与椭圆相关的一个定点、定值问题及其证明

1、JIETIJIQLAOYUFANGFA解题技巧q方法為与捕圆相关的一个定点、定值问题及其证明Q江浩马素春（江苏省宿迁市沐阳如东中学223600）【摘要】圆锥曲线中的定点、定值问題是解析几何中重嬰的研究内容之一也星高考数学中常考趣型本文主雯研究了椎圆中定点和定值方面的一个重要性质，讨论了两者之间的关系，并利用两种方法对定值何题给予了证明，方法具有典型性和普适性的特点.【关键词】柿鬪；定点问题；定值问題也人“比兀2+*(m_b)(f+工2)+(加_&)将(1)式代人上式得.2anr-(fb*2azkm.，、丄k-k(m_b)+(加_6)b+aA*bak性质如图任平血直角坐标系“）中，椭圆c+a24

2、=l（flA0）的左、右焦点分别为儿（-.0）和儿（“b0）上顶点为M（6.0）且心一离心率为=如果椭圆ca1-.相片曲点4上满足i*线am,/n/的斜率之枳为定值/.那（:i么血级”怛过学点（w）ae0)tW为a线IM上M的斜率之枳为定值/即从而由（2）（3）式且林厂（土）可计算克线朋的斜b2率几厂+3所以直线朋的方程为（下转103页）数学学习与研究2014.23JIETIJIQIAOYUFANGFA解题技巧法.总Xj+i=(o+6i)(xJtat6eZ).因而有x3=a(a2-3A2),(7)1=6(3=1时由(8)期/=-.这与“wZ矛盾；当6=-时，由(8)知=0,进而由(7)知=0,

3、由(4)式期旳=1,于是勺=0.y2=1是不崔方程(6)的整数解.因此，在*0(mod2)时不定方程(1)的整数解为x=2xB=4x2=8xj=0ty=2yB=4y2=4.综合以上两种悄形证得不N方程(1)仅竹整数解t=0.y=4.【卷考文献】1梁抱华，李鑫.关于不定方程+8=D/J.四川理工学院学报(自然科学版),2009(1):26-292柯召孙琦.谈谈不定方程M.上海：上海敦育出版社,198().3潘承渭，潘承彪代數数论M.济南：山东大学岀版社,2003.此时不定方程(5)变为x+1=y；,(衍*2$Z).(6)对于不定方程(6)来说在唯一分解整环Z订中，它可以分解为(&+i)(Xj-)

4、=yi，(xi,y2eZ).设6=(Xj+i,Xj-i)，由5K2.r,2O=2知,6只可能是1.1+或2.由于所以3#2.若5=1+匚則Ml+OIA(x,+i).即2l+l,则有也必为奇数2必为偶数设心=2m+1于是xj+1=4m+2若取m=2n.则有x+1=16n24-8n4-2=2(iihmIR)若取m=2/i+1,則有X)+1=16n2+24n+10=2(ino1$+a%_b2-c2*b2+u：A；化简整理得故起线刖佢过定点(片*上述命题的逆命题也是成立的即如果过椭圆C+aI(n60)上相异两点4.B的立线愼过定点(，?)，那么血线twHM的斜率之枳为定值上证明设直线AH.ykx+加其中加设点b-c(力|)(X2)2)y=A.t+m.由/+/-1整理得(厶+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0(d0).2a*nr-k2(Tkm,vk宀“*”()J7T7F+3).b2+a2k2b2(m6)a2(m+b)冉将代入整理,A|WW=(V之定值).b-ca/本文主要研究了与椭圆相尺的个定点、定值刨题及其证明方法这个性质在其他圆锥曲线中是否存在有待于