选修4-5-41数学归纳法

1、数学归纳法对于一些与无限多个正整数相关的命题，如果不易用以前学习过的方法证明，用数学归纳法可能会收到较好的效果. ：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法 结论一定可靠结论不一定可靠考察全体对象,得到一般结论的推理方法考察部分对象,得到一般结论的推理方法归纳法分为完全归纳法 和 不完全归纳法归纳法提出问题：如何找到一个科学有效的方法证明结论的正确性呢？.第1张骨牌倒下.假设第k张骨牌倒下保证第k+1张倒下第n张骨牌倒下骨牌倒下第一块骨牌倒下任意相邻的两块牌，前一块倒下一定导致后一块牌倒下 对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：（1）证明

2、当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题成立;（2）假设当n=k(kN* ,k n0)时命题成立 证明当n=k+1时命题也成立.最后由（1）（2）得出结论全体自然数成立 数学归纳法【命题成立的连续性】【命题成立的必要性】这种证明方法叫做 数学归纳法用数学归纳法证明等式问题？-1+3=_;-1+3-5=_-1+3-5+7=_-1+3-5+7-9=_2-34-5数学归纳法步骤，用框图表示为： 验证n=n0时命题成立。若n = k ( k n0 ) 时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。 命题对从n0开始的所有的正整数n都成立。归纳奠基归纳递推 注：两个步骤,一个结论,缺一不可137951+3

3、+5+(2n1)=n2 (nN*)证明：练习：观察归纳猜想：你能得出什么结论？并用数学归纳法证明你的结论。nn（1）当n=1时，左边=1,右边=12=1，等式成立.（2）假设n=k时等式成立，即1+3+5+(2k1)=k2 ,则n=k+1时， 1+3+5+2(k+1)1= 1+3+5+(2k1)+2(k+1)-1= k2+2k+1=(k+1)2.即n=k+1时等式也成立.根据（1）,（2）知等式对一切nN*都成立.135（2n1）用数学归纳法证明n2即当n=k+1时等式也成立。根据（1）和（2）可知，等式对任何都成立。证明：135（2k1）+2(k+1)1那么当n=k+1时（2）假设当nk时，

4、等式成立，即（1）当n=1时，左边1，右边1，等式成立。135（2k1）k2 + 2(k+1)1k2 2k1k2（k+1）2（假设）（利用假设）注意：递推基础不可少， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉。证明传递性（凑结论）用数学归纳法证明整除问题数学归纳法证题的关键是“一凑假设，二凑结论”，在证题的过程中，归纳假设一定要起到条件的作用，即证明n=k+1成立时必须用到归纳假设这一条件.特别提示:用数学归纳法证明几何问题特别提示:用数学归纳法证几何问题，应特别注意语言叙述正确，清楚，一定要讲清从n=k到n=k+1时，新增加量是多少. 一般地，证明第二步常用的方法是加一法，即在原来的基础上，再增加一个，也可以从k+1个中分出一个来，剩下的k个利用假设.1.数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法.主要有两个步骤一个结论: （1）证明当n取第一个值n0（如