信号与系统：5-2 基于复指数函数正交分解——拉普拉斯变换_第1页
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1、5.2 基于est 的信号的复指数函数正交分解拉普拉斯变换北京航空航天大学电子信息学院2022/7/9信号与系统一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换由傅里叶变换的讨论可知，当函数 f(t)绝对可积，则存在傅里叶变换为了使更多的函数能够进行傅里叶变换，将这些信号乘上一个衰减因子e-t，通过适当选取的值，使得e-tf(t)绝对可积一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换将上式中(+j)用复数符号s表示，令F(s)=F1()，得到由傅里叶逆变换的定义，可求得因此拉普拉斯变换一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换由于s= +j ，所以ds=jd（ 为实常量），相应对于因果信号f(t)=f(t)u(t)，或只考虑t0时的情况，

2、其拉普拉斯变换为为方便起见，令F(s)表示f(t)的单边拉普拉斯变换, FB(s)表示f(t)的双边拉普拉斯变换。讨论单边拉普拉斯变换时，除非明确声明，否则积分下限均取 0-，即二、拉普拉斯变换的收敛域将使得信号拉普拉斯变换存在的的取值范围称为该信号拉普拉斯变换的收敛域，记为ROC (Region of convergence)。由于t 取值的正负不同，e-t可能由衰减因子变为增长因子。例如当t0 时，1)若0则, e-t是衰减因子；2)若 t0的右边信号， 取正数值时e-t起衰减作用，因此收敛域是大于某一常数如 的区域，如图5.2.1(a)所示，其中实线表示收敛边界。二、拉普拉斯变换的收敛域

3、对于t0和t ，则收敛域不存在， 即f(t)的拉普拉斯变换不存在。二、拉普拉斯变换的收敛域对于分布在有限区域的信号，若其绝对可积，则其拉普拉斯变换一定存在，并且收敛域为整个S平面。因为给定时间常数t1和t2，如果则对任意给定 ，有二、拉普拉斯变换的收敛域实际中常常省略单边拉普拉斯变换的收敛域，原因是若一个信号的单边拉普拉斯变换存在，其收敛域一定是 大于某个常数的S右边平面，且收敛域的具体位置不影响其逆变换结果。请注意对于双边拉普拉斯变换，则收敛域必不可少，因为同一个FB(s) ，收敛域不同，则其所对应的信号不同。三、拉普拉斯变换的物理意义由拉普拉斯逆变换定义，拉普拉斯变换把 分解为无穷多项复指数信号 的线性叠加，即对上式中的第一项，将换成-，得到三、拉普拉斯变换的物理意义则物理意义FT： f(t)被分解为无穷多个等幅振荡的余弦信号之和。LT： f(t)被分解为无穷多个变幅振荡的余弦信号cos(t+) 之和，振幅为四、基本信号的拉普拉斯变换1. 指数函数对于单边指数信号e-tu(t)，其收敛域为-，通常表示为Res-。四、基本信号的拉普拉斯变换2. 阶跃信号对于阶跃信号u(t)，其收敛域为0，通常表示为Res0，即s的右半平面。四、基本信号的拉普拉斯变换3. 冲激信号对

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