小波分析基础知识

1、基本知识泛函初步：研究抽象空间与空间之间相互关系。空间：数学结构集合空间的延伸：引入线性运算构成线性空间；引入范数构成线性赋范空间；引入内积，构成内积空间等等。1常用数学符号：”for all” or “for everyone”, 对于每个 ： “there is a” or “there exists”, 存在 Z ：整数集 R：实数集 C：复数集 Z+：正整数集 2常用数学符号3常用数学符号4线性空间线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题看作向量空间，进而通过研究向

2、量空间来解决实际问题一、线性空间的定义5线性空间若对于任一数 与任一元素 ，总有唯一的一个元素 与之对应，称为 与 的积，记作定义 设 是一个非空集合， 为实数域如果对于任意两个元素 ，总有唯一的一个元素 与之对应，称为 与 的和，记作6线性空间如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那么 就称为数域 上的向量空间（或线性空间）7线性空间8线性空间2 向量空间中的向量不一定是有序数组3 判别线性空间的方法：一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间 说明1 凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，称为线性运算9线性空间（）一个集合，如果定义

3、的加法和乘数运算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性例 实数域上的全体 矩阵，对矩阵的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 线性空间的判定方法10线性空间通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算满足线性运算规律11线性空间12线性空间例 正弦函数的集合对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空间13线性空间是一个线性空间.例 在区间 上全体实连续函数，对函数的加法与数和函数的数量乘法，构成实数域上的线性空间一般地14线性空间例 正实数的全体，记作 ，在其中定义加法及乘数运算为验证 对上述加法与乘数运算构成线性空间（）一个集合，如果定义的加法和乘数运算不是通常的实数间的加

4、乘运算，则必需检验是否满足八条线性运算规律证明所以对定义的加法与乘数运算封闭15线性空间下面一一验证八条线性运算规律：16线性空间所以 对所定义的运算构成线性空间17线性空间不构成线性空间对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法例 个有序实数组成的数组的全体18线性空间1零元素是唯一的证明假设 是线性空间V中的两个零元素，由于所以则对任何 ，有二、线性空间的性质19线性空间2负元素是唯一的证明假设 有两个负元素 与 ，那么则有向量 的负元素记为20线性空间证明21线性空间4如果 ，则 或 . 证明假设那么又同理可证：若 则有22线性空间三、线性空间的子空间定义2设 是一个线性空间， 是 的一个

5、非空子集，如果 对于 中所定义的加法和乘数两种运算也构成一个线性空间，则称 为 的子空间定理线性空间 的非空子集 构成子空间的充分必要条件是： 对于 中的线性运算封闭23线性空间线性空间的元素统称为“向量”，但它可以是通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等.线性空间是一个集合对所定义的加法及数乘运算封闭所定义的加法及数乘符合线性运算四、小结线性空间是二维、三维几何空间及 维向量空间的推广，它在理论上具有高度的概括性.24线性赋范空间25线性赋范空间26线性赋范空间27线性赋范空间28线性赋范空间29线性赋范空间30线性赋范空间31线性赋范空间重用概念32线性空间的完备性 中柯西点列的定义.设是中的点列，如果对任意给定的整数 存在正整数 当 时有 则称是中的柯西点列.类似地可以定义度量空间中的柯西点列.33线性空间的完备性34线性空间的完备性35线性空间的完备性36希尔伯特空间37希尔伯特空间38希尔伯特空间39希尔伯特空间40希尔伯特空间41希尔伯特空间42希尔伯特空间43希尔伯特空间44希尔伯特空间45希尔伯特空间46希尔伯特空间47希尔伯特空间48希尔伯特空间49希尔伯特空间50希尔伯特空间51希尔伯特空间52希尔伯特空间53希尔伯特空间54希尔伯特空间55希尔伯特空间56希尔伯特空间57框架58框架59框架