313简单三角变换

1、内部资料，不得翻印！高中数学专题教学研习讲稿第 PAGE 6 页 共 NUMPAGES 7 页第 PAGE 7 页 共 NUMPAGES 7 页高中数学专题教学研习本资源由专人彭剑平整理，未经允许不得复制影印，资源仅供教师研习，欢迎批评指正说明：Level A为基本（要求熟悉掌握），Level B为高考（常考规律总结），Level C为竞赛（拓展的课外知识）注： 本资源仅提供pdf版本 交流： 博客： HYPERLINK /ansontop /ansontop 邮箱： HYPERLINK mailto:anson_ anson_专题： 简单三角变换 基本知识点（Level A）【1】两角和（差

2、）的正弦、余弦及正切（1）；（2）；（3）；（4）；（5） （）；（6） （ 经典案例 有疑问随时mail例：（1）下列各式中，值为的是 ； ； ； 答案：（2）命题：，命题：，则是的 条件（填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”）答案：必要不充分（3）已知，那么 答案：（4） 答案：（5）已知，求的值（用表示）甲求得的结果是，乙求得的结果是，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是 答案：甲、乙都对【2】二倍角的正弦、余弦及正切二倍角公式：有用的公式：（1）升（降）幂公式（升幂公式），（降幂公式）（2）正切公式的变形【3】两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用 第一组记忆

3、： 第二组记忆： 第三组记忆： 应用以上公式对三角函数式化简（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值）【4】三角变换中有用的解题思路1三角变换的基础理论三角函数化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：通常从“角、名、形、幂”四方面入手基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊值与特殊角的三角函数互化第一观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点，从形、幂入手2三角变换常见的有用思路 “变角找思路，范围保运算”； “降幂辅助

4、角公式正弦型函数”； 巧用与的关系； 巧用三角函数线数形结合如： ； 拓展知识点（Level B）【1】三角变换的基本理论三角函数式的恒等变形或用三角式来代换代数式称为三角变换变换是指角(“配”与“凑”)、函数名(切割化弦)、次数(降与升) 、系数(常值“”) 和 运算结构(和与积)的变换，其核心是“角的变换”角的变换主要有，已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换三角恒等变形是以同角三角公式，诱导公式，和、差、倍、半角公式，和差化积和积化和差公式，万能公式（苏教不作要求）为基础三角代换是以三角函数的值域为根据，进行恰如其分的代换，使代数式转化为三角式

5、，然后再使用上述诸公式进行恒等变形，使问题得以解决三角变换是指角(“配”与“凑”)、函数名(切割化弦)、次数(降与升) 、系数(常值“”) 和 运算结构(和与积)的变换，其核心是“角的变换”角的变换主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换变换化简技巧：角的拆变，公式变用，切割化弦，倍角降次，“”的变换，设元转化，引入辅角，平方消元等【2】三角变换三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能常用的数学思想方法技巧如下：1角的变换角的“配”与“凑”： 在三角化简，求值，证明

6、中，表达式中往往出现较多的相异角，已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换，掌握角的“和”、“差”、“倍”和“半”公式后，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；如：，；，；，；2“降幂”与“升幂”（次的变化）降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法利用二倍角公式和二倍角公式的等价变形，可以进行“升”与“降”的变换，即“二次”与“一次”的互化常用降幂公式有：，降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式常用升幂化为有理式，常用升幂公式有：，3切割化弦（名的变化）

7、利用同角三角函数的基本关系，将不同名的三角函数化成同名的三角函数，以便于解题经常用的手段是“切化弦”和“弦化切”4统一函数形式，注意运用代数运算（形的变换、公式运用、式子结构） 例如公式的逆用5常值代换常值可作特殊角的三角函数值来代换此外，对常值 “”可作如下代换：等（选学）6引入辅助角（合一变形）把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的形式一般地，（其中，辅助角所在象限由点所在的象限决定)在求最值、化简时起着重要作用特别的，；等7整体代换正余弦“三兄妹”的内存联系“知一求二”，举例：，可求出，整体值，作为代换之用8爆炸式 经典案例 有疑问随时mail例：（1）（角的变换）

8、已知，那么的值是 答案：（2）（角的变换）已知，且，求的值答案：（3）（角的变换）已知为锐角，则与的函数关系为 答案：（4）（名的变换）求值答案：（5）（名的变换）已知，求的值 答案：（6）（公式变形）已知，求的值答案：解：由已知得：， 又， （7）（公式变形）已知、为锐角，且满足，则 答案：（8）（公式变形）设中，则此三角形是 三角形答案：等边（9）（次的变化）若，化简为 答案：（10）（次的变化）函数的单调递增区间为 答案：（11）（式子结构） 答案：（12）（式子结构）求证：答案：略（13）（式子结构）化简：.答案：（14）（常值代换）已知，求.答案：（15）（整体代换）若 ，则 答案：特别提醒：这里（16）（整体代换）若，求的值答案：（17）（整体代换）已知，试用表示的值答案：（18）（辅助角）若方程有实数解，则的取值范围是 答案：（19）（辅助角）当函数取得最大值时，的值是 答案：（20）（辅助角）如果是奇函数，则 答案：（21）（综合）求值： 答案：【3】几组关键数据1弧度，弧度，弧度（角度制和弧度制的互化），；， 深化知识点（Level C）【1】特殊结构的构造构造对偶式，可以回避