹的孤相等垂径定理及推论 1 中的三条可概括为： 经过圆心；垂直于弦；平分弦(不是直径)；平分弦所对的优弧；平分弦所对 的劣弧以上五点其中的任意两点，都可以推得其它两点【典型例题】. z.-例 1 如图 AB、CD 是O 的弦， M、N 分别是 AB、CD 的中点，且三AMN = 三CNM 求证： AB=CDCA例 2，不过圆心的直线l 交O 于 C 、D 两点， AB 是O 的直径， Al 于 E，Bl 于F。求证： CE=DF OBD例 3 如下列图，O 的直径 AB15cm

6、，有一条定长为 9cm 的动弦 CD 在弧 AmB 上滑 动点 C 与点 A，点 D 与 B 不重合，且 CECD 交 AB 于 E，DFCD 交 AB 于 F。1求证： AEBF2在动弦 CD 滑动的过程中， 四边形 CDEF 的面积是否为定值.假设是定值， 请给出证 明，并求出这个定值，假设不是，请说明理由。例 4 如图，在O，弦 CD 与直径 AB 交成 45 0 角，假设弦CD 交直径 AB 于点 ，且O 半径为 1，试问： PC2 + PD2 是否为定值.假设是，求出定值； 设不O是，请说明理 A mD 由.例 5.如下列图， 在O 中，弦 ABAC，弦 BDBA，AC、BD 交直

7、MN 于 E、FD求证：ME=NF.A 。 BM OP例 6. 思考题如图， o1 与 o2 交于点 A ，B，过 A 的直线 A别交o1 ， o2 于 M,，E1 2C 为 MN 的中点， P 为 O O 的中点，求证： PA=PC.O三圆周角与圆心角M【考点速览】 C AF N D考点 1 B圆心角 ：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所 对O的1 弧的P度数。 O N2Eg: 判别以下各图中的角是不是圆心角，并说明理由。 B圆周角 ：顶点在圆周上，角两边和圆相交的角叫圆周角。两个条件缺一不可Eg: 判断以下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由考点 2定理 ：一条弧所对的

8、圆周角等于它所对的圆心角的一半Eg: 如下三图，请证明。13.如图， A、B、C、D 是O 上的四个点， ABBC，BD交AC于点E，连接CD、AD1求证： DB 平分ADC；2假设 BE3 ，ED6，求 AB 的长14.如下列图， AB 为O 的直径， CD 是弦，且 AB CD 于点 E连接 AC、OC、BC. z.-1求证： 三 ACO=三 BCDA2假设 EB=8cm ，CD=24cm ，求O 的直径15.如图，在 RtABC 中，ACB90， AC5 ，CB12，AD 是ABC 的角平分线，过 A、C、D 三点的圆与斜边 AB 交于点 E，连接 DE 。 O1求证： ACAE； E2

9、求ACD 外接圆的半径。 C DA B是劣弧BC 上的一点端点除外，延长BP 至D ，16.：如图等边ABC 接于O，点P 使BD = AP ，连结CD E1假设AP 过圆心O ，如图，请你判断PDC 是什么三角形.并说明理由 2假设AP 不过圆心O ，如图， PDC 又是什么三角形. 为什么.C D BA四圆心角、弧、弦、弦心距关系定理 A【考点速览】圆心角, 弧, 弦, 弦心距之间的关系定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的O孤相等，所对的弦相等，所对 弦的弦心距相等 推论： 在同圆或等圆中,如B果两个圆心角,两 条C弧,两B条弦,两条弦心距中, 一组量相等, 则它们所对应的其余各组量都

10、分别相等.P P务必注意前提为：在同圆或等圆中 D例 1如下列图，点 O 是EPF 的平图线上一点D， 以 O 为圆心的圆和图角的两边分别交于A 、B 和 C 、D，求证： AB=CDE例2、：如图， EF为O的直径，过EF上一点P作弦AB、CD，且APF=CPF。求证： PA=PC 。 A例 3如下列图， 在ABC 中， A=72。，O 截PABC 三条边长所的三条弦等长，求BOC.CAD例 4如图，O 的弦 CB、ED 的延长线交于点 A，且 BC=DE求证： AC=AE FC O例 5如下列图，在O 中，弦 AB=CB，ABC=120。，ODAB 于BD ，OEBC 于 E CA求证：

11、ODE 是等边三角形D例 6.如下列图，ABC 是等边三角形，以 BC 为直径的EO 分别交 AB、 于点 D 、E。EA D1试说明ODE 的形状；CB. z.O-2如图 2，假设A=60， ABAC，则的结论是否仍然成立，说明你的理由。A A例 7 弦 DF AC ，EF 的延长线交 BC 的延长线于点 G.1求证：BEF 是等边三角形； D E DE2BA=4 ，CG=2，求 BF 的长. E D例8：如图，AOB=90， C 、D是弧AB的三等分点， AB分别交OC 、OD于点E、F。求证： AE=BF=CD 。 B O C A B O C六会用切线，能证切线 考点速览： O FC G

12、直线与圆的位置关系B考点 1直线与圆的位置关系公共点个数d 与 r 的关系图形dr0相离d=r1相切d R + r1 个d = R + r2 条0 条0 条0 条1 条0 条d = R 一 rd R 一 r外离外切2 条2 个1 条1 个切含O 1O 1O 1O 2O 2O 2O 2O112 有关性质：1连心线：通过两圆圆心的直线。如果两个圆相切，则切点一定在连心线上。 2公共弦：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 3公切线：和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。两个圆在公切线同旁 两个圆在公切线两旁3相交两圆的性质定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。4相切两圆的性质定理：相切两

13、圆的连心线经过切点经典例题： 外公切线 内公切线例 1、如图，O 与 O 相交于 A 、B 两点， P 是O 上一点， PB 的延长线交O 于1 2 1 2点 C ，PA 交 O 于点 D， CD 的延长线交O 于为 N.2 11过点 A 作AE/交O 于点 E. 求证： PA=PE.1-2连接 PN，假设 PB=4 ，BC=2，求 PN 的长.P例2 如图，在 ABC 中， 三BAC = 90 , AB = AC = 2 2 ，B圆A的半径为1，假设点OO D N在BC边上运动与点B 、C不重合，设BO = x, ACOC 的 积为y. O 11求y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取

14、值围； 2A E 2以点O为圆心， BO长为半径作O，当圆O与A相切时，求AOC 的面积.课堂练习：A1. O 与O 的半径分别为 5cm 和 3cm，圆心距 0 0=7cm，则两圆的位置关系为1 2 2A外离 B外切 C相交 D切2.两圆半径分别为2 和 3，圆心距为d ，假设两圆没有公共点，则以下结论正确的选项是 A 0 d 5 C 0 d 1 或d 5 O D 0 d 5C 3.大圆半径为6，小圆半径为 3，两圆圆心距为 10，则这两圆的位置关系为 A外离 B外切 C相交 D含5.假设两圆的半径分别是 1cm 和 5cm，圆心距为 6cm，则这两圆的位置关系是 A切 B相交 C外切 D外

15、离6.外切两圆的圆心距是 7，其中一圆的半径是 4，则另一圆的半径是A11 B 7 C4 D 3十一. 圆的有关计算考点速览：【例题经典】有关弧长公式的应用例 1 如图，RtABC 的斜边 AB=35，AC=21，点 O 在 AB 边上， OB=20，一个以 O 为圆心的圆，分别切两直角边边 BC、AC 于 D、E 两点，求弧 DE 的长度有关阴影局部面积的求法例 2 如下列图，等腰直角三角形ABC 的斜边AB = 4 ， O 是 AB 的中点，以O 为圆心的半圆分别与两腰相切于 D 、 E 求圆中阴影局部的面积C求曲面上最短距离例 3 如图，底面半径为 1，母线长为 4 的圆锥， D E一只

16、小蚂蚁假设从 A 点出发，绕侧面一周又回到 A 点，它A B. z. z.-爬行的最短路线长是 A2 B 4 2 C4 3 D5求圆锥的侧面积例 4 如图 10 ，这是一个由圆柱体材料加工而成的零件， 它是以圆柱体的上底面为底面，在其部 掏取一个与圆柱体等高的圆锥体而得到的，其底面直径 AB=12cm，高BC=8cm ，求这个零件的外表积 结果保存根号三、应用与探究：1 如下列图， A 是半径为 1 的O 外一点， OA=2，AB 是O 的切线， B 为切点，弦 BC OA，连结 AC ，求阴影局部的面积 BA 2：如图，ABC 中， ACBC，以 BC 为直径的O 交 AB 于点 D，过点

17、D 作DEAC于点 E，交 BC 的延长线于点 F CO A求证：1 ADBD；2 DF 是O 的切线3如图，在 RtABC 中，B90，A 的平分 D线与 BC 相交于点 D,点 E 在 AB 上， DE=DC,以 D E为圆心， DB 长为半径作D1AC 与D 相切 B O C F吗. 并说明理由 2你能找到 AB、BE、AC 之间的数量关系吗. 为什么.4、如图，：ABC 接于O，点 D 在 OC 的延长线上，sin B = ，三D = 30 1求证： AD 是O 的切线；122假设AC = 6 ，求 AD 的长圆的综合测试一：选择题 1有以下四个命题：直径是弦；经过三个点一定可以作圆；

18、三角形的外心到三角 形各顶点的距离都相等；半径相等的两个半圆是等弧其中正确的有 A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个2以下判断中正确的选项是 A.平分弦的直线垂直于弦 B.平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧C. 弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D.平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦. z.353ABCD2AB2C 3D2-3如上图，O 的弦 AB、CD 相交于点 E， 的度数为 60，的度数为 100，则AEC 等于 A.60 B.100 C.80 D.1304圆接四边形 ABCD 中，A、B、C 的度数比是 2:3:6，则D的度数是 A.67.5 B.135 C.112.5 D

19、.1105.过O 一点 M 的最长弦长为 6cm,最短的弦长为4cm,则OM 的长为( ).A 、 3cm B 、 5cm C 、 2cm D 、 3cm6两个圆是同心圆，大、小圆的半径分别为9 和 5，如果P 与这两个圆都相切，则P 的半径为( )A.2 B.7 C.2 或 7 D.2 或 4.57ABC 的三边长分别为 a、b 、c，它的切圆的半径为 r，则ABC 的面积为 1 1A. abcr B.2abc C. abcr D.abcr 2 38半径分别为 r 和 2 r 的两圆相交，则这两圆的圆心距 d 的取值围是 A.0d3r B.rd3r C.rd3r D.rd3r 9.将一块弧长

20、为的半圆形铁皮围成一个圆锥接头忽略不计，则围成的圆锥的高为52210.如图，圆 O 中弦 AB、CD 相交于点 F，AB=10，AF=2，假设 CF:DF=1:4，则 CF 的长等于 。211.有一矩形纸片ABCD，其 中 AD=4cm，上面有一个以 AD 为直径的 半圆，正好与对边 BC 相切， 如图甲，AB D CCFABODCB A C将它沿 DE 折叠，使 A 点落在 BC 上，如图乙，这时，半圆还露在外面的局部阴影局部的面积是 12A. ( 一 2 3)cm2 B ( + 3)cm22-4C ( 几 3)cm23D ( 几 + 3)cm2312.如图，两同心圆间的圆环即图中阴影局部的

21、面积为 16，过小 圆上任一点P 作 大圆的弦 AB ，则 PA PB 的值是 A 16 B 16几 C 4 D 4几二、填空题13RtABC 中，C90， AC=5,BC=12,则ABC 的切圆半径为 ，14.如图，圆 O 是ABC 的外接圆， 三C = 30 AB = 2cm ，则圆 O 的半径为 cm COAB15.1圆的面积为81几 cm2 ，其圆周上一段弧长为3几 cm ，则这段弧所对圆心角的度数是2如图 13 所示， AB、CD 是O 的直径， O 的半径为 R，ABCD， 以 B 为圆心，以 BC 为半径作弧 CED，则弧 CED 与弧 CAD 围成的新月形 ACED 的面积为.3如图 14,*学校建一个喷泉水池，设计的底面边长为 4m 的正六边形，池底是水磨石地面， 现用的磨光机的磨头是半径为 2dm 的圆形砂轮， 磨池底时磨头磨不到的局 A部的面积为.16如图 2，圆锥的底面半径为 6cm，高为cm，则这个圆的侧 O面积是 2 C O DB图 1317.如图，有一个圆锥