高中立体几何证明平行的专题(基本方法)

1、高中立体几何证明平行的专题(基本方法)立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法： (1)通过“平移”。(2)利用三角形中位线的性质。(3)利用平行四边形的性质。(4)利用对应线段成比例。(5)利用面面平行，等等。(1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质1如图，四棱锥PABCD的底面是平行四边形，点E、F 分 别为棱AB、 PD的中点求证：AF平面PCE；（第1题图）分析：取PC的中点G，连EG.，FG，则易证AEGF是平行四边形2、如图，已知直角梯形ABCD中，ABCD，ABBC，AB1，BC2，CD1，过A作AECD，垂足为E，G、F分别为AD

2、、CE的中点，现将ADE沿AE折叠，使得DEEC.（）求证：BC面CDE； （）求证：FG面BCD；分析：取DB的中点H，连GH,HC则易证FGHC是平行四边形3、已知直三棱柱ABCA1B1C1中，D, E, F分别为AA1, CC1, AB的中点，M为BE的中点, ACBE. 求证：（）C1DBC； （）C1D平面B1FM. 分析：连EA，易证C1EAD是平行四边形，于是MF/EA4、如图所示, 四棱锥PABCD底面是直角梯形, CD=2AB, E为PC的中点, 证明: ;分析:：取PD的中点F，连EF,AF则易证ABEF是平行四边形(2) 利用三角形中位线的性质ABCDEFGM5、如图，已

3、知、分别是四面体的棱、的中点，求证：平面。分析：连MD交GF于H，易证EH是AMD的中位线6、如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，E是PC的中点。 求证： PA 平面BDE 7如图，三棱柱ABCA1B1C1中， D为AC的中点. 求证：AB1/面BDC1； 分析：连B1C交BC1于点E，易证ED是B1AC的中位线8、如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，分别为的中点（）证明：四边形是平行四边形；（）四点是否共面？为什么？（.3） 利用平行四边形的性质9正方体ABCDA1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点，求证： D1O/平面A1BC1;分析：连D1B1交A1C1于O

4、1点，易证四边形OBB1O1是平行四边形PEDCBA10、在四棱锥P-ABCD中，ABCD，AB=DC，.求证：AE平面PBC；分析：取PC的中点F，连EF则易证ABFE是平行四边形11、在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，ACB=，平面，EF，.=.（）若是线段的中点，求证：平面;（）若=,求二面角-的大小（I）证法一：因为EF/AB，FG/BC，EG/AC，所以由于AB=2EF，因此，BC=2FC，连接AF，由于FG/BC，在中，M是线段AD的中点，则AM/BC，且因此FG/AM且FG=AM，所以四边形AFGM为平行四边形，因此GM/FA。又平面ABFE，平面ABFE，所以G

5、M/平面AB。(4)利用对应线段成比例12、如图：S是平行四边形ABCD平面外一点，M、N分别是SA、BD上的点，且=， 求证：MN平面SDC分析：过M作ME/AD，过N作NF/AD利用相似比易证MNFE是平行四边形AFAEABACADAMANA13、如图正方形ABCD与ABEF交于AB，M，N分别为AC和BF上的点且AM=FN求证：MN平面BEC分析：过M作MG/AB，过N作NH/AB利用相似比易证MNHG是平行四边形(5)利用面面平行14、如图，三棱锥中，底面，PB=BC=CA，为的中点，为的中点，点在上，且.（1）求证：平面；（2）求证：平面；分析: 取AF的中点N，连CN、MN，易证平

6、面CMN/EFB直线、平面平行的判定及其性质 经典题（附详细解答）一、选择题1下列条件中,能判断两个平面平行的是( )A一个平面内的一条直线平行于另一个平面;B一个平面内的两条直线平行于另一个平面C一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 2E，F，G分别是四面体ABCD的棱BC，CD，DA的中点，则此四面体中与过E，F，G的截面平行的棱的条数是 A0 B1 C2 D3 3 直线及平面，使成立的条件是（ ） A B C D4若直线m不平行于平面，且m，则下列结论成立的是（ ）A内的所有直线与m异面 B内不存在与m平行的直线C内存在唯一的直线与m平行 D内

7、的直线与m都相交5下列命题中，假命题的个数是（ ） 一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交； 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行； 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行； 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行； a和b异面，则经过b存在唯一一个平面与平行A4 B3 C2D16已知空间四边形中，分别是的中点，则下列判断正确的是（ ） A B C D二、填空题7在四面体ABCD中，M，N分别是面ACD，BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是_.8如下图所示，四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得到AB/面MNP

8、的图形的序号的是 9正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD中点，则BD1和平面ACE位置关系是 三、解答题10.如图，正三棱柱的底面边长是2，侧棱长是 EQ r(3)，D是AC的中点.求证：平面.11.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，M，N，G分别是AA1，CD，CB，CC1的中点， 求证：（1）MN/B1D1 ；（2）AC1/平面EB1D1 ；（3）平面EB1D1/平面BDG. 参考答案一、选择题1D 【提示】当时，内有无数多条直线与交线平行，同时这些直线也与平面平行.故A，B，C均是错误的2C 【提示】棱AC，BD与平面EFG平行，共2条.3C【提示】则或异面；所

9、以A错误；则或异面或相交，所以B错误；则或异面，所以D错误；，则，这是公理4，所以C正确.4B 【提示】若直线m不平行于平面，且m，则直线m于平面相交，内不存在与m平行的直线.5B 【提示】错误.过平面外一点有且只有一个平面和这个平面平行，有无数多条直线与它平行.过直线外一点有无数个平面和这条直线平行平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行或其中一条在平面上.6. D 【提示】本题可利用空间中的平行关系，构造三角形的两边之和大于第三边.二、填空题7平面ABC，平面ABD【提示】连接AM并延长，交CD于E，连结BN并延长交CD于F，由重心性质可知，E、F重合为一点，且该点为CD的中点E，由=得M

10、NAB.因此，MN平面ABC且MN平面ABD.8. 【提示】对于，面MNP/面AB,故AB/面MNP.对于，MP/AB,故AB/面MNP,对于，过AB找一个平面与平面MNP相交，AB与交线显然不平行，故不能推证AB/面MNP.9平行【提示】连接BD交AC于O，连OE，OEB D，OEC平面ACE，B D平面ACE.三、解答题10.证明：设与相交于点P，连接PD，则P为中点，D为AC中点，PD/.又PD平面D，/平面D 11.证明：（1） M、N分别是CD、CB的中点，MN/BD又BB1DD1,四边形BB1D1D是平行四边形. 所以BD/B1D1.又MN/BD，从而MN/B1D1 （2）（法1）连A1C1，A1C1交B1D1与O点四边形A1B1C1D1为平行四边形，则O点是A1C1的中点E是AA1的中点，EO是AA1C1的中位线，EO/AC1.AC1面EB1D1 ，EO面EB1D1，所以AC1/面EB1D1 （法2）作BB1中点为H点，连接AH、C1H，E、H点为AA1、BB1中点，所以EHC1D1，则四边形EHC1D1是平行四边形，所以ED1/HC1又因为EAB1H，则四边形EAHB1是平行四边形，所以EB1/AH