2022届北京市东城区北京第二十二高三一诊考试数学试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷请考生注意：1请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用05毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2答题前，认真阅读答题纸上的注意事项，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2体育教师指导4个学生训练转身动作，预备时，4个学生全部面朝正南方向站成一排.训练时，每次都让3个学生“向后转”，若4个学生全部转到

2、面朝正北方向，则至少需要“向后转”的次数是（ ）A3B4C5D63若x，y满足约束条件且的最大值为，则a的取值范围是（ ）ABCD4已知实数，函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）ABCD5一个正三棱柱的正（主）视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（ ）A16B12C8D66的展开式中有理项有（ ）A项B项C项D项7本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（ ）A72种B144种C288种D360种8已知四棱锥，底面ABCD是边长为1的正方形，平面平面ABCD，当点C到平面AB

3、E的距离最大时，该四棱锥的体积为（ ）ABCD19已知抛物线上一点到焦点的距离为，分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为（ ）ABCD10已知抛物线y2= 4x的焦点为F，抛物线上任意一点P，且PQy轴交y轴于点Q，则 的最小值为（ ）ABClD111已知双曲线（，），以点（）为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则的离心率为（）ABCD12已知集合，则（）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13如图，在一个倒置的高为2的圆锥形容器中，装有深度为的水，再放入一个半径为1的不锈钢制的实心半球后，半球的大圆面、水面均与容器口相平，则的值为_.14已知抛物线的

4、焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若线段的垂直平分线与轴交点的横坐标为，则的值为_.15已知，分别是椭圆：（）的左、右焦点，过左焦点的直线与椭圆交于、两点，且,，则椭圆的离心率为_16已知a，b均为正数，且，的最小值为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）在中，为边上一点，.（1）求；（2）若，求.18（12分）如图，直线y=2x-2与抛物线x2=2py(p0)交于M1,M2两点，直线y=p2与y轴交于点F，且直线y=p2恰好平分M1FM2.（1）求p的值；（2）设A是直线y=p2上一点，直线AM2交抛物线于另一点M3，直线M1M3交直线y=

5、p2于点B，求OAOB的值.19（12分）某精密仪器生产车间每天生产个零件，质检员小张每天都会随机地从中抽取50个零件进行检查是否合格，若较多零件不合格，则需对其余所有零件进行检查根据多年的生产数据和经验，这些零件的长度服从正态分布（单位：微米），且相互独立若零件的长度满足，则认为该零件是合格的，否则该零件不合格（1）假设某一天小张抽查出不合格的零件数为，求及的数学期望；（2）小张某天恰好从50个零件中检查出2个不合格的零件，若以此频率作为当天生产零件的不合格率已知检查一个零件的成本为10元，而每个不合格零件流入市场带来的损失为260元假设充分大，为了使损失尽量小，小张是否需要检查其余所有零件

6、，试说明理由附：若随机变量服从正态分布，则20（12分）已知，均为正项数列，其前项和分别为，且，当，时，.（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前项和.21（12分）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数），圆的方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求和的极坐标方程；（2）过且倾斜角为的直线与交于点，与交于另一点，若，求的取值范围.22（10分）某商场以分期付款方式销售某种商品，根据以往资料统计，顾客购买该商品选择分期付款的期数的分布列为：2340.4其中，（）求购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率；（）商场销售一件该商品，若顾客选择分2期

7、付款，则商场获得利润l00元，若顾客选择分3期付款，则商场获得利润150元，若顾客选择分4期付款，则商场获得利润200元.商场销售两件该商品所获的利润记为（单位：元）（）求的分布列；（）若，求的数学期望的最大值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1D【解析】先把变形为，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出，得到其坐标可得答案.【详解】解：由，得，所以，其在复平面内对应的点为，在第四象限故选：D【点睛】此题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.2B【解析】通过列举法，列举出同学

8、的朝向，然后即可求出需要向后转的次数.【详解】“正面朝南”“正面朝北”分别用“”“”表示，利用列举法，可得下表，原始状态第1次“向后转”第2次“向后转”第3次“向后转”第4次“向后转”可知需要的次数为4次.故选：B.【点睛】本题考查的是求最小推理次数，一般这类题型构造较为巧妙，可通过列举的方法直观感受，属于基础题.3A【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a的范围即可【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为的最大值为，所以在点处取得最大值，则，即.故选：A【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键4D【解析】根据题意，对于函数分2

9、段分析：当，由指数函数的性质分析可得，当，由导数与函数单调性的关系可得，在上恒成立，变形可得，再结合函数的单调性，分析可得，联立三个式子，分析可得答案.【详解】解：根据题意，函数在上单调递增，当，若为增函数，则，当，若为增函数，必有在上恒成立，变形可得：，又由，可得在上单调递减，则，若在上恒成立，则有，若函数在上单调递增，左边一段函数的最大值不能大于右边一段函数的最小值，则需有，联立可得：.故选：D.【点睛】本题考查函数单调性的性质以及应用，注意分段函数单调性的性质.5B【解析】根据正三棱柱的主视图，以及长度，可知该几何体的底面正三角形的边长，然后根据矩形的面积公式，可得结果.【详解】由题可知

10、：该几何体的底面正三角形的边长为2所以该正三棱柱的三个侧面均为边长为2的正方形，所以该正三棱柱的侧面积为故选：B【点睛】本题考查正三棱柱侧面积的计算以及三视图的认识，关键在于求得底面正三角形的边长，掌握一些常见的几何体的三视图，比如：三棱锥，圆锥，圆柱等，属基础题.6B【解析】由二项展开式定理求出通项，求出的指数为整数时的个数，即可求解.【详解】，当，时，为有理项，共项.故选:B.【点睛】本题考查二项展开式项的特征，熟练掌握二项展开式的通项公式是解题的关键，属于基础题.7B【解析】利用分步计数原理结合排列求解即可【详解】第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有种排法；第二步将

11、数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有种排法，所以不同的排表方法共有种.选.【点睛】本题考查排列的应用，不相邻采用插空法求解，准确分步是关键，是基础题8B【解析】过点E作，垂足为H，过H作，垂足为F，连接EF.因为平面ABE，所以点C到平面ABE的距离等于点H到平面ABE的距离.设，将表示成关于的函数，再求函数的最值，即可得答案.【详解】过点E作，垂足为H，过H作，垂足为F，连接EF.因为平面平面ABCD，所以平面ABCD，所以.因为底面ABCD是边长为1的正方形，所以.因为平面ABE，所以点C到平面ABE的距离等于点H到平面ABE的距离.易证平面平面ABE，所以点H到平面AB

12、E的距离，即为H到EF的距离.不妨设，则，.因为，所以，所以，当时，等号成立.此时EH与ED重合，所以，.故选：B.【点睛】本题考查空间中点到面的距离的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意辅助线及面面垂直的应用.9D【解析】利用抛物线的定义，求得p的值，由利用两点间距离公式求得，根据二次函数的性质，求得，由取得最小值为，求得结果.【详解】由抛物线焦点在轴上，准线方程，则点到焦点的距离为，则，所以抛物线方程：，设，圆，圆心为，半径为1，则，当时，取得最小值，最小值为，故选D.【点睛】该题考查的是有关距离的最小值问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，点

13、到圆上的点的距离的最小值为其到圆心的距离减半径，二次函数的最小值，属于中档题目.10A【解析】设点，则点，利用向量数量积的坐标运算可得，利用二次函数的性质可得最值.【详解】解：设点，则点，当时，取最小值，最小值为.故选：A.【点睛】本题考查抛物线背景下的向量的坐标运算，考查学生的计算能力，是基础题.11A【解析】求出双曲线的一条渐近线方程，利用圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则可根据圆心到渐近线距离为列出方程，求解离心率【详解】不妨设双曲线的一条渐近线与圆交于，因为，所以圆心到的距离为：，即，因为，所以解得故选A【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查了转化思想以及计算能力，属于中档题

14、对于离心率求解问题，关键是建立关于的齐次方程，主要有两个思考方向，一方面，可以从几何的角度，结合曲线的几何性质以及题目中的几何关系建立方程；另一方面，可以从代数的角度，结合曲线方程的性质以及题目中的代数的关系建立方程.12A【解析】根据对数性质可知，再根据集合的交集运算即可求解.【详解】，集合，由交集运算可得.故选：A.【点睛】本题考查由对数的性质比较大小，集合交集的简单运算，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】由已知可得到圆锥的底面半径，再由圆锥的体积等于半球的体积与水的体积之和即可建立方程.【详解】设圆锥的底面半径为，体积为，半球的体积为，水（小圆锥）的

15、体积为，如图则，所以，解得，所以，由，得，解得.故答案为：【点睛】本题考查圆锥的体积、球的体积的计算，考查学生空间想象能力与计算能力，是一道中档题.141【解析】设，写出直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理求得，由抛物线定义得焦点弦长，求得，再写出的垂直平分线方程，得，从而可得结论【详解】抛物线的焦点坐标为，直线的方程为，据得.设，则.线段垂直平分线方程为，令，则，所以，所以.故答案为：1【点睛】本题考查抛物线的焦点弦问题，根据抛物线的定义表示出焦点弦长是解题关键15【解析】设,则,由知, ,作,垂足为C，则C为的中点,在和中分别求出,进而求出的关系式,即可求出椭圆的离心率.【详解】如图,设,

16、则,由椭圆定义知,因为,所以,作,垂足为C，则C为的中点,在中,因为,所以，在中,由余弦定理可得,，即,解得,所以椭圆的离心率为.故答案为:【点睛】本题考查椭圆的离心率和直线与椭圆的位置关系;利用椭圆的定义,结合焦点三角形和余弦定理是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.16【解析】本题首先可以根据将化简为，然后根据基本不等式即可求出最小值.【详解】因为，所以，当且仅当，即、时取等号，故答案为：.【点睛】本题考查根据基本不等式求最值，基本不等式公式为，在使用基本不等式的时候要注意“”成立的情况，考查化归与转化思想，是中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1

17、）；（2）4【解析】（1），利用两角差的正弦公式计算即可；（2）设，在中，用正弦定理将用x表示，在中用一次余弦定理即可解决.【详解】（1），所以， .（2），设，在中，由正弦定理得，.【点睛】本题考查两角差的正弦公式以及正余弦定理解三角形，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.18（1）p=4；（2）OAOB=20.【解析】试题分析：（1）联立直线的方程和抛物线的方程y=2x-2x2=2py，化简写出根与系数关系，由于直线y=p2平分M1FM2，所以kM1F+kM2F=0，代入点的坐标化简得4-(2+p2)x1+x2x1x2=0，结合跟鱼系数关系，可求得p=4；（2）设M3(x3,x328)，

18、A(t,2)，B(a,2)，由A,M2,M3,三点共线得kM2M3=kAM2，再次代入点的坐标并化简得x2x3-t(x2+x3)=-16，同理由B,M3,M1三点共线，可得x1x3-a(x1+x3)=-16，化简得at=16，故OAOB=at+4=16+4=20.试题解析：（1）由y=2x-2x2=2py，整理得x2-4px+4p=0，设M1(x1,y1)，M2(x2,y2)，则=16p2-16p0 x1+x2=4px1x2=4p，因为直线y=p2平分M1FM2，kM1F+kM2F=0，所以y1-p2x1+y2-p2x2=0，即2x1-2-p2x1+2x2-2-p2x2=0，所以4-(2+p2

19、)x1+x2x1x2=0，得p=4，满足0，所以p=4.（2）由（1）知抛物线方程为x2=8y，且x1+x2=16x1x2=16，M1(x1,x128)，M2(x2,x228)，设M3(x3,x328)，A(t,2)，B(a,2)，由A,M2,M3,三点共线得kM2M3=kAM2，所以x2+x38=x228-2x2-t，即，整理得：x2x3-t(x2+x3)=-16，由B,M3,M1三点共线，可得x1x3-a(x1+x3)=-16，式两边同乘x2得：x1x2x3-a(x1x2+x2x3)=-16x2，即：16x3-a(16+x2x3)=-16x2，由得：x2x3=t(x2+x3)-16，代入得

20、：16x3-16a-ta(x2+x3)+16a=-16x2，即：16(x2+x3)=at(x2+x3)，所以at=16.所以OAOB=at+4=16+4=20.考点：直线与圆锥曲线的位置关系.【方法点晴】本题考查直线与抛物线的位置关系.阅读题目后明显发现，所有的点都是由直线和抛物线相交或者直线与直线相交所得.故第一步先联立y=2x-2x2=2py，相当于得到M1,M2的坐标，但是设而不求.根据直线y=p2平分M1FM2，有kM1F+kM2F=0，这样我们根据斜率的计算公式k=y2-y1x2-x1，代入点的坐标，就可以计算出p的值.第二问主要利用三点共线来求解.19（1）见解析（2）需要，见解析

21、【解析】（1）由零件的长度服从正态分布且相互独立,零件的长度满足即为合格,则每一个零件的长度合格的概率为,满足二项分布,利用补集的思想求得,再根据公式求得；（2）由题可得不合格率为,检查的成本为,求出不检查时损失的期望,与成本作差,再与0比较大小即可判断.【详解】（1）,由于满足二项分布,故.（2）由题意可知不合格率为,若不检查,损失的期望为；若检查,成本为,由于,当充分大时,所以为了使损失尽量小,小张需要检查其余所有零件.【点睛】本题考查正态分布的应用,考查二项分布的期望,考查补集思想的应用,考查分析能力与数据处理能力.20（1），（2）【解析】（1），所，两式相减，即可得到数列递推关系求解通项公式，由，整理得，得到，即可求解通项公式；（2）由（1）可知，即可求得数列的前项和.【详解】（1）因为，所，两式相减，整理得，当时，解得，所以数列是首项和公比均为的等比数列，即，因为，整理得，又因为，所以，所以，即，因为，所以数列是以首项和公差均为1的等差数列，所以；（