-正弦定理测试题

1、同步分层能力测试卷（一）A 组一填空题 (本大题共 8 小题，每小题5 分，共 40 分 ) . 1在 ABC中， 若 a=5 ,b=15 ,A=300, 则边 c=。1. 25或5。【解读】由余弦定理，得a 2=c2+b2-2cb cosA, 代入整理得c2-35c+10=0, c=25 或5 。2.在 ABC中，已知 A=450， B=600 ， c =1 ，则 a=. 2.31。【解读】由A+B+C=180 ，得C=1800 -450 -600 =750 。由正弦定理，得2sina0=sin10，a=31。457523. 在 ABC中，已知 a=5,b=12,c=13.最大内角为度。3.

2、90. 【解读】 cosC=b2c2a2= 522122132=0,C=900. 2 bc5 124. 在 ABC中，已知 b=4,c=8,B=300. 则 a=。4. 23。【解读】（ 1）由正弦定理，得sin C=c sinB=8sin0 30=1。所以 C=900 ，b4A=1800 -900 -300 =600 。又由正弦定理，得 a=bsinA=4sin0 60=23 。sinBsin0 305. a,b,c 是 ABC 的三边，且B=1200,则 a 2+ac+c2-b2的值为 . 5.0.【解读】由余弦定理，得b 2=a2+c2-2ac cosB= a2+ac+c2. 6在 AB

3、C中，若 a=50，b=256 , A=45 则 B=. 6. 60 或 120 。【解读】由正弦定理得50025 6， sinB=3, 故 B=60 或 120 。sin 45sin B27. 在 ABC 中，有等式：asinA=bsinB ； asinB=bsinA ； acosB=bcosA；aAsinbcCsinBsin其中恒成立的等式序号为_. 7. 。【解读】不符合正弦定理；两边同除以sinAsinB即为正弦定理；取A=90 0, 便知等式不成立；正弦定理结合等比定理可得。8 在 A B C中 ，a , b , c 分 别 为 三 个 内 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边 ,

4、 设 向 量p a c b , q b , a c，若向量 a p / / q，则角 C 的大小为。8【解读】本题是向量与解三角形的综合问题，解决的关键是联想余弦定理求解。由 p / / q得32 2 2(a+c)(c-a)=b(b-a), 即 a 2+b 2-c 2=ab.由余弦定理得 cos C a b c 1 , C . 2 ab 2 3二解答题 (本大题共 4 小题，共 54 分 ) 9. 在 ABC中， a=3， c=3 3， A=30 0，则角 C及 b. 9. 解：由正弦定理得 30 3 3， sinC= 3 . C=120 或 C=60。sin 30 sin C 2当 C=12

5、0 时， B=180 0-120 0-30 0=30 0， b 2=3 2+（3 3）2-2 3 3 3cos120 =9，b=3. 同理当 C=60，b=6. 故 C=120 b=3。或 C=60 b=6 。10. 在 ABC 中， 已知： acosB=bcosA , 试判断 ABC 形状。求证：cos22 A cos22 B 12 12。a b a b10. 解:(1) 由正弦定理 , 得 a=2RsinA,b=2RsinB ，即 acosB =bcosA 。 sinA cosB=sinB cosA，即 sinA cosB- cosA sinB=0， sin(A-B)=0。 A-B=0 ,

6、A=B，ABC 为等腰三角形 . 2 2 2 2(2) 证明：左边 = 1 2sin2 A 1 2sin2 B= 12 12-2 （sin2 A sin2 B）。a b a b a b2 2由 正 弦 定 理 ， 得 sin2 A sin2 B， 故 c o s 22 c o s 22 2 1成 立 。 已 知 ：2 1a b a b a ba = b = c , 试判断 ABC 形状。sin A cos B cos C11. 在锐角三角形中，边 a、b 是方程 x 2 2 3 x+2=0 的两根，角 A、B 满足 2sin(A+B) 3 =0 ，求角 C的度数，边 c 的长度 .11. 解：

7、由 2sin(A+B) 3 =0 ，得 sin(A+B)=3 2 , 3 4 ABC为锐角三角形，A+B=120 , C=60 , 又 a、 b 是方程 x223 x+2=0 的两根，a+b=23 , ab=2, c2=a2+b2 2abcosC=(a+b)2 3ab=12 6=6, c=6 。12. 在 ABC 中，已知角A 、B、 C 对应的边分别为a、b、c，且 C=2A cos A=(1)求 cosC 和 cosB 的值；(2)当BABC27时，求 a、 b、 c 的值7 , cosC= 4387。212解： (1)cosC=cos2A=2cos2A-1=1 ； sinA= 8 cos

8、B=-cos(A+C)=sinAsinC-cosAcosC=9 。16ac24.（ 2）BABC27accosB2722由正弦定理得cAaAc2cosA3. sin 2sina2解得 a=4,c=6. 9 =25， b=5. 16再由余弦定理知b 2=a2+c2-2ac cosB= 42+62-48 B 组 一填空题 (本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 ) 1.在 ABC 中，若 BC=5 ， CA=7 ， AB=8 ，则 ABC 的最大角与最小角之和是。1.1200.【解读】由余弦定理知cosB=5282721, B=60 0,A+C=120 0.25 822.在 ABC 中

9、，已知 AB=2 ， C=50 ，当 B=时， BC的长取得最大值2.40 0.【解读】由正弦定理知20BC， BC=2sin A 。故当0sin 50A=900时， BC 最大。此时sin 50sinAB=400. 3. 在 ABC中， AB 5，BC7，AC8，则 AB BC =. 3.-5.【解读】 AB BC =- BA BC ，|2|BC2 |AC2 | )=5,BA BC =|BA BC| cosB=1 (| 2BA AB BC -5 4.不等边三角形ABC 中，角 A 、 B、C 的对边分别为a、 b、c，且最大边a 满足a2b2c2，则角 A的取值范围是。4（3，2）。【解读】

10、由余弦定理cosA=b2c2a20, 可知 A 是锐角。又a 是最大边，则A 是2 bc最大角，故 A （3，2）。5在 ABC中, 已知 2sinAcosB=sinC,那么 ABC一定是三角形。5. 等腰三角形。提示: 由 2sinAcosB=sinC, 知 2sinAcosB=sin(A+B), 2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB. cosAsinB-sinAcosB=0. sin(B-A)=0. B=A. 另解：本题也可以借助正余弦定理来处理，但是稍微繁一点。6.锐角三角形 ABC 中，若 C 2 B ，则AB 的范围是 . AC6. ( 2, 3) . 【 解 读

11、】 本 题 是 解 三 角 形 问 题 ， 解 决 的 关 键 是 利 用 正 弦 定 理 来 解 决 。AB sin C sin 2 B2cos B . 由锐角三角形 ABC 、C 2 B 两个条件可得AC sin B sin B2 3B , cos B , 2 2cos B 3.6 4 2 2二解答题 (本大题共 2 小题，共 36 分 )cosA b 47在 ABC中，已知边 c=10, 又知 cosB = a = 3，求 a、b 及 ABC的内切圆的半径。7. 解：由cosA cosB = b a，sinB sinA = b a , 可得 cosA cosB = sinB，变形为 sinAcosA=sinBcosB sin2A=sin2B, 又 a b, 2A= 2B, A+B= . ABC为直角三角形 . 2由 a 2+b 2=10 2 和 a = b 43，解得 a=6, b=8, 内切圆的半径为 r= a+b-c2 = 6+8-102 =2 8.锐角三角形 ABC 中，角 A 、B、 C 所对的边分别为 a、b、 c， m =(a-b,c), n =(a-c,a+b)，且 m 与 n 共线。（ I）求角 B 的大小；（ II）设y2sin2CcosA3 C,求 y 的最大值及此时C 的