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1、第二章 控制系统的状态空间描述2.1 引 言2.2 状态空间模型2.3 状态空间表达式的建立2.4 系统状态方程的线性变换2.5 由状态空间表达式求传递函数阵2.6 离散时间系统的状态空间表达式2.7 利用MATLAB进行系统数学模型的转换小 结 2.1 引 言 20世纪60年代,人们将状态空间的概念引入控制理论，产生了以状态空间描述为基础,最优控制为核心的现代控制理论。系统动态特性的状态空间描述由两个数学方程组成，一个是反映系统内部状态变量和输入变量间因果关系的状态方程;另一个是表征系统内部状态变量及输入变量与输出变量转换关系的输出方程。状态空间法具备如下优点： （1）在数字计算机上求解一阶

2、微分方程组或者差分方程组，比求解与它相当的高阶微分方程或差分方程要容易。 （2）状态空间法引入了向量矩阵，大大简化了一阶微分方程组的数学表示法。 （3）在控制系统的分析中，系统的初始条件对经典法感到困难的问题，采用状态空间法就迎刃而解了。 （4）状态空间法能同时给出系统的全部独立变量的响应，不但反映了系统的输入输出外部特性，而且揭示了系统内部的结构特性，既适用单输入单输出系统又适用多输入多输出系统。（5）状态空间法可利用计算机进行分析设计以及实时控制，所以可应用求解大量的非线性系统、时变系统、随机过程和采样系统。（6）利用现代空间法进行系统综合时，是非常有利的。 建立动态系统的状态空间模型是状

3、态空间分析和综合的基本问题和前提,本章2.3节在介绍状态空间分析法基本概念的基础上，讨论动态系统状态空间表达式建立问题; 2.4节介绍动态系统数学模型的等效变换,包括状态向量的线性变换与状态空间表达式标准型、系统的高阶微分方程描述化为状态空间描述、系统的传递函数描述化为状态空间描述、由系统状态空间表达式求传递函数阵; 2.22.5节以连续系统为研究对象, 2.6节讨论离散系统的状态空间模型; 2.7节介绍应用MATLAB进行系统模型变换。 1.系统的基本概念 2. 动态系统的两类数学描述 3. 状态的基本概念 2.2 状态空间模型2.2.1状态空间的基本概念 1.系统的基本概念 系统:是由相互

4、制约的各个部分有机结合，且具有一定功能的整体。静态系统:对于任意时刻t，系统的输出惟一地取决于同一时刻的输入，这类系统称为静态系统。静态系统亦称为无记忆系统。静态系统的输入、输出关系为代数方程。 动态系统:对任意时刻，系统的输出不仅与t时刻的输入有关，而且与t时刻以前的累积有关(这种累积在t0(t0l，m1时，系统为多输人多输出系统(multiinput and multi output，MIMO)。这种系统也称为多变量系统。它有r个输入变量和m个输出变量，输入变量u和输出变量y都是向量，为n维状态向量，所以各个矩阵相应的维数为 是 nn方阵， 是nr矩阵， 是mn矩阵，而 是一个mr矩阵。【

5、例】考察图2-10电路，取电压源e为输入变量，R1上的电压为输出变量,建立该电网络的状态空间表达式, 电压和电流为关联参考方向。 图2-10四、系统的状态空间描述列写举例网络中只含有电容C、电感L两个独立储能元件，选电容端电压uC、流经电感的电流iL作为状态变量。 解 （1）选取状态变量（2）利用电路基本定理列原始方程 回路: （2-14） 回路: (2-15) 代入式(2-14),得 将(2-16) （3）导出状态变量的一阶微分方程组 (2-17) （4）导出状态方程和输出方程 将状态变量的一阶导数看成待定量，用解代数方程方法求解式(2-17)即可求出状态方程。将式(2-17)写成向量-矩阵

6、形式的方程,即 (2-18) 解之,得向量-矩阵形式的状态方程 (2-19)输出方程为 (2-20) (5) 列写状态空间表达式 将式(2-19)和式(2-20)合起来即为状态空间表达式,若令 则可得状态空间表达式的一般式,即 (2-21) 例2.2 系统如图取状态变量:得：系统输出方程为：写成矩阵形式的状态空间表达式为：五、状态变量的选取 1状态变量的选取具有非惟一性。2动态方程或状态空间描述具有非惟一性。 3完全描述一个动态系统所需状态变量的个数由 系统的阶次决定，状态变量必须是相互独立的。 4一般来说，状态变量不一定是有实际物理意义或可以测量的量，但是从工程实际的角度出发，总是选择物理上

7、有意义或可测量的量作为状态变量，如电感中的电流、电容上的电压、电机的转速等。列写状态空间表达式的一般步骤： (1)确定系统的状态变量、输入变量、输出变量; (2)根据变量应遵循的物理、化学定理,列出描述系统动态特性或运动规律的微分方程; (3)消去中间变量,得出状态变量的导数与各状态变量、输入变量的关系及输出变量与各状态变量、输入变量的关系; (4)将方程整理成状态方程、输出方程的表准形式。二 说明： 系统的状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机来计算。 确定最小的状态变量组以及与之对应的状态空间描述的形式、特点、它们之间的联系与转换等问题，需要进一步分析解决。一 步骤：

8、 状态变量的选择不是唯一的。2.2.3 状态空间模型的图示一、结构图 线性系统状态空间表达式可用结构图来表示。不仅适用于多输入多输出系统，当然也适用于单输入单输出系统。这种表示法的实质是把系统分成两部分，如图22所示。与古典控制理论类似，状态空间表达式也可用图24所示的方框结构图来表示。值得注意的是：图中的信号传输线一般是表示列向量，方框中的字母代表矩阵，每一方框的输入输出关系规定为： 输出向量=(方块所示矩阵)(输入向量)一、结构图 线性系统状态空间表达式可用结构图来表示。不仅适用于多输入多输出系统，当然也适用于单输入单输出系统。这种表示法的实质是把系统分成两部分，如图22所示。与古典控制理

9、论类似，状态空间表达式也可用图24所示的方框结构图来表示。值得注意的是：图中的信号传输线一般是表示列向量，方框中的字母代表矩阵，每一方框的输入输出关系规定为： 输出向量=(方块所示矩阵)(输入向量) D A B Cu(t)Y(t)X(t)二、状态变量图 在状态空间分析中，常以状态变量图来表示系统各变量之间的关系，其来源出自模拟计算机的模拟结构图，这种图为系统提供了一种物理图像，有助于加深对状态空间概念的理解。 所谓状态变量图是由积分器、加法器和放大器构成的图形。 绘制步骤：（1）绘制积分器 （2）画出加法器和放大器 （3）用线连接各元件，并用箭头 示出信号传递的方向。例 设一阶系统状态方程为则

10、其状态图为例 设三阶系统状态空间表达式为则其状态图为2.3 状态空间表达式的建立2.3.1.由物理机理直接建立状态空间表达式：例 系统如图所示选择状态变量：整理得：状态方程为：输出方程为： 写成矩阵形式例 系统如图取状态变量:得：系统输出方程为：写成矩阵形式的状态空间表达式为：2.3.2 由系统微分方程建立状态空间表达式 的情形： 化为能控标准型取状态变量：则有：即写成矩阵形式：其中：称为友矩阵。能控标准型取状态变量：化为能观测标准型整理得：则得能观标准型状态空间表达式：的情形：计算：定义状态变量:写成矩阵形式的状态空间表达式2.3.3. 由传递函数建立状态空间表达式：(1) 直接分解法单输入

11、单输出线性定常系统传递函数：输出为：令：则有：的L氏反变换，则系统的状态空间表达式为：令：分别表示例 考虑系统试写出其能控标准型状态空间表达式。则状态空间表达式为：选择状态变量：(2) 并联分解法极点两两相异时其中：令：则有：则有：系统的矩阵式表达：二、传递函数含重实极点时 设n阶严格有理真分式传递函数为 当传递函数含重实极点时，不失一般性，假设 其中，q重极点 所对应的部分分式系数 按式 计算对于单极点 ，对应的部分分式的系数则按下式计算 选择系统状态变量的拉氏变换为 （222）整理 得整理 得（223）取拉氏反变换，得输出方程为 式（223）取拉氏反变换，得状态方程为 系统的向量-矩阵形式

12、的状态空间表达式为 系统状态变量图 2.4 系统状态方程的线性变换2.4.1 系统状态的线性变换考虑系统：取线性非奇异变换：,矩阵P非奇异整理得：其中：例 考虑系统取变换：状态空间表达式变为：2.4.2 对角标准型， 充要条件：n 阶系统矩阵 A 有n 个线性无关的特征向量。化对角标准型的步骤：求取系统矩阵的 个特征根和对应的特征向量令 解：1) 求系统特征根例 将下系统化为对角标准型2)求特征向量对由得对由得对由得3) 新的状态方程为：构成状态转移矩阵 2.4.3 约当标准型重特征根设矩阵具有满足是所对应的特征向量。若变换化为约当标准型。可通过则称为广义特征向量。矩阵线性求约当标准型的步骤：

13、求解 令 2.4.4线性变换的基本性质一、系统特征方程和特征值的不变性 系统的状态空问表达式为 系统的特征方程为 上式的根就是系统的特征值。而同一系统经线性非奇异变换之后为 它的特征方程为 二、传递函数矩阵的不变性 传递函数矩阵是系统的输入输出描述，系统状态空间的坐标变换，即内部描述的改变显然不会影响传递函数矩阵。 2.5 由状态空间表达式求传递函数阵2.5.1 SISO系统取L氏变换得：A的特征值即为系统的极点。结论： （1）系统矩阵A的特征多项式等同于传递函数的分母多项式。 （2）传递函数的极点就是系统矩阵A的特征值。 （3）多项式与之和即为传递函数的分子多项式。 （4）由于状态变量选择的

14、不同，同一系统的状态空间描述不是惟一的，但从表征系统状态空间描述的不同的A，B，C和D变换到表征系统输入输出描述的传均函数G(s)是惟一的。选择不同的状态变量可得至两个不同的动态方程式，所求得的传递函数却是相同的，这称为传递函数的不变性。2.5.2 MIMO系统其中：2.5.2组合系统的传递函数阵一、 并联:系统如图，二子系统并联连接特点：二、 反馈系统如图，二子系统并联连接特点：(1) 动态反馈传递矩阵：(2) 静态反馈闭环系统状态空间描述为：闭环系统传递矩阵为：2.6 离散时间系统状态空间表达式离散时间系统差分方程表示：其对应脉冲传函为：定义：取：对其进行Z 反变换得： 写成矩阵形式：例2

15、.6.1 考虑离散系统试写出其状态空间表达式。得状态空间表达式为：解：取Z变换得2. 7 MATLAB在线性系统动态分析中的应用2. 7. 1 应用MATLAB计算线性定常系统的矩阵 指数(状态转移矩阵)2. 7. 2 应用MATLAB 求定常系统时间响应 2. 7.3 应用MATLAB 变连续状态空间模型为离 散状态空间模型 2. 7. 1 应用MATLAB计算矩阵指数 1. 应用MATLAB 符号数学工具箱求矩阵指数闭合解析式 基于2.3节矩阵指数的拉普拉斯变换求解法，可调用MATLAB 符号数学工具箱（Symbolic Math Toolbox）中的符号运算函数先算出“预解矩阵” ，再对

16、“预解矩阵”进行拉普拉斯反变换即求得 。 另外，MATLAB 符号数学工具箱中有专用于计算矩阵指数的指令expm（）可调用。 【例】 已知 ,应用MATLAB求 %MATLAB Program 2_1a syms s t %定义基本符号变量s 和tA=4,0,0;0,3,1;0,1,3;FS=inv(s*eye(3)-A); %求预解矩阵 eAt=ilaplace(FS,s,t); %求 eAt=simplify(eAt) %化简 的表达式 解 MATLAB Program 2_1a给出了基于拉普拉斯变换求 的MATLAB 程序。 2.应用数值矩阵的指数运算函数expm（）求 对应于 （ 为某

17、一常数）的值 MATLAB Program 2_2给出了调用expm（）求例 中矩阵A的矩阵指数 对应于 的值 的MATLAB 程序。 %MATLAB Program 2_2 A=4,0,0;0,3,1;0,1,3; T=0.1;eAT=expm(A*T) 3.应用MATLAB 符号数学工具箱求离散系统状态转移矩阵解析式 【例2-14】 已知离散系统状态方程为 应用MATLAB求其状态转移矩阵 的解析式 解 例2-10中已采用四种方法求出了系统的 ， MATLAB Program 2_3给出了基于Z变换求 的MATLAB 程序。 %MATLAB Program 2_3 syms z k %定义

18、基本符号变量z和k G=0,1;-0.2,-0.9; Fz=(inv(z*eye(2)-G)*z; %求 Fk=iztrans(Fz,z,k) %调用Z反变换指令求 Fk=simple(Fk) %将符号运算结果表达式转换为最简形式 与例2-10求解结果一致，MATLAB Program 2_3 程序运行结果如下： Fk = 5*(-2/5)k-4*(-1/2)k, 10*(-2/5)k-10*(-1/2)k -2*(-2/5)k+2*(-1/2)k, -4*(-2/5)k+5*(-1/2)k 2. 7. 2 应用MATLAB 求定常系统时间响应 1.状态方程的数值解 常微分方程数值解一般使用逐

19、步积分的方法实现，RungeKutta法是应用最多的一种微分方程数值解法。MATLAB提供的ode23（）、ode45（）是分别采用2/3阶、4/5阶RungeKutta法的常微分方程数值求解的函数，一般ode45（）较ode23（）运算速度快，两者调用格式相同，即 其中,xfun为由m函数定义的一阶微分方程组的m函数名，该m函数必须以状态向量x的一阶导数为输出。若原方程为高阶微分方程，应通过第1章的“实现”方法将其转换为一阶微分方程组，即状态空间表达式； t0和tf分别为积分的起始和终止时间，单位为秒；x0为状态向量的初始值；t和x均为返回值，其中t为离散时间列向量；x为解向量构成的矩阵，其

20、第j列为第j个状态变量与t相对应的解向量，j=1,2,n。 例 已知系统状态空间表达式为 设x(0)=0，试求u(t)=1(t)为单位阶跃函数时系统时间响应的数值解。 解 MATLAB Program 2_4a建立了描述系统状态方程的m函数ode_example.m。 %MATLAB Program 2_4a %ode_example.m function sx=ode_example(t,x) % sx为状态列向量x的导数 sx(1,1)=-10*x(1)-35*x(2)-50*x(3)-24*x(4)+1; %sx应按状态方程编写 sx(2,1)=x(1); % sx是与x同维的列向量 s

21、x(3,1)=x(2); sx(4,1)=x(3); 将MATLAB Program 2_4a保存为名为ode_example.m的m文件，且将保存ode_example.m的路径设置成当前路径。 MATLAB Program 2_4b为调用求解函数求状态方程和输出响应数值解的程序，图2-4所示为状态方程和输出响应数值解曲线。 %MATLAB Program 2_4b x0=0;0;0;0; %设置初值条件t0=0;tf=6;tspan=t0,tf %设置积分起始和终止时间t,x=ode45(ode_example,tspan,x0);%调用求解函数求状态方程数值解y=24*x(:,4); %

22、据输出方程求输出响应的数值解subplot(1,2,1) plot(t,x(:,1), k,t,x(:,2),-.r,t,x(:,3),:b,t,x(:,4),-k) %绘状态方程数值解曲线gtext(x1)gtext(x2) gtext(x3)gtext(x4)subplot(1,2,2)plot(t,y,k) %绘输出响应数值解曲线gtext(y) 图2-4状态方程和输出响应数值解曲线 2状态方程的解析解 MATLAB Symbolic Math Toolbox提供的dsolve（）为求常微分方程解析解的指令，其调用格式为 S=dsolve（eqn1，eqn2，） 其中，eqn1,eqn2

23、,为输入参数，其为描述常微分方程、初始条件及独立变量的字符表达式。微分方程是必不可少的输入参数，多个方程或初始条件可在一个输入参数内联立输入，且以逗号分隔；若独立变量默认,则小写字母t为独立变量；若要定义其它独立变量，则由全部输入参数eqn1,eqn2,中的最后一个参数定义。 在输入参数中，描述常微分方程规定用字符D代表对独立变量的导数（因此，用户所定义的字符变量不应含有字符D），例如若t为独立变量，y为t的函数，则Dy代表dy/dt，D2y代表 ，D3y代表 ,；初始条件可采用形如y(a)=b或Dy(a)=b的字符（串）表达式给出。S为返回的存放符号微分方程解的构架数组。 3.基于状态空间模

24、型的时域响应分析 MATLAB Control System Toolbox 提供了连续系统单位阶跃响应计算函数step( )、单位脉冲响应计算函数impulse()、零输入响应计算函数initial()、任意输入（包括系统初始状态）响应计算函数lsim()，与此对应，dstep( ) 、 dimpulse()、dinitial()、dlsim()分别为计算离散系统单位阶跃响应、单位脉冲响应、零输入响应、任意输入（包括系统初始状态）响应的函数。 例如，若给定线性定常连续系统、离散系统分别如式（2-83）、式（2-84）所示，则 执行step(A，B，C，D)指令，可得一组单位阶跃响应曲线，每条

25、曲线对应于式（2-83）所示连续系统的输入/输出组合即在某一输入端单独施加单位阶跃信号作用下的某一输出响应，时间向量t的范围自动设定； 执行step(A，B，C，D，t)指令与执行step(A，B，C，D)指令一样，可得一组单位阶跃响应曲线，但时间向量t是由用户设定的； 执行step(A，B，C，D，iu)指令，可得式（2-83）所示连续系统从第iu个输入到所有输出的单位阶跃响应曲线； 执行y,x,t=step(A，B，C，D，iu)指令，可得式（2-83）所示连续系统从第iu个输入到所有输出y及状态x的单位阶跃响应数据，且返回函数自动设定的时间向量t，但不绘制响应曲线； 执行dinitial (G，H，C，D，x0)指令可得式（2-84）所示离散系统每一个输出的零输入响应曲线，取样点数由函数自动设定； 执行lsim（A，B，C，D，u，t，x0）指令可针对系统初始状态x0和输入u绘