高等数学讲义--无穷级数数学一和数学三

1、-PAGE . z第八章 无穷级数数学一和数学三引言：所谓无穷级数就是无穷多项相加，它与有限项相加有本质不同，历史上曾经对一个无穷级数问题引起争论。例如：历史上曾有三种不同看法，得出三种不同的和第一种第二种第三种设则这种争论说明对无穷多项相加，缺乏一种正确的认识。什么是无穷多项相加？如何考虑？无穷多项相加，是否一定有和？无穷多项相加，什么情形有结合律，什么情形有交换律等性质。因此对无穷级数的根本概念和性质需要作详细的讨论。 8.1常数项级数容要点一、根本概念与性质1. 根本概念无穷多个数依次相加所得到的表达式称为数项级数简称级数。称为级数的前n项的局部和，称为局部和数列。不存在，则称级数是发散

2、的，发散级数没有和的概念。注：在*些特殊含义下可以考虑发散级数的和，但在根底课和考研的考试大纲中不作这种要求。2 根本性质1 如果2 在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。3 收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不变。发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散的，所以不同加括号后得到级数的情形就不同。4 级数注：引言中提到的级数，因此收敛级数的必要条件不满足，发散。调和级数满足却是发散的，所以满足收敛级数的必要条件，而收敛性尚不能确定。3两类重要的级数1等比级数几何级数当时，收敛当时，发散2p一级数当p1时，收敛，当p1时发散注：p1时，的和

3、一般不作要求，但后面用特殊的方法可知二、正项级数敛散性的判别法则称为正项级数，这时是单调加数列，它是否收敛就只取决于是否有上界，因此有上界，这是正项级数比拟判别法的根底，从而也是正项级数其它判别法的根底。1. 比拟判别法收敛，则收敛；如果发散，则发散。2. 比拟判别法的极限形式设假设当0A0，而当1时(包括=+)，则发散当=1时，此判别法无效注：如果不存在时，此判别法也无法用4根值判别法柯西设0，而当1时(包括=+)，则发散当=1时，此判别法无效事实上，比值判别法和根值判别法都是与等比级数比拟得出相应的结论，应用时，根据所给级数的形状有不同的选择，但它们在=1情形下都无能为力。数学上有更精细一

4、些的判别法，但较复杂，对考研来说不作要求。三、交织级数及其莱布尼兹判别法1交织级数概念假设0,称为交织级数。2莱布尼兹判别法设交织级数满足：12) =0，则收敛，且01时，是绝对收敛的当01时，是条件收敛的当0时，是发散的典型例题主要用局部和数列的极限讨论级数的敛散性判定以下级数敛散性，假设收敛并求级数的和。1 21解：的=1，收敛2解：= 1 * GB3= 2 * GB3= 1 * GB3-= 2 * GB3得=3=3，收敛设数列收敛证：由题意可知而=因此，于是级数=是收敛的主要用判别法讨论级数的敛散性设级数收敛，则收敛解：几何平均值算术平均值再用比拟判别法，可知收敛正项数列单调减少，且发散

5、，问是否收敛？并说明理由。解：，由等比级数收敛和比拟判别法可知收敛。设1求的值。2证明：对任意正常数收敛。证明：1=121时，级数收敛。所以当1时，级数收敛。 8.2 幂级数甲容要点一、函数项级数及其收敛域与和函数数学一1 函数项级数的概念设皆定义在区间= 1 * ROMANI上，则称为区间= 1 * ROMANI上的函数项级数。2 收敛域设，如果常数项级数收敛，则称是函数项级数的收敛点，如果发散，则称是的发散点。函数项级数的所有收敛点构成的集合就称为收敛域。所有发散点构成的集合你为发散域。3 和函数在的收敛域的每一点都有和，它与有关，因此，收敛域称为函数项级数的和函数，它的定义域就是函数项级

6、数的收敛域。二、幂级数及其收敛域1 幂级数概念称为的幂级数，称为幂级数的系数，是常数，当时，称为的幂级数。一般讨论有关问题，作平移替换就可以得出有关的有关结论。2幂级数的收敛域幂级数的收敛域分三种情形：收敛域为，亦即对每一个皆收敛，我们称它的收敛半径收敛域仅为原点，除原点外幂级数皆发散，我们称它的收敛半径。收敛域为所以求幂级数的收敛半径非常重要，12两种情形的收敛域就确定的。而3的情形，还需讨论两点上的敛散性。幂级数的性质四则运算设2. 分析性质设幂级数的收敛半径 0，S() = 为和函数，则有以下重要性质。1求导后幂级数的收敛半径不变，因此得出2幂级数的收敛半径也不变。3假设(= 1 * romani)(= 2 * romanii)(= 3 * romaniii)四、幂级数求和函数的根本方法1把函数的幂级数展开式 8.3将讨论反过来用。以下根本公式应熟背：2、用逐项求导和逐项积分方法以及等比级数求和公式3、用逐项求导和逐项积分方法化为和函数的微分方程从而求出微分方程的解。五、利用幂级数求和函数得出有关常数项级数的和乙典型例题例1 求以下幂级数的和函数。12解：1可求出收敛半径R=1, 收敛域为-1，12可以从求出和函数后，看出其收敛域 8.3将函数展开成幂级数甲容要点一、泰勒级数与麦克