18债券组合信用VaR度量ppt课件

1、第18章 债券组合信誉VaR度量清华大学经管学院 朱世武ZResdat样本数据：ressetSAS论坛： resset计算单只债券的信誉风险信誉评级转移概率 债券信誉风险指由于信誉质量改动而引起的价值变动的风险。每个债券信誉质量用8种评级之一来表示(AAA AA A BBB BB B CCC Default)。 不仅违约会导致风险，而且升降级引起的价值变化也会导致风险。所以需求估计风险期内信誉评级转移到其他任何能够信誉形状的概率。债券发行者的信誉级别决议了债券在风险期内违约或者转移到任何能够信誉评级的概率。 A级, AAA级和BBB级债券一年后的信誉评

2、级转移概率图18.1 信誉等级转移实例1年风险期 经过观测大量公司的信誉评级历史数据来得到转移概率。这隐含两个假设：(1) 假设一切公司的信誉评级是正确的；(2) 假设具有一样信誉级别的一切公司未来表现行为一致转移到其他信誉级别的概率均一样。 下页表中用矩阵表示一切级别债券的转移概率。 表18.1年期转移概率矩阵 初始评级(Initial rating)年末评级 (Rating at year end(%)AAAAAABBBBBBCCCDefaultAAA90.818.330.680.060.12000AA0.7090.657.790.640.060.140.020A0.092.2791.05

3、5.520.740.260.010.06BBB0.020.335.9586.935.308BB0.030.140.677.7380.538.841.001.06B036.4883.464.075.20CCC0.2200.221.302.3811.2464.8619.79表18.1最左边一列是债券当前的信誉评级，沿着那行的各列是风险期末的评级。例如，左下角的数字0.22阐明了一个信誉评级为CCC的债券在1年末转移到AAA信誉级别的概率是0.22。 债券定价确定了单只债券在风险期末转移到任何能够信誉形状的概率后，就可以确定风险期末相应信誉形状上债券的价值

4、。每个转移形状计算一次价值，因此每只债券有8个新定价。这8个定价可分为两类。第一类，在违约情况下，需求基于债券的优先级估计恢复率。第二类，在升降级的情况下，需求估计由于信誉评级变化导致的信誉价差的变化，即经过计算债券在新的收益率下，剩余现金流的现值来估计它的新价值。违约形状下的定价假设债券信誉评级转移到违约，那么恢复后残留净值将依赖于债券的优先级。表2提供了违约形状下的恢复率和恢复率的规范差。 表18.2 恢复率面值优先级均值Mean（%）标准差standard deviation（%）优先有担保（Senior secured）53.8026.86优先无担保（Senior unsecured）

5、51.1325.45优先次级（Senior subordinated）38.5223.81次级（Subordinated）32.7420.18次次级（Junior Subordinated）17.0910.90 表18.2给出了恢复率均值中间列和恢复率的规范差最后一列。例如，有一个BBB级的债券是优先无担保的面值100美圆，那么它违约时的均值为面值的51.13，恢复率的规范差是25.45。假设该债券发生违约，那么它的价值为：V=100*51.13=51.13美圆。升降级形状下的定价(1) 得到每一个评级类别的一年期远期利率曲线。远期利率从风险期末开场到债券到期。(2) 利用这些远期利率数据，对

6、各个级别债券的剩余现金流进展定价。假设有一个BBB级债券，面值为100美圆，5年到期，息票率为6%。假定各个级别债券1年后的远期利率由表3给出。 表3 1年后的远期利率曲线 级别(Category)一年(Year1)二年(Year2)三年(Year3)四年（Year4）AAA3.604.174.735.12AA3.654.224.785.17A3.724.324.935.32BBB4.104.675.255.63BB5.556.026.787.27B6.057.028.038.52CCC15.0515.0214.0313.52假定1年末该BBB级债券晋级到A，价值用下面的公式来表示：上式计算了

7、1年末该BBB级债券晋级到A级时的价值。对转移到一切级别债券完成类似计算，可得表4。 表4 BBB级债券转移到相应级别的年末价值 年末评级（Year-end rating）年末债券价值（美元）（value($)）AAA109.37AA109.19A108.66BBB107.55BB102.02B98.10CCC83.64Default51.13估计信誉风险根据前面的数据和计算公式，得到BBB债券的年末价值和信誉评级转移概率如表18.5所示。 表5 BBB级债券的年末价值和信誉评级转移概率年末评级（Year-end rating）状态概率（probability of state(%)）年末债券

8、价值（new bond value($)）AAA0.02109.37AA0.33109.19A5.95108.66BBB86.93107.55BB5.30102.02B1.1798.10CCC0.1283.64Default0.1851.13规范差作为信誉风险的度量目的设 为形状转移概率， 为相应形状下的价值表5的第2，3列。计算均值 和规范差 ：由信誉级别变化而引起的价值变化的规范差为$2.99，此值为一种信誉风险值，假设进一步假设价值服从正态分布，可得置信程度为99%的信誉风险值为$6.96=2.99*2.33, 其中， SAS函数probit(.0.01)= -2.33，99%置信程度对

9、应的分位数为1%。 均值与百分位数的差作为信誉风险的度量目的表18.5显示了BBB级债券在风险期末任何给定信誉级别的概率和价值。假设要计算BBB级债券年末价值的1%分位数，计算过程如下。从表18.5的底部违约形状开场，然后逐渐晋级到AAA级形状。向上挪动的同时，计算概率和。当这个概率和第一次到达或超越1%时，所对应的值就是该债券年末价值的1%分位数。详细过程：违约形状时概率是0.18，该值小于1%，向上挪动到CCC形状；违约和CCC的概率和是0.300.18+0.12，依然小于1%，继续向上挪动；违约，CCC，B三者概率和等于1.470.30+1.17，该值超越了1%，因此，停顿挪动。这时，相

10、应的年末价值等于98.10美圆，这就是债券年末价值的1%分位数，它与均值的差为8.97美圆$107.07- $98.10=$8.97。 BBB级债券的信誉风险为：$107.07- $98.10=$8.97.计算债券组合的信誉风险结合概率这里只思索包括两个特定债券的组合。两个债券在能够的转移期限内，有88=64个能够的形状。获得结合概率的最简一方法是假设两个债券信誉级别变化是独立的，这时，结合概率是单个概率的乘积。如下表18.6中所示，两个债券BBB级和A级坚持他们原先的级别的结合概率就是79.15。等于86.93BBB级期末仍旧坚持在BBB级的概率与91.05A级债券期末仍坚持在A级的概率的乘

11、积：79.1586.9391.05。 表18.6 两独立债券BBB级和A级的结合转移概率BBB级 A级AAAAAABBBBBBCCCDefault0.092.2791.055.520.740.260.010.06AAA0.020.000.000.020.000.000.000.000.00AA0.330.000.010.300.020.000.000.000.00A5.950.010.145.420.330.040.020.000.00BBB86.930.081.9879.154.800.640.230.010.05BB5.300.000.124.830.290.040.010.000.00B

12、1.170.000.031.060.060.010.000.000.00CCC0.120.000.000.110.010.000.000.000.00Default0.180.000.000.160.010.000.000.000.00资产收益率模型 假设两个债券信誉级别的变化相互独立是不现实的，由于他们信誉评级的变化至少受同样的宏观经济变量的影响。因此其信誉评级或违约率的变化将具有某种程度的相关性但由于是实践违约资料的稀缺性，导致很难察看或估计信誉等级的结合转移情况。下面给出了一种处理方案，即引入公司资产收益率模型，该模型将公司资产收益率与信誉级别联络起来。令Z表示资产收益率。将债券的信誉等

13、级变动与发行公司的权益价值变动相结合，将信誉评级的变化转换为由一些相对应的资产收益率门槛值来表示。图18.2 未来一年能够的资产收益率门槛值与相应的信誉评级变化以BB级债券为例 图18.2中横轴的不同Z值表示BB级债券的资产收益率门槛值，例如， 表示债务人发生违约； 表示发债公司的等级被降为CCC级。 这样，知道公司的资产收益率门槛值，就可以得出信誉评级的变化。所以，这里只需求对公司的资产收益率门槛值变化建模就可以了。 假设公司资产收益率的变化是正态分布，均值为 ，规范差为 。下面以BB级债券为例，阐明由债券评级转移概率计算资产收益率门槛值的方法。 表18.7中第一列为BB级债券未来一年的转移

14、概率。由于假设资产收益率Z服从正态分布，那么经过下面评级转移概率与资产收益率门槛值之间的关系， 依次可求得各等级的收益率门槛值，如表18.7中第4列。上式中 代表规范正态分布的累积分布函数。 表18.7 BB级债券评级转移概率与收益率门槛值评级转移概率由转移概率计算资产收益率门槛值的公式BB级债券资产收益率门槛值AAA0.03AA0.14A0.67BBB7.73BB80.53B8.84CCC1.00Default1.06这里没有给出 的值，由于任何高于 的收益率意味着晋级到AAA。 如今思索另一个A级债券。同样假设A级债券资产收益率的变化是正态分布，均值为 ，规范差为 。 由 表示其对应的资产

15、收益率，它的资产收益率门槛值由 等表示。A级债券的转移概率和资产收益率门槛值如表18.8所示。 表18.8 A级债券转移概率和资产收益率门槛值评级（Rating）概率（Probability）A级债券资产收益率门槛值AAA0.09%AA2.27%A91.05%BBB5.52%BB0.74%B0.26%CCC0.01%Default0.06% 为了描画两个债券信誉评级的结合变化，假设这两个资产收益率服从相关系数为 的二元正态分布。这样，就可以利用资产收益率门槛值来计算两个债券的信誉评级结合转移概率。 例如，希望计算两个债券均坚持当前信誉评级不变的概率。即BB级对应的资产收益率在 到 之间，A级对

16、应的资产收益率在 到 之间。假设两个资产收益率是独立的 ，那么这个结合概率是80.53BB坚持在BB的概率与91.05A坚持在A的概率的乘积。 假设 不等于0，那么结合概率为：其中， 是相关系数为 的二元正态分布的密度函数。即，此处可以令 资产收益率门槛值规范化。表18.9 BB级和A级债券的结合评级转移概 BB级A级AAAAAABBBBBBCCCDefault0.092.2791.055.520.740.260.010.06AAA0.030.000.000.030.000.000.000.000.00AA0.140.000.010.130.000.000.000.000.00A0.670.0

17、20.040.610.010.000.000.000.00BBB7.730.070.320.010.000.00BB80.530.001.7973.654.240.560.180.010.04B8.840.000.087.800.790.130.050.000.01CCC1.000.000.010.850.110.020.010.000.00Default1.060.000.010.900.130.020.010.000.00 一样的方法可以计算两个债券的64个结合评级转移概率，假设 ，利用SAS编程求得概率如表18.9所示。 组合信誉风险用规范差作为信誉风险丈量目的时

18、的相关公式：两项资产： 更普通的，当组合资产为n项 ，各项均值为 ，方差为 。令 ，那么组合的方差为： 三项资产组合的规范差：实践运用时，运用下面的向量方式方便计算。计算两债券组合信誉风险值的sas程序：以18.2.2中的两只债券组合为例，一只为BB级债券，另一只为A级债券。proc iml;recovery=53.80,51.13,38.52,32.74,17.09; /* 创建恢复率矩阵 */recovery=recovery/100;forward=3.60 4.17 4.73 5.12,3.65 4.22 4.78 5.17,3.72 4.32 4.93 5.32,4.10 4.67

19、5.25 5.63,5.55 6.02 6.78 7.27,6.05 7.02 8.03 8.52,15.05 15.02 14.03 13.52; /* 一年期远期利率矩阵 */forward=forward/100;par=100;coupon=0.06;tran=90.81 8.33 0.68 0.06 0.12 0 0 0,0.70 90.65 7.79 0.64 0.06 0.14 0.02 0,0.09 2.27 91.05 5.52 0.74 0.26 0.01 0.06,0.02 0.33 5.95 86.93 5.30 1.17 0.12 0.18,0.03 0.14 0.6

20、7 7.73 80.53 8.84 1.00 1.06,0 0.11 0.24 0.43 6.48 83.46 4.07 5.20,0.22 0 0.22 1.30 2.38 11.24 64.86 19.79;/* 一年期等级转移概率矩阵 */tran=tran/100;rating=5 3;/* 对应等级BB,A */prob=t(tranrating,);v=80;do i=1 to 7;vi=coupon*par*(1+1/(1+forwardi,1)+1/(1+forwardi,2)#2+1/(1+ forward i,3)#3+1/(1+ forward i,4)#4)+par/(

21、1+ forward i,4)#4;end; /* 一年后的价值 */v8=par*recovery2;z=J(9,2,0); /* 创建9行2列元素全为0矩阵 */z9,=-40;z1,=8;z8,=probit(prob8,);do i=7 to 2 by -1;zi,=probit(probi,+probnorm(zi+1,);end;btran=J(8,8,0);value=J(8,8,0);do i=1 to 8; do j=1 to 8;btrani,j=probbnrm(zi,1,zj,2,0.2)-probbnrm(zi+1,1,zj,2,0.2)-probbnrm(zi,1,

22、zj+1,2,0.2)+probbnrm(zi+1,1,zj+1,2,0.2);valuei,j=vi+vj; end;end;mean=sum(btran#value);var=sum(btran#value#value)-mean#2;std=sqrt(var);print prob,z,btran,value,mean,std;run;MEAN STD209.90116 6.1698569 要计算第二种信誉风险测度目的，即计算均值与组合价值1%分位数的差，首先要确定资产价值的1%分位数，即找出组合中的一个值，这个值以下的一切概率和小于1%。在组合中的资产不超越2个的条件下，可以简单地利用

23、转移概率表中的值计算出1%程度下的信誉风险值。但是对于更大的组合，用解析的方法来计算百分位数是行不通的必需采用模拟的方法。蒙特卡罗模拟前面运用的是解析方法估计信誉风险值。这种方法有两个有优点：一是速度快，二是准确程度高。但也存在着两个缺陷：一是对于数量很大的组合，速度就会变得很慢；二很多有用的统计量也没有解析的估计方式。为了更好地描画组合的分布，下面运用蒙特卡罗模拟方法。思索一个包括三个债券的组合：BBB级债券；A级债券；CCC级债券，相对应的公司分别是firm1，firm2，firm3。简单起见，假设这三只债券的面值均为100美圆，5年到期，息票率为6%。 生成情景基于资产收益率模型，生成情

24、景的步骤如下：建立组合中每个债券的资产收益率门槛值；由正态分布模拟资产收益率情景；由资产收益率情景影射出信誉评级情景。确定资产收益率门槛值表18.10 三个债券BBB, A和CCC的信誉评级转移概率转移概率（Transition probability(%)）评级（Rating）公司1（Firm1）公司2 （Firm2）公司3（Firm3）AAA0.020.090.22AA0.332.270.00A5.9591.050.22BBB86.935.521.30BB5.300.742.38B1.170.2611.24CCC0.120.0164.86Default0.180.0619.79根据资产收益

25、率模型，利用表18.10中的转移概率可以确定出3个公司的资产收益率门槛值，如表18.11所示。 表18.11 三公司资产收益率门槛值阈值(Threshold)公司1(Firm1) 公司2（Firm2）公司3（Firm3）ZAA3.543.122.86ZA2.781.982.86ZBBB1.53-1.512.63ZBB-1.49-2.302.11ZB-2.18-2.721.74ZCCC-2.75-3.191.02ZDef-2.91-3.24-0.85模拟资产收益率情景表18.12 三公司资产收益率的相关系数公司1(Firm1)公司2（Firm2）公司3（Firm3）公司1（Firm1）1.00.

26、30.1公司2（Firm2）0.31.00.2公司3（Firm3）表18.13 模拟资产收益率的10个情景每个情景中的3个数代表了3个公司的规范化后的资产收益率. 情景（Scenario）公司1（Firm1）公司2（Firm2）公司3（Firm3）1-0.044853-0.611057 1.237651420.4834726-0.682041 -1.2620273-0.2263670.8700212 -0.5708994-1.022657-1.286783 0.14997915-0.5081340.626757 -0.23123461.66525191.1056594 -0.

27、7367747-1.821203-0.935153 -0.33555180.40171331.3204778 -0.5883869-0.2956430.1456195 0.9723559101.04501630.3240485 1.1110892Proc iml;corr=1.0 0.3 0.1,0.3 1.0 0.2,0.1 0.2 1.0;/* 相关系数矩阵 */rv0=rannor(repeat(0,100,3);/* 种子为0，产生10个随机数，3个变量 */rv0=t(rv0);rv=root(corr)*rv0; rv=t(rv);Print rv;create scenario

28、from rv;append from rv;close scenario;run;quit;由资产收益率情景映射到信誉评级情景 表18.14 由资产收益率情景到评级情景的映射情景（Scenario）资产收益率（Asset Return）新评级（New Rating）公司1（Firm1）公司2（Firm2）公司3（Firm3）公司1（Firm1）公司2（Firm2）公司3（Firm3）1-0.044853-0.611057 1.2376514BBBAB20.4834726-0.682041 -1.262027BBBADefault 3-0.2263670.8700212 -0.570899BB

29、BACCC4-1.022657-1.286783 0.1499791BBBACCC5-0.5081340.626757 -0.231234BBBACCC61.66525191.1056594 -0.736774AACCC7-1.821203-0.935153 -0.335551BBACCC80.40171331.3204778 -0.588386BBBACCC9-0.2956430.1456195 0.9723559BBB ACCC101.04501630.3240485 1.1110892BBBAB资产收益率情景到评级情景的映射的SAS程序：proc iml;use scenario;rea

30、d all into rv;use z;read all into z;ratingmap=J(100,3,0);do m=1 to ncol(rv); do i=1 to nrow(rv); do j=8 to 1 by -1; if rvi,mz1,m then ratingmapi,m=1; if rvi,mzj,m then do; ratingmapi,m=j; j=0;end; end; end;end;print z,rv,ratingmap;create ratingmap from ratingmap;append from ratingmap;close ratingmap

31、;run;quit;由资产收益率情景到评级情景的映射(RATINGMAP)4 3 64 3 84 3 74 3 74 3 73 3 75 3 74 3 74 3 73 6组合定价 对于前面给出的债券组合，利用蒙特卡罗模拟方法计算一年后这个组合的信誉风险值。 组合情况：三个债券构成的组合，BBB级债券；A级债券；CCC级债券，相对应的公司分别是firm1，firm2，firm3。假设这三只债券的面值均为为100美圆，5年到期，息票率为6%。 对于非违约情景，可以采用解析法中的算法。对于每一个情景，新的评级影射到一个新的价值。 一种情景下的组合价值计算：例如假设1年末组合中BBB级债券晋级到A，A

32、级债券降级到BBB，CCC级债券的级别未发生变化，那么1年末的债券价值分别是： 组合价值为： 对于违约的情景，情况有点不同。由于恢复率是一个不确定的量，有较大的动摇性。可以根据情景中资产头寸的优先级获得他们恢复率的均值和规范差。对每一个违约情景，用这些参数和beta分布产生随机的恢复率，然后基于这些恢复率计算每个违约情景下单个资产头寸的价值。表18.15 情景组合的定价情景（scenario）评级（Rating）价值（Value）公司1（Firm1）公司2（Firm2）公司3（Firm1）公司1（Firm1）公司2（Firm2）公司3（Firm3）组合（Portfolio）1BBBAB107.5309108.642998.0859314.25982BBBADefault 107.5309108.642950266.17393BBBACCC107.5309108.642983.6257299.79974BBBACCC107.5309108.642983.6257299.79975BBBACCC107.5309108.642983.6257299.79976AACCC108.6429108.642983.6257300.91177BBACCC102.0063108