精品经典__初中数学三角形专题训练及例题解析

1、. z.-知识点梳理考点一、三角形1、三角形的定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2、三角形的分类 .(锐角三角形 (不等边三角形| 角|等腰三角形(等边三3、三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.4、三角形的重要线段三角形的中线：顶点与对边中点的连线,三条中线交点叫重心三角形的角平分线：角平分线与对边相交 ,顶点和交点间的线段 ,三个角的角平分线的交点叫 心 三角形的高：顶点向对边作垂线,顶点和垂足间的线段.三条高的交点叫垂心(分锐角三角形,钝角三角形和直角三角形的交点的位置不同)5、三角形具有稳定性6、三角形的角和定理及性

2、质定理：三角形的角和等于 180 .推论 1 ：直角三角形的两个锐角互补。推论 2 ：三角形的一个外角等于不相邻的两个角的和。推论 3 ：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个角。7、多边形的外角和恒为 3608、多边形及多边形的对角线正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形凸凹多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，假设整个图形都在这条直线的同一侧，这样的多边形称为凸多边形；，假设整个多边形不都在这条直线的同一侧， 称这样的多边形为 凹多边形。多边形的对角线的条数:A.从 n 边形的一个顶点可以引n-3条对角线，将多边形分成n-2个三角形。B.n 边形共有 n(n- 3)

3、 条对角线。 29、边形的角和公式及外角和多边形的角和等于n-2180(n3)。多边形的外角和等于 360。. z.-10 、平面镶嵌及平面镶嵌的条件。平面镶嵌：用形状一样或不同的图形封闭平面，把平面的一局部既无缝隙，又不重叠 地全部覆盖。平面镶嵌的条件：有公共顶点、公共边；在一个顶点处各多边形的角和为 360。考点二、全等三角形1、全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 。2、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：1边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可简写成 边角边 或SAS2角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等可简写成 角边角 或AS

4、A3边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等可简写成边边边或SSS。 直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有 HL 定理斜边、直角边定理：有斜边 和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等可简写成斜边、直角边或HL3、全等变换只改变图形的位置，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。全等变换包括一下三种：1平移变换：把图形沿*条直线平行移动的变换叫做平移变换。 2对称变换：将图形沿*直线翻折 180，这种变换叫做对称变换。 3旋转变换：将图形绕*点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。考点三、等腰三角形1、等腰三角形的性质 1等腰三角形的性质定理及推论：定

5、理：等腰三角形的两个底角相等简称：等边对等角推论 1 ：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、 底边上的中线、底边上的高重合。推论 2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于 60。2、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。1三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。2要会区别三角形中线与中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 三角形中位线定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行。数量关系：可以证明线段的倍分关系。. z.-常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：结论 1 ：三条中

6、位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。结论 2 ：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。结论 3 ：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。结论 4 ：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。结论 5 ：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。考点四、直角三角形1、直角三角形的两个锐角互余2、在直角三角形中， 30角所对的直角边等于斜边的一半。3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4 直角三角形两直角边 a，b 的平方和等于斜边 c 的平方，即 a2 + b2 = c25、摄影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项

7、，每条直角边是 它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项ACB=90CD2 = AD BDCDAB BC2 = BD AB6、常用关系式由三角形面积公式可得：AB CD=AC BC经典例题解析 ：例 1.如图， BP 平分FBC ，CP 平分ECB，A=40求BPC 的度数。分析：可以利用三角形外角的性质及三角形的角和求解。解： 1= 1 (三A+ 三4) 三2 = 1 (三A+ 三3)2 2 三BPC = 180。_ (三1+ 三2) 三A= 40。 三BPC = 180。_ (三A+ 三4)+ (三A+ 三3)例 2.如图，求A+C+3+F 的度数。分析：由B=30，G=80，BDF=130，利

8、用四边形角和，求出. z.-3 的度数，再计算要求的值。解：四边形角和为4-2180=3603=360-30-80-130=120又A C F 是三角形的角A+C+F+3=180+120=300例 3一个多边形的每个外角都是其相邻角度数的 1 ，求这个多边形的边数。4分析：每一个外角的度数都是其相邻角度数的 1 ，而每个外角与其相邻的角的度数之和为4180。解：设此多边形的外角为*，则角的度数为 4 *例 4. 用正三角形、正方形和正六边形能否进展镶嵌.分析：可以进展镶嵌的条件是：一个顶点处各个角和为 360解：正三角形的角为 60o正方形的角为 90o正六边形的角为 120o可以镶嵌。一个顶

9、点处有 1 个正三角形、 2 个正方形和 1 个正六边形。例 5.如图，在ABC 中，ACB=60，BAC=75， ADBC 于 D，BEAC 于 E，AD 与 BE 交于 H，则CHD=解：在ABC 中，三边的高交于一点，所以 CFAB，BAC=75，且 CFAB，ACF=15，ACB=60，BCF=45在CDH 中，三角之和为 180，CHD=45，故答案为CHD=45. z.-点评：考察三角形中，三条边的高交于一点，且角和为 180例 6如图， AD、AM、AH 分别ABC 的角平分线、中线和高1因为 AD 是ABC 的角平分线，所以 = = 1/2 ；2因为 AM 是ABC 的中线，所

10、以 = = ；3因为 AH 是ABC 的高，所以 = =90分析：1根据三角形角平分线的定义知：角平分线平分该角；2根据三角形的中线的定义知：中线平分该中线所在的线段；3根据三角形的高的定义知，高与高所在的直线垂直解答：解：1AD 是ABC 的角平分线，BAD=CAD=1/2BAC；2AM 是ABC 的中线，BM=CM=1/2BC；3AH 是ABC 的高，AHBC，AHB=AHC=90；故答案是：1BAD、CAD 、BAC；2BM、CM 、BC；3AHB、AHC例 8如图， AP 平分BAC 交 BC 于点 P，ABC=90，且 PB=3cm，AC=8cm，则APC 的面积是 cm2解：AP

11、平分BAC 交 BC 于点 P，ABC=90， PB=3cm，点 P 到AC 的距离等于 3，AC=8cm，APC 的面积=832=12cm2例 9. ：点 P 是等边ABC 的一点，BPC150， PB2，PC3，求 PA 的长。分析： 将BAP 绕点 B 顺时针方向旋转 60至BCD，即可证得BPD 为等边三角形，PCD 为直角三角形。. z.证明： 连接 AM，由题意得， DEAC，ADAB，DAEBAC90。 DAB90。 DAB 为等腰直角三角形。 又MDMB ， MAMDMB，AMDB，MADM AB45。 MDEMAC105，DMA90。 MDEMAC。 DMEAMC，MEMC。

12、又DMEEMA90，-解： BCBA，将BAP 绕点 B 顺时针方向旋转 60，使 BA 与BC 重合，得BCD，连结 PD。 BDBP2，PADC。 BPD 是等边三角形。BPD60。 DPCBPCBPD1506090。DC PD2 + PC2 = 22 + 32 = 13 PADC 13 。例 10. 两个全等的含 30， 60角的三角板 ADE 和 ABC 如下列图放置， E，A ，C 三点在一条 直线上，连接 BD，取 BD 的中点 M，连结 ME，MC。试判断EMC 是什么样的三角形，并 说明理由。分析： 判断一个三角形的形状，可以结合所给出的图形作出假设，或许是等腰三角形。 这样就

13、可以转化为另一个问题：尝试去证明 EMMC，要证线段相等可以寻找全等三角形来 解决，然而图中没有形状大小一样的两个三角形。这时思考的问题就可以转化为这样一个新 问题： 如何构造一对全等三角形.根据点 M 是直角三角形斜边的中点， 产生联想： 直角三角形 斜边上的中点是斜边的一半， 得： MDMBMA。连结 M A 后， 可以证明MDEMAC。答： EMC 是等腰直角三角形。BMD厂E CA. z.-AMCEMA90。MCEM。EMC 是等腰直角三角形。说明： 构造全等三角形是解决这个问题的关键，则构造全等又如何进展的呢 .对条件的充 分认识和对知识点的联想可以找到添加辅助线的途径。构造过程中要

14、不断地转化问题或转化 思维的角度。会转化，善于转化，更能表达思维的灵活性。在问题中创设以三角板为情境也是考题的一个热点。例 11.如图， 等腰直角三角形 ABC 中， ACB90， AD 为腰 CB 上的中线， CEAD 交 AB 于 E求证CDAEDB提示：作 CFAB 于 F，则ACF45，在ABC 中，ACB90， CEAD，于是，由ACGB45， ABAC ，且易证12，由此得AGCCEBASA再由 CDDB ，CGBE，GCDB，又可得CGDBEDSAS，则可证CDAEDB例 12.如图，ABC 中，12，34，56A60求ECF、FEC 的度数略解：因为 A60，A1所以 2 3

15、1806060；2FG又因为 B、C、D 是直线，所以 4590；E于是 FEC2360，14 53 6C2BDFCE4590，FEC60AD 相交于 F，作 FGBC 交 AB例 13. 在 RtABC 中，A90， CE 是角平分线，和高于 G，求证： AEBG略解：作 EHBC 于 H，由于 E 是角平分线上的点，可证 AEEH ；且又由 AECBECBCADECAAGFE 可证 AEAF，于是由 AFEH，AFGEHB90， BAGF可得 AFGEHB；EHAFDC-所以 AGEB，即 AEEGBGGE，所以 AEBG反响练习1.如图， AD 是ABC 的中线，如果ABC 的面积是 1

16、8cm2 ，则ADC 的面积是 cm22.如图，ABC 中，ABC=BAC=45，点 P 在 AB 上， ADCP，BECP，垂足分别为 D，E，DC=2，则 BE=32021：如图，四边形 ABCD 是菱形，过 AB 的中点 E 作 AC 的垂线 EF，交 AD 于点 M，交 CD 的延长线于点 F1则 AMDM；2假设 DF=2，则菱形 ABCD 的周长为4BD，CE 是ABC 的两条高， M、N 分别为 BC、DE 的中点，勇敢猜一猜： 1线段 EM与 DM 的大小有什么关系.EMDM；2线段 MN 与 DE 的位置有什么关系.5如图，一块长方体砖宽AN=5cm，长 ND=10cm，CD

17、 上的点 B 距地面的高 BD=8cm，地面上 A 处的一只蚂蚁到 B 处吃食，需要爬行的最短路径是 cm6、：如图， P 是正方形 ABCD 点，PADPDA150求证：PBC 是正三角形 A DP7、： P 是边长为 1 的正方形 ABCD 的一点，求 PAPBPC 的最小值A DB CP三角形中作辅助线的常用方法举例常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形， 可作底边上的高， 利用三线合一的性质解题， 思维模式是全等变换中的对折 B C2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全. z. z.证法一：延长 BD 交 AC 于点 E

18、，这时BDC 是EDCBDCDEC，同理DECBAC，BDC 证法二：连接 AD，并延长交 BC 于 FBDF 是ABD 的外角 BDFBAD，同理，CDFCAD-等变换中的旋转3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的*一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中 的对折，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理4) 过图形上*一点作特定的平分线， 构造全等三角形， 利用的思维模式是全等变换中的平移或翻转折 叠5) 截长法与补短法，具体做法是在*条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将*条线段延长，是之 与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和

19、、差、 倍、分等类的题目特殊方法： 在求有关三角形的定值一类的问题时， 常把*点到原三角形各顶点的线段连接起来， 利用三角形面积的知识解答一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，假设直接证不出来，可连接两点或延长 * 边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系 证明，如：例 1：如图 1-1：D 、E 为ABC 两点, 求证:ABACBDDECE.证明： 法一 将 DE 两边延长分别交 AB、AC 于 M、N，在AMN 中， AMAN MDDENE;1在BDM 中， MBMDBD； HYPERLINK l _bookmark1 2在CEN 中，NECE

20、； HYPERLINK l _bookmark2 3由123得：AMANMBMDNEMDDENEBDCEABACBDDEEC法二： 如图 1-2， 延长 BD 交 AC 于 F，延长 CE 交 BF 于 G，在ABF 和GFC 和GDE 中有：ABAF BDDGGF 三角形两边之和大于第三边 1GFFCGECE 同上 HYPERLINK l _bookmark3 2DGGEDE 同上 HYPERLINK l _bookmark4 3由123得：ABAFGFFCDGGEBDDGGFGECEDEABACBDDEEC。二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的角时如直接证不出来时，可连接两点 或延长

21、*边，构造三角形，使求证的大角在*个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的角位置上，再利用外角定理：例如：如图 2-1：D 为ABC 的任一点，求证：BDCBAC。分析： 因为BDC 与BAC 不在同一个三角形中， 没A可适当添加辅助线构造新的三角形，使BDC 处于在外角处于在角的位置；EGDCBF 图2 1有直接的联系， 的位置， BAC的外角，BAC. z.-BDFCDFBADCAD即：BDCBAC。注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在*三角形的外角位置上，小角放在这 个三角形的角位置上，再利用不等式性质证明。三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三

22、角形，如：例如：如图 3-1：AD 为ABC 的中线，且12,34,求证： BECFEF。分析：要证 BECFEF ，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE，CF，EF 移到同一个三角形中，而由12，34，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN，FN ，EF 移到同一个三角形中。证明： 在 DA 上截取 DNDB，连接 NE，NF，则 DN 在DBE 和DNE 中：(DN = DB(辅助线的作法 )| 边 )DBEDNE SASBENE 全等三角形对应边相等同理可得： CFNFANEF2 31 4CD 图3 1BDC，在EFN 中 ENFNEF 三角形两边之和大于第三边B

23、ECFEF。注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全 等三角形的性质得到对应元素相等。四、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。例如：如图 4-1：AD 为ABC 的中线，且12，34，求证： BECFEF证明：延长 ED 至 M，使 DM=DE，连接CM，MF。在BDE 和CDM 中，A(BD = CD(中点的定义)E F2 3| )1 4 C BDECDMSASB D又 12，34 1234180平角的定义 32=90M图4 1即： EDF90 FDMEDF 90在EDF 和MDF 中(ED = MD(辅助线的作法)| 证

24、) EDFMDF SASEFMF 全等三角形对应边相等在CMF 中， CFCMMF 三角形两边之和大于第三边BECFEF注：上题也可加倍 FD ，证法同上。注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。. z.-五、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。例如：如图 5-1：AD 为 ABC 的中线，求证： ABAC2AD。分析：要证 ABAC2AD，由图想到： ABBDAD,ACCDAD，所以有 ABAC BDCDADAD2AD，左边比要证结论多 BDCD，故不能直接证出此题， 而由 2AD 想到要构造 2AD，即加倍中线，把所

25、要证的线段转移到同一个三角形中去。A证明：延长 AD 至 E，使 DE=AD，连接 BE，则 AEAD 为ABC 的中线 BDCD 中线定义在ACD 和EBD 中D 图5 - 1EACDEBD SASCBBECA 全等三角形对应边相等在ABE 中有： ABBEAE 三角形两边之和大于ABAC2AD。常延长中线加倍，构造全等三角形E练习： ABC，AD 是 BC 边上的中线， 分别以 AB 边、F向形外作等腰直角三角形，如图 5-2， 求证 EF2AD。A六、截长补短法作辅助线。例如：如图 6-1 ：在ABC 中， ABAC，12，点。求证： ABACPBPC。BD C图5 - 2分析：要证：

26、ABACPBPC，想到利用三角形三因为欲证的是线段之差，故用两边之差小于第三边，从而ABAC，故可在 AB 上截取 AN 等于 AC，得ABAC则 PCPN，又在PNB 中， PBPNBN，即： ABACPBPC。2AD第三边AC 边为直角边各P 为 AD 上任一边关系定理证之， 想到构造第三边 BN， 再连接 PN，证明： 截长法在 AB 上截取 ANAC 连接 PN , 在APN 和APC 中(AN = AC(辅助线的作法)| 边)APNAPC SASPCPN 全等三角形对应边相等在BPN 中，有 PBPNBN 三角形两边之差小于第三边BPPCABACPM，证明： 补短法 延长 AC 至

27、M，使 AMAB，连接A1 2P在ABP 和AMP 中(AB = AM(辅助线的作法)CND| 边)M图6 - 1BABPAMP SASPBPM 全等三角形对应边相等又在PCM 中有： CMPMPC(三角形两边之差小于第三边)ABACPBPC。七、延长边构造三角形：例如：如图 7-1：ACBD，ADAC 于 A ，BCBD 于 B， 求证： ADBC分析： 欲证 ADBC，先证分别含有 AD，BC 的三角形全等， 有几种方案： ADC 与BCD，AOD. z.-与BOC，ABD 与BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。证明：分别

28、延长 DA ，CB，它们的延长交于 E 点，ADAC BCBD CAEDBE 90 垂直的定义在DBE 与CAE 中(E = E(公共角)(已证)DBECAE AASEDEC EBEA 全等三角形对应边相等EDEAECEBEA BOD C图7 - 1即： ADBC。当条件缺乏时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。八 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。例如：如图 8-1：AB CD，AD BC 求证： AB=CD。分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决。证明 ：连接 AC 或 BDAB CD AD BC 12，34 两直线平行，错角相等在ABC 与CDA 中 A D(1 = 2(已证) 1 3边) 4 2图8 - 1 ABCCDA ASA B CABCD