初三数学复习资料 解析函数和几何

1、函数与图形一、知识要点概述(一)函数有关概念1、常量：在某一变化过程中保持不变的量2、变量：在某一变化过程中可取不同数值的量3、函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，那么y是x的函数，x叫自变量4、函数的表示方法5、画函数图象的步骤：列表；描点；连线，通常称为描点法6、函数自变量的取值范围(二)平面直角坐标中点的坐标特征3、平行于坐标轴的直线上的点(1)平行于x轴的直线上任意两点的纵坐标相同；(2)平行于y轴的直线上任意两点的横坐标相同4、对称点的坐标：(1)点P(a，b)关于x轴的对称点坐标是P1(a，b)即横坐标相同，纵坐标互为相反

2、数(2)点P(a，b)关于y轴的对称点坐标是P2(a，b)即横坐标互为相反数，纵坐标相同(3)点P(a，b)关于原点的对称点坐标是P3(a，b)即横、纵坐标都互为相反数5、各象限角平分线上的点(1)第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等(2)第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数6、点与原点、坐标轴的距离(1)点P(a，b)与原点的距离是(2)点P(a，b)与x轴的距离是|b|(即其纵坐标的绝对值)(3)点P(a，b)与y轴的距离是|a|(即其横坐标的绝对值)二、典型例题剖析例1、现有点M(1a，2b1)在第二象限，那么点N(a1，12b)在第_象限分析：此题主要考查各象限内点的

3、坐标符号特征由于点M在第二象限，所以N点在第三象限例2、点A(1，m)在函数y=2x图象上，那么点A关于y轴的对称点的坐标是(_，_)分析：把A(1，m)代入函数式y=2x中，求m=2，那么A(1，2)，再根据对称点的符号规律求A点的对称点坐标解：(1，2)例3、两圆的圆心都在x轴上，A、B为两圆的交点，假设点A的坐标为(1，1)，那么点B的坐标为A(1，1)B(1，1)C(1，1)D无法求出分析：由于圆是轴对称图形，故两圆的两个交点A，B关于x轴对称解：选A例6、以下各组的两个函数是同一函数吗？为什么？(1)y=x和(2)y=x2和S=r2(其中x0，r0)(3)y=x2和分析：判断两个函数

4、是否为同一函数：要判断两个函数的自变量取值范围是否相同；要判断自变量与函数的对应规律是否完全相同解：(1)不是同一函数，因为它们的自变量取值范围不同，前者是全体实数，后者是x0的实数；(2)是同一函数，因为它们的自变量的取值范围相同，而且自变量与函数的对应规律完全相同；(3)不是同一函数，因为它们的自变量取值范围不同，前者是全体实数，后者是x2例7、在函数中自变量x的取值范围是_分析：求函数式中自变量的取值范围的一般思路是：函数解析式中的分母不能为0；偶次根式的被开方数应为非负数；零指幂和负整指数幂的底数不能为0此题中，自变量x应满足解：x1且x2一次函数与反比例函数的图形和性质一、知识要点概

5、述一一次函数1、一次函数的定义：形如y=kxb(k，b为常数且k0)的函数叫一次函数2、正比例函数的定义：y=kx(k0)叫正比例函数正比例函数是一次函数的特例3、一次函数的图象是一条经过及(0，b)的一条直线4、一次函数的性质：当k0时y随x的增大而增大 当k0时y随x的增大而减小5、一次函数y=kxb的图象与k、b的符号关系表k、b的符号草图经过的象限k0，b0直线经过第一、二、三象限k0，b0直线经过第一、三、四象限k0，b0直线经过第一、二、四象限k0，b0直线经过第二、三、四象限二反比例函数1、反比例函数定义：形如叫做反比例函数自变量的取值范围是x02、反比例函数的图象是双曲线3、反

6、比例函数的性质(1)当k0时，图象的两分支分别在第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小(2)当k0时，图象的两分支分别在第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大三根本规律1、确定一次函数的解析式，通常采用待定系数法，由题目条件得到关于k，b的二元一次方程组，再求出k，b2、对于直线l1：y=k1xb1，与l2；y=k2xb2 当l1l2时，k1=k2且b1b2，反之当k1=k2且b1b2时，l1l23、画一次函数的图象时通常只需描出图象上任两点的坐标，再过这两点画一条直线，一般画出直线y=kxb与两坐标轴的交点和(0，b)，正比例函数图象过(0，0)和点(1，k)4、反比例函数的图象

7、是断开的，产生的原因是自变量的取值范围是x0，这两条曲线可以无限地接近x轴、y轴，但永远不会与x轴、y轴相交双曲线是关于原点成中心对称的，也是轴对称的5、过双曲线上任一点向x轴或y轴引垂线，并连接该点与原点，得到直角三角形，这个直角三角形的面积与点的位置无关，是一个定值为这一结论常常用到，应特别记住二、典型例题剖析例1、(1)假设函数是一次函数，那么m=_ (2)m是整数且一次函数y=(m4)xm2的图象不经过第二象限，那么m=_点评：(1)一次函数y=kxb中k0这一条件不能无视(2)直线y=kxb不过第二象限的条件要特别注意，此时直线经过第一、三象限是正比例函数例2、一直线经过点A(1，1

8、)和B(1，5)求直线AB的解析式分析：直线的解析式可设为y=kxb，因为k，b待定，由直线过A(1，1)和B(1，5)可以确定直线AB的解析式为y=3x2点评：求函数的解析式可采用待定系数法，这样把求函数的关系转化为解二元一次方程组的问题来解决，用待定系数法确定一次函数解析式的一般步骤为：(1)设函数的解析式为y=kxb(k0)(2)将点的坐标代入函数的解析式，得出方程组(3)求k，b的值，得函数的解析式例3、关于x的函数y=k(x1)和它们在同一坐标系的图象大致是ABCD 解：选B按比例系数的性质进行分类讨论当k0时双曲线在第二、四象限，而直线y=k(x1)在第一、三、四象限，故只有选B3

9、例8、反比例函数的图象上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且当x10 x2时有y1y2，那么m的取值范围是解：选C由x10 x2时有y1y2知12m0，例9、某批发商欲将一批海产品由A地运往B地，汽车货运公司和铁路货运公司均开办海产品运输业务，运输路程为120千米，汽车和火车的速度分别为60千米/时和100千米/时，两货运公司的收费工程及收费标准如下表所示：运输工具运输费单价(元/吨千克)冷藏费单价(元/吨小时)过路费(元)装卸及管理费(元)汽车252000火车501600注：“元/吨千米表示每吨货物每千米运费；“元/吨小时表示每吨货物每小时冷藏费(1)设该批发商待运的海产品有x(吨)，

10、汽车货运公司和铁路货运公司所要收取的费用分别为y1(元)和y2(元)，试求y1和y2与x的函数关系式(2)假设该批发商待运的海产品不少于30吨，为节省运费，他应选哪个货运公司承当运输业务？分析：这是一道图表信息题，决策题型，读懂题意，列出两个函数关系式是关键解：(1)根据题意有(2)当y1=y2即222x1600=250 x200，解得：x=50；当y1y2即250 x200222x1600，解得：x50；当y1y2即250 x200222x1600，解得x50.当所运产品刚好50吨时，选汽车公司或铁路货运公司中的任意一家均可；当所运产品不少于30吨且缺乏50吨时，选择汽运公司，当所运海产品多

11、于50吨时，应选择铁路货运公司饿二次函数的图形和性质知识要点概述1、二次函数的定义：如果y=ax2bxc(a、b、c为常数，a0)，那么y叫x的二次函数2、二次函数的图象：二次函数y=ax2bxc的图象是一条抛物线3、二次函数的解析式有以下三种形式：(1)一般式：y=ax2bxc(a0)；(2)顶点式：y=a(xh)2k(a0)；(3)交点式：y=a(xx1)(xx2) (a0)，这里x1，x2是抛物线与x轴两个交点的横坐标确定二次函数的解析式一般要三个独立条件，灵活地选用不同方法求出二次函数的解析式是解与二次函数相关问题的关键4、抛物线y=ax2bxc中系数a、b、c的几何意义抛物线y=ax

12、2bxc的对称轴是，顶点坐标是，其中a的符号决定抛物线的开口方向a0，抛物线开口向上，a0，开口向上；a0时，函数在x=h处取最小值y=k；当a0时，函数在x=h处取最大值y=k6、抛物线y=a(xh)2k与y=ax2的联系与区别抛物线y=a(xh)2k与y=ax2的形状相同，位置不同前者是后者通过“平移而得到要想弄清抛物线的平移情况，首先将解析式化为顶点式7、抛物线y=ax2bxc与x轴的两个交点为A、B，且方程ax2bxc=0的两根为x1，x2，那么有A(x1，0)，B(x2，0)典型剖析例1、二次函数y=ax2bxc的图象如下图以下结论：abc0；abc0；b=2a其中正确结论的个数是A

13、4B3C2D1解：选A令x=1及由图象知abc0，正确；由对称轴知，正确；由知a、b同号且抛物线与y轴的交点在x轴上方，即c0，故正确所以选A例3、抛物线y=x2(2m4)xm210与x轴交于A、B两点，C是抛物线的顶点(1)用配方法求顶点C的坐标用含m的代数式表示；(2)假设AB的长为，求抛物线的解析式解：(1)y=x2(2m4)xm210=x(m2) 24m14，顶点C的坐标为(m2，4m14)(2)A、B是抛物线y=x2(2m4)xm210与x轴的交点且|AB|=， 化简整理得：16m=48，m=3当m=3时，抛物线y=x22x1与x轴有交点且AB=，符合题意故所求抛物线的解析式为y=x

14、22x1例5、某二次函数，当x=1时有最大值6，且其图象经过点2，8求此二次函数的解析式解：二次函数当x=1时有最大值6，抛物线的顶点为1，6，故设所求的二次函数解析式为y=a(x1)26由题意将点2，8的坐标代入上式得：a(21)26=8，a=2，二次函数的解析式为y=2(x1)26，即y=2x24x8例6、二次函数y=ax2bxc的图象的一局部如下图它的顶点M在第二象限，且经过点A1，0和点B0，1(1)请判断实数a的取值范围，并说明理由；解：1由图象可知：a0，abc0，a(a1)10，a1，实数a的取值范围是1a0(2)此时函数为y=ax2(a1)x1,与x轴两交点A、C之间的距离为例

15、7、根据以下条件，求抛物线的解析式(1)经过点0，1，1，2，5；(2)经过点3，2，顶点是2，3；(3)与x轴两交点1，0和2，0且过点3，6分析：求解析式应用待定系数法，根据不同的条件，选用不同形式求二次函数的解析式，可使解题简捷但应注意，最后的函数式均应化为一般形式y=ax2bxc解：设y=ax2bxc，把0，1，1，2，5代入得方程组解析式为y=x1设y=a(x2)23，把3，2代入得2=a(32)23，解得a=1设y=a(x1)(x2)，把3，6代入得6=a(31)(32)，解得解析式为y=(x1)(x2)，即函数的应用二、典型例题剖析例1、抛物线与x轴交于A(x1，0)，B(x2，

16、0)(x1x2)两点与y轴交于C点，O为坐标原点(1)求m的取值范围；(2)假设且OAOB=3OC，求抛物线的解析式分析：一元二次方程与二次函数的关系是：抛物线y=ax2bxc(a0)与x轴交点的横坐标x1，x2是一元二次方程ax2bxc=0(a0)的两根，从而可利用根的判别式及根与系数的关系来解二次函数与x轴相交的有关问题另外OA=|x1|，OB=|x2|表达了数形结合解：(1)抛物线与x有两个不同的交点， 方程有两个不相等的实数根， (2)A(x1，0)，B(x2，0)是抛物线与x轴的两个交点， x1，x2是方程的两个不等实根， x1x2=24m x1x2=8(18m2m)，x1x20 x

17、1x20 x1与x2同负C点的坐标为C(0，18m2m)，OC=|18m2m|=18m2m又OAOB=3OCx1x2=3(18m2m)即(24m)=3(18m2m)点评：抛物线与x轴有两个交点，就可以转化为一元二次方程的0，要根据x1x2与x1x2的符号来确定x1与x2的符号，从而得|x1|与|x2|去绝对值后的值求出m有两个值后，要及时地检验，舍去不合题意的m值，这些都是在解函数与方程有关综合题时应注意的地方，也是易错点例2、某厂生产某种零件，每个零件的本钱为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元

18、但实际出厂单价不能低于51元(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P与x的函数表达式(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000元，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价本钱)解：(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x个，那么因此当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好为51元(2)当0 x100时，P=60当100 x550时，当x550时，P=51(3)设销售商一次订购量为x个时，工厂获利为W元当x=550时，W=6000 ；

19、当x=1000时，W=11000因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获利6000元，假设订购1000个，利润是11000元例5、?中华人民共和国个人所得税?规定，公民月工资、薪金所得不超过800元的局部不必纳税，超过800元的局部为全月应纳税所得额，此项税款按下表计算：全月应纳税所得额税率不超过500元的局部5%超过500元2000元的局部10%超过2000元5000元的局部15%(纳税款=应纳税所得额对应的税率)按此规定解答以下问题：(1)设甲的月工资、薪金所得为x元(1300 x2800)需缴交的所得税款为y元，试写出y与x的函数关系式(2)假设乙一月份应交所得税款95元，那么他一月

20、份的工资、薪金是多少元？分析：此题是用列表法表示的分段函数型应用题，解题的关键是理解税率表，要将超800元局部分段，每段对应不同的税率，应交税款是每段税款之和解：(1)因为甲的月工资、薪金所得x元，而1300 x2800500 x8002000，所交税款由两局部组成500元按税率5%交税，另一局部(x800500)元，按10%交税，故y与x之间的函数关系式为y=5005%(x800500)10%=(x1300)10%25(2)根据第(1)小题中，当收入在1300元至2800元之间时，纳税在5005%=25元至5005%(2800800500)10%=175(元)之间，由于乙职工纳税95元，知他

21、的工资、薪金肯定在1300元至2800元之间，适用(1)的函数关系式：95=(x1300)10%25解得x=2000统计与概率一、知识要点概述一数据的描述与分析1、根本知识(1)几种常见的统计图：折线图条形图扇形图直方图(2)掌握几种常见统计图的优越性(3)总体：考查对象的全体个体：总体中每一个被考察的对象样本：从总体中抽取一局部个体组成总体的一个样本样本容量：样本中个体的数目2、根本规律数据的描述方式主要有统计图与统计表两种形式，其中统计图有折线图、条形图、扇形图、直方图四种形式，它们都有各自的优势，折线图可以反映一组数据的变化趋势，条形图易于比拟数据之间的差异，扇形图易于显示每组数据相对于

22、总数大小，直方图易于显示各组之间频数的差异，在描述数据时要根据具体情况来选择适宜的统计图表，在分析统计图时要考虑到统计图的特征与实际需要二数据的特征1、平均数(1)如果有n个数x1，x2，xn，那么叫这n个数的平均数(2)求平均数的常用方法设所给出的n个数据x1，x2，x3，xn1，xn，求它们的平均数根本方法：新数据法：当x1，x2，xn1，xn数据较大时，选择一个与这些数比拟接近的数a，令先计算这组新数据x1，x2，xn的平均数加权法：假设x1出现f1次，x2出现x2次，xk出现fk次，且f1f2fk=n，那么新数据加权法：新数据同，假设x1出现f1次，x2出现f2次，出现fk次，且f1f

23、2fk=n2、中位数、众数、极差(1)中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在正中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫这组数据的中位数(2)众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫这组数据的众数(3)极差：一组数据的最大数与最小数据之差3、方差、标准差(1)方差：样本中各数据与样本平均数的差的平方的平均数叫样本方差(2)标准差：样本方差的算术平方根叫做样本标准差(3)求方差的方法设n个数据x1，x2，xn的平均数为，那么其方差当数据比拟大时，仿前面选择一个适当的常数a，得一组新数据，那么方差(4)样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或标准差越大，样本数据波动越大

24、4、根本规律(1)反映一组数据的集中程度的统计量主要有平均数、中位数、众数这三种；而反映一组数据的离散程度的统计量有极差、方差、标准差三种，在对一组数据进行分析时，要考虑到分析的目的，再来选择适宜的统计量来作出合理的分析，为正确的决策提供依据(2)统计在日常生活中得到最广泛的应用，在利用统计的结果进行估计总体或利用统计的结果进行决策时要注意决策的目的和决策的实际意义三概率(1)事件按发生可能性的大小分为不可能事件、必然事件和随机事件(2)事件发生的可能性的大小可以用概率来衡量(3)获取某一事件发生的概率的大小的方法有实验法和分析法(4)概率的计算法为列表法和画树状图法；在计算概率时，我们关注的

25、是所有时机均等的结果和我们所关注的结果，求出后者与前者的比值，从而求出某一事件的概率；通过用替代物模拟实验获取概率，应注意实验次数对概率的准确性的影响，实验次数越多，得到的实验数据与实际就越接近二、典型例题剖析例1、为了了解一批电视机的寿命，从中抽取100台电视机进行试验，这个问题中的样本是A这批电视机的寿命B抽取的100台电视机C100D抽取的100台电视机的寿命答案：D例2、某省有7万名学生参加毕业会考，要想了解这7万名学生的数学成绩，从中抽取了1000名学生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的选项是A这1000名学生是总体的一个样本B每位考生的数学成绩是个体C7万名考生是总体D1000

26、名考生是样本容量分析：总体是7万名考生的数学成绩的全体，故C项错误，样本应是1000名考生的数学成绩，所以A项错误，而样本容量只是个数据，不带单位，那么D项也错答案：B例4、某中学为了了解全校的耗电情况，抽查了10天中全校每天的耗电量数据如下表(单位：度)度数9093102113114120天数112312(1)写出上表中数据的众数和平均数(2)由上题获得的数据，估计该校某月的耗电量(按30天计)(3)假设当地每度电的定价是0.5元，写出该校应付电费y(元)与天数x(x取正整数，单位：天)之间的函数关系式解：(1)显然113出现了3次，是出现次数最多的数，故113是众数平均数为(2)根据平均数

27、估计某月共耗电量为：10830=3240(度)(3)y=0.5180 x即y=54x(x为正整数)例5、某校从甲、乙两名优秀选手中选1名选手参加全市中学生田径百米比赛该校预先对这两名选手测试了8次，测试成绩如下表：12345678选手甲的成绩(秒)13选手乙的成绩(秒)1213根据测试成绩，请你运用所学过的统计知识做出判断，派哪一位选手参加比赛更好？为什么？分析：方差的大小能反映一组数据波动大小，此题应用样本方差的大小来衡量甲、乙两名优秀选手百米比赛成绩的稳定性解：例6、一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是那么另一组数据3x12，3x22，3x32，3x42，3x52的平均

28、数和方差分别是分析：如果一组数据比原数据分别大(或小)相同的数，那么这两组数据的方差相同；如果一组新数据是原数据的n倍，那么新数据方差是原数据方差的n2倍解：因为此题中新数据比原数据的3倍小2，那么其平均数为322=4，方差为应选D例7、为了了解初三毕业生的体能情况，某校抽取了一局部初三毕业生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小组的小长方形的面积之比是：24171593第二小组的频数为12(1)填空：第二小组的频率是_，在这个问题中，样本容量是_(2)假设次数在110以上(含110次)为达标，试估计该校初三毕业生的达标率约是多少？(3)在这次测

29、试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由解：(1)第二小组的频率为样本容量频数频率=120.08=150(2)因为次数在110以上(含110)为达标，故除第一、二两小组不达标以外，其余几个小组均达标，所以达标率为(3)依次可求得第一、二、三、四小组频数依次为6，12，51，45，前三组频数之和为69，前四组频数之和为114，所以中位数落在第四小组内三角形一、知识要点概述1、定义：由不在同一直线上的三条线段顺次首尾相接而成的封闭图形叫三角形2、三角形的分类1按边分2按角分3、三角形的一些重要性质1边与边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；2角与角的关系：三角

30、形内角之和等于180，一个外角大于任何一个和它不相邻的内角且等于和它不相邻的两内角之和；4、等腰三角形的性质1等腰三角形的两个底角相等，反之，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等等边对等角、等角对等边；2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合简称：等腰三角形三线合一5、等边三角形的性质等边三角形的三边都相等，三个角都相等，每一个角都等于606、等边三角形的判定1三条边都相等的三角形是等边三角形；2三个角都相等的三角形是等边三角形；3有一个角是60的等腰三角形是等边三角形7、直角三角形的性质1直角三角形的两锐角互余；2直角三角形中30角所对的直角边等于斜边长的

31、一半；3直角三角形中，斜边上的中线等于斜边长的一半；4直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方8、直角三角形的判定1有一个角是直角的三角形是直角三角形；2有一边的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形；3假设一个三角形中，有两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对角是直角9、全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形10、全等三角形的性质1全等三角形的对应角相等、对应线段边、高、中线、角平分线相等；2全等三角形的周长相等、面积相等11、全等三角形的判定1有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等简称“SAS；2有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等简称“ASA；3有两角

32、和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等简称“AAS；4有三边对应相等的两个三角形全等简称“SSS；5有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等简称“HL二、典例例题剖析例1、假设一个三角形的三条边长均满足方程x26x8=0，那么此三角形的周长为_解：解方程x26x8=0得x1=2，x2=4由题设的条件，三角形的三边长无外乎四种组合：2，2，2；4，4，4；2，2，4；2，4，4其中22=4，说明以2，2，4为边不能构成三角形，其他三组均符合三角形的形成条件因此，所求三角形的周长为6或10或12例2、等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成9cm和15cm两局部求这个三角形腰长和底边长解：

33、如图，可设AB=AC=x，底边BC=y又BD是中线，那么AD=DC=因为BD将ABC的周长分成ABAD和BCCD两局部为9和15，由于未指明哪一局部是9，哪一局部是15，因此，有如下两种情况：1解得x=6，y=12，不满足三角形的三边关系，舍去2解得x=10，y=4，满足三角形的三边关系故这个三角形腰长为10cm，底边长是4cm点评：方程思想是一种很重要的数学思想，解题时要注意重视，在解答本例时要注意两点：一是要注意分类讨论；二是求出解之后要检验即所有解是否满足三角形三边之间的关系定理例5、如图，在ABC中，AC=BC，ACB=90，D是AC上一点，AEBD交BD延长线于点E，且AE=求证：B

34、D是ABC的平分线分析：AE边上的高与ABC的平分线重合，联想到等腰三角形通过作辅助线构造全等三角形、等腰三角形 证明：延长BC、AE交于F点ACBC于点C，AEBD于E，AED=90，ACF=ACB=90，13=90，24=90又34，1=2又AC=CB，ACFBCDASA，AF=BD=2AE，那么AE=EF又AEB=BEF=90，BE=BE，ABEFBESAS，ABE=FBE，即BD是ABC的平分线例6、如图，在ABC中，ABC=60，AD、CE分别平分BAC、ACB求证：AC=AECD证明：在AC上截取AF=AE，连接OF点O是BAC与ACB的平分线AD与CE的交点，DOC=90ABC=

35、120，得DOC=AOE=AOF=60，那么FOC=60，故易证FOCDOCASA，DC=FC，故AC=AFFC=AEDC多边形与平行四边形一、知识要点概述1、多边形的定义：在平面内由n(n3)条线段首尾顺次连接所构成的图形叫n边形2、n边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n2)1803、n边形的外角和定理：任意一个n边形的外角和都等于3604、n边形的对角线：n边形不相邻两顶点的连线段叫n边形的对角线从n边形一个顶点出发可作(n3)条对角线，n边形一共有条对角线5、平行四边形的定义、判定和性质名称性质判定平行四边形1、两组对边分别平行且相等1、两组对边分别平行的四边形(定义)2、两组对角分

36、别相等2、两组对边分别相等的四边形3、两条对角线互相平分3、一组对边平行且相等的四边形4、S=ab(a、b分别表示底和这一底上的高)4、两组对角分别相等的四边形5、是中心对称图形(对称中心是对角线交点)5、两条对角线互相平分的四边形二、典型例题剖析例1、一个多边形的内角和是720，这个多边形是A四边形B五边形C六边形D八边形解：选C由(n2)180=720，解得n=6例2、某多边形的内角和与外角和之比为92，求这个多边形的边数分析：根据多边形内角和公式与题设条件列方程来计算多边形的边数或角的大小是此类问题的常用方法解：设这个多边形的边数为n，那么可列方程(n2)180360=92，即(n2)2

37、=92，解得n=11故这个多边形的边数为11例3、凸多边形的n个内角与某一个外角的总和为1450，求n及某一外角的度数分析：涉及多边形的外角问题，一是注意多边形的每一个外角与它相邻的内角是邻外角；二是注意任意多边形的外角之和恒为360解：1450=818010，由n2=8得n=10故这多边形的边数是10，某一外角的度数是10例4、一个k边形有k条对角线，求此多边形的内角和解：由题意得k(k3)=k，k(k5)=0k0，k=5故其内角和为(52)180=540例5、如图，在ABCD中，E、F分别为BC、AD上的点，且BE=DF求证：AEC=AFC分析：常可根据平行四边形的对角相等、邻角互补来证角

38、的相等或互补证明：四边形ABCD是，ADBC又BE=DF，AFCE，四边形AECF是，AEC=AFC例6、如图，在ABCD中，延长AD至F，使DF=AD，连BF交CD于E求证：点E平分CD与BF分析：用平行四边形对角线互相平分的性质证线段相等或线段的倍分问题是十分简便的常用方法解：连结BD、CF由ABCD得ADBC又AD=DF，A、D、F共线，DFBC，四边形BCFD是又E为BF与CD的交点，E平分BF与CD例7、如图，在ABC中，C=90，CF是斜边上的高，AT平分CAB交CF于D，过D作DE/AB交BC于E求证：CT=BE分析：CT与BE无法直接比拟，作DG/CB构造出平行四边形，从而线段

39、BE进行转化，利用平行四边形对线段和角进行转化是解题中的一种重要的根本技能，应注意掌握证明：过D作DG/CB交AB于GDE/AB，四边形DEBG是，DG=BE，3=B在RtABC与RtAFC中，易知4=B，3=4又1=2，AD=AD，ADCADG，DG=CD又在RtACT与RtADF中，由1=2，5=7又6=7，5=6，CD=CT，BE=CT例8、在ABCD中，AE=CF，BM=DN求证：四边形EMFN为平行四边形证明：证法1：由ABCD得ADBC，由AD/BC得1=2，由AD=BC及AE=CF得ED=BF又BM=DN，EDNFBMSAS，EN=FM，3=4，故5=6等角的补角相等，EN/FM

40、由ENFM知四边形EMFN是平行四边形证法2：同证法1得EDNFBM，EN=MF，1=2又BM=DN，BMMN=DNMN，即DM=BN由1知ED=BF，DEMBFNSAS，EM=FN，四边形ENFM是例9、如图，BD是ABCD的对角线，AEBD于E，CFBD于F求证：四边形AECF为平行四边形证法1：四边形ABCD为平行四边形，ABCD，1=2，RtABERtCDF，AE=CF又AEBD于E，CFBD于F，AE/CF，四边形AECF为平行四边形证法2：连结AC交BD于点O四边形ABCD为，AO=CO又AOE=COF，AEO=CFO=90，AEOCFOASA，OE=OF，四边形AECF为说明：运

41、用四边形对角线互相平分来判定其为平行四边形也是一种常用的思路平行四边形的四个判定定理，再加上用定义进行判定，这五种方法应根据题设条件灵活运用特殊的平行四边形一、知识要点概述1、矩形、菱形、正方形的定义、判定及性质名称判定性质矩形1、有一个角是直角的平行四边形(定义)2、有三个角是直角的四边形3、对角线相等的平行四边形除具有平行四边形的性质外，还具有以下性质1、四个角都是直角2、对角线相等3、S=ab(a，b表示长和宽)4、既是中心对称图形，又是轴对称图形推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边一半菱形1、有一组邻边相等的平行四边形(定义)2、四边都相等的四边形3、对角线互相垂直的平行四边形除具有平

42、行四边形的性质外还具有以下性质1、四条边都相等2、对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角3、(l1，l2表示两对角线的长)4、既是中心对称图形，又是轴对称图形正方形1、有一个角是直角，一组邻边相等的平行四边形(定义)2、一组邻边相等的矩形3、一个角是直角的菱形4、对角线相等且垂直的平行四边形除具有平行四边形、矩形、菱形的性质外，还具有以下性质：1、对角线与边夹角为452、S=a2(a表示边长)2、梯形、等腰梯形、直角梯形的定义、判定及性质名称判定性质一般梯形一组对边平行另一组对边不平行的四边形(定义)1、一组对边平行，另一组对边不平行2、或S=lh(a，b，h分别表示上底、下底和高，l表示中

43、位线)等腰梯形1、两腰相等的梯形(定义)2、同一底上的两个角相等的梯形3、两条对角线相等的梯形除具有一般梯形的性质外，还有以下性质：1、两腰相等，同一底上的两个角相等2、对角互补，对角线相等3、是轴对称图形直角梯形有一个角是直角的梯形(定义)除一般梯形的性质外，还有性质：一底角是直角3、三角形、梯形的中位线定理：三角形(或梯形)的中位线平行于底边(或两底)，并且等于底边(或两底和)的一半4、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等推论1：过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边推论2：过梯形一腰中点且平行于两底的直线必平分另一腰二、

44、典型例题剖析例2、以下命题：一组对边平行且相等的四边形是梯形；一组对边平行且不相等的四边形是梯形；一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形；一条直线与矩形的一组对边相交，必分矩形为两个直角梯形其中真命题的序号是_分析：可采用反例法，即举的例子符合题设但不符合结论，从而说明原命题是假命题可举反例：平行四边形；可证得另一组对边不平行，故符合定义；可举反例：矩形；直线与矩形垂直相交，那么得到两个矩形答案：例3、：如图ABCD，AEDC，AE=12，BD=15，AC=20，那么梯形的面积是A130B140C150D160分析：要求梯形的面积，由于，而AE=12，所以关键是求(ABDC)的长，注意BD

45、和AC，这样我们可过B作对角线AC的平行线交DC的延长线于F，那么可证AB=CF，于是转化求(DCCF)的长，又过B作BHDC于H，那么BH=AE=12，现在只要求DH和HF即可在RtBDH中，利用勾股定理得在RtBHF中，故DF=DHHF=DCAB=916=25这样梯形的面积为答案：选C例4、如图，梯形ABCD中，ADBC，中位线EF分别与BD、AC交于点G，H，假设AD=6，BC=10，那么GH=_分析：此题主要考查三角形、梯形的中位线定理因为EF是中位线，EG、HF分别是ABD、ACD的中位线，故GH=EFEGHF=833=2答案：2例5、如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在

46、C处，BC交AD于E，AD=8，AB=4，求BED的面积解：由BCD沿直线BD折叠与BCD重合，1=2，又ADBC，2=31=3，故BED是等腰三角形BE=ED设ED=x，那么AE=ADED=8x在RtABE中，AB2AE2=BE2，42(8x)2=x2解之得x=5故例6、如图，M、N分别是ABCD的对边AD、BC的中点，且AD=2AB求证：PMQN为矩形证明：ABCD是平行四边形，ADBC又M、N分别是AD、BC的中点，MDBN，BNDM为平行四边形BMND，同理ANMC，PMQN为平行四边形连结MN，AMBN，ABNM为平行四边形又AD=2AB，M为AD中点，AM=ABABNM为菱形，AN

47、BMPMQN为矩形说明：本例是一道平行四边形、菱形、矩形性质定理和判定定理反复运用的较好的综合题，同学们认真体会其证题思路和证明方法例8、在梯形ABCD中，ADBC且AB=ADBC，M为DC的中点，求证：AMBM分析：由题设AB=ADBC，应将两底集中证明：延长AM交BC延长线于N，M是DC的中点，ADBC，那么ADMNCMAD=CN，AM=MN故AB=ADBC=CNBC=BN由等腰三角形“三线合一知BMAM说明：根据证题的需要，集中梯形的两底是常用辅助线之一，本例也可以先延长BC到N使BN=AB，再证A、M、N共线而得 例9、如图，在等腰梯形ABCD中ADBC，AB=DC，点P为BC边上的一

48、点，PEAB，PFCD，BGCD，垂足分别为E、F、G，求证：PEPF=BG证明：过P点作PHBG于点H，BGCD，PFCD，PHBG，四边形PHGF为矩形PF=HG，PHCD，BPH=C又在等腰梯形ABCD中AB=DC，PBE=C，PBE=BPH故RtBPHRtPBE，BH=PEPEPF=BHHG=BG说明：在梯形的有关问题中常是化归为特殊的平行四边形及三角形来处理相似三角形与解直角三角形一、知识要点概述1、比例线段的有关概念1前项、后项：两条线段的比ab中，a叫比的前项，b叫比的后项2比例线段：四条线段中，如果两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段，简称比例线段3外项、内项、第四

49、比例项：如果ab=cd，那么a、d叫比例外项，b、c叫比例内项，d叫做a、b、c的第四比例项4比例中项：假设ab=bc，那么b叫a、c的比例中项2、比例的性质1比例的根本性质：如果ab=cd，那么ad=bc，其逆命题也成立 推论：如果ab=bc，那么b2=ac，其逆命题也成立2合比性质：3等比性质：3、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两直线，所得的对应线段成比例推论1：平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例推论1的逆定理：如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线，所得到的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边推论2：平行于三角形的一边且和其他两边或两

50、边的延长线相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例4、相似三角形的有关概念1相似三角形：对应角相等、对应边成比例的两个三角形是相似三角形2相似比：相似三角形对应边的比5、三角形相似的判定1两角对应相等，两三角形相似2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似3三边对应成比例，两个三角形相似4如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似5直角三角形斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似6平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线所得的三角形与原三角形相似5、相似三角形的性质1相似三角形对应角相等，对应边成比

51、例2相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比3相似三角形周长的比等于相似比4相似三角形的面积比等于相似比的平方6、锐角三角函数在RtABC中，C=90，A、B、C的对边分别为a、b、c，那么，且sinA，cosA在01内取值7、特殊角的三角函数值8、互为余角的三角函数关系锐角与它的余角90有如下关系：sin(90)=cos，cos(90)=sin，tan(90)=cot，cot(90)=tan9、同角三角函数间的关系1平方关系：sin2cos2=1；(2)倒数关系：tancot=1；(3)商数关系：10、锐角三角函数的增减性当角在090间变化时，角的正弦、正切值随角的增

52、大或减小而增大或减小；角的余弦、余切值随的增大或减小而减小或增大，正弦值、余弦值均介于01之间，即0sin1，0cos111、在ABC中，C=90，A、B、C的对边分别为a、b、c，那么有以下关系：1三边的关系：a2b2=c2；2角的关系：AB=90；3边角的关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=cotB=，cotA=tanB=；4面积关系：；5外接圆半径：，内切圆半径：12、应用解直角三角形知识解题的步骤1审题，弄清仰角、俯角、坡角等概念及题意2画图并构造要求解的直角三角形，对于非直角三角形添加适当的辅助线分割成规那么的几何图形3选择适宜的边角关系计算，确定结果二、典型

53、例题剖析例1、如图，在ABC中，AB=24，AC=18，D在AC上，AD=12，在AB上取一点E，使得ADE与原三角形相似，那么AE的长为A16B14C16或14D16或9分析：要使两个三角形相似，但未指明对应关系，应进行分类讨论解：1如图，过D作DE/BC交AB于E或ADE=C，那么ADEACB，此时有，AE=162如图，作ADE=B，DE交AB于E，那么ADEABC，此时有AE=9综上所述AE=16或9答案：D例3、如图，D、E分别是ABC的AB、AC边上一点，DE/BC，且SADES梯形DBCE=13，那么ADAB=ABCD分析：由SADES梯形DBCE=13知SADESABC=14由D

54、E/BC得SADESABC由相似三角形的面积比等于相似比的平方得，ADAB=，应选C答案：C例4、：如图，在ABC中，AD是角平分线，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F求证：FD2=FBFC分析：要证：FD2=FBFC，可证：由于无法找到FDB与FCD，所以应将FD代换，根据EF是AD的垂直平分线的条件可联想到连接FA，那么FD=FA用FA代替FD，得，由此可找到证明FABFCA证明：连接FAEF垂直平分AD，FD=FA，FDA=FADAD平分BAC，BAD=CAD，FDABAD=FADCAD，B=FAC又BFA=AFC，FABFCA，FA2=FBFC，即FD2=FBFC例5、计算

55、：分析：1题综合考查特殊角的三角函数值及代数式的计算将特殊角的三角函数值代入化简，并注意分母有理化，这类题型记准数值是前提，算准结果是关键2题要灵活运用同角的三角函数关系和互余的三角函数关系进行化简，要识别45与45是互余关系解：例6、：如图，B=30，C=45，ABAC=2求BC的长分析：解直角三角形时，假设所求的元素不在直角三角形中，那么应将它转化为直角三角形中去转化的途径有：作辅助线构造直角三角形，或找直角三角形中的边或角替代所要求的元素等解：过A作ADBC于D，构造直角三角形例7、为申办2021年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况，在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB，在地面上事先划定以

56、B为圆心，半径与AB等长的圆形危险区现在某工人站在离B点3米远的D处测得树的顶端A点的仰角为60，树的底部B的俯角为30问距离B点8米远的保护物是否在危险区内？分析：解决测量问题要明确仰角、俯角、坡度、坡角等名词术语此题要考察距离B点8米远的保护物是否在危险区内关键的一点是要测算树AB的高度解：过点C作CEAB于E圆的性质及计算一、知识要点概述1、与圆有关的概念1圆可以看做是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，它是以圆心为对称中心的中心对称图形，又是以每一条直径所在的直线为对称轴的轴对称图形不在同一直线上的三点确定一个圆2圆中的弦、弧、弦心距、同心圆、等圆、等弧等概念2、与圆有关的角1圆心角

57、与圆周角的概念、弦切角的概念2在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半3弦切角等于它夹弧所对的圆周角4圆周角定理及其推论3、圆的对称性1圆的轴对称性垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；弦的中垂线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧2圆的旋转对称性：在同圆或等圆中，有如下相等关系：等弦等弧等弦心距等圆心角4、圆的两条平行弦所夹的弧相等5、圆内接四边形对角互补，任何一个外角都等于它的内对角；圆外切四边形的两组对边之和相等6、如果弧长为l，圆心

58、角的度数为n，弧所在的圆的半径为r，那么弧长的计算公式为，圆周长C=2r7、设扇形的圆心角为n，扇形的半径为r，扇形面积为S，那么扇形的面积计算公式为：8、圆柱的侧面展开图是矩形，设圆柱的底面半径为r，圆柱的高为h，那么圆柱的侧面积S=2rh，圆柱的全面积为S=2r22rh9、圆锥的侧面展形图是扇形，设圆锥的底面半径为r，母线长为a，那么圆锥的侧面积为，圆锥的全面积为二、典例剖析例1、如图，在O中，过圆周上一点A作弦AB和AC且AB=ACM和N分别为弦AB及AC的中点，连结M和N并向两方向延长交圆于P和Q两点求证：PM=NQ分析：欲证PM=NQ，因为PQ为弦，容易联想到作弦心距OH，那么PH=

59、HQ现只要证MH=HN即可又M、N分别为弦AB、AC的中点，易知OM=ON，故原结论可证证明：作OHPQ于H，那么PH=HQ连结OM、ON，M、N分别是弦AB、AC的中点，OMAB，ONAC又AB=AC，OM=ON又OHMN，MH=HN，PM=NQ例2、如图，ABC内接于O，弦CMAB，CN是直径，F是的中点求证：1CF平分NCM；2分析：1欲证1=2，应设法转化因为AB为弦，F为的中点，不难想到连结OF，那么OF/CM，OFC=2而OFC=1，1=22欲证，只需证，即证NOF=MOF即可由OF/CM，只要证OCM=OMC就行证明：1连结OFF为的中点，OFAB又CMAB，OF/CM，OFC=2又OC=OF，OFC=1，1=2，即CF平分NCM2连结OM