2021版数学（新教材）必修 第一册人教A版第三章函数的概念与性质讲义

1、31函数的概念及其表示31.1函数的概念学习目标1.理解函数的概念，了解构成函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集.3.会求一些简单函数的定义域、函数值知识点一函数的有关概念函数的定义设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数函数的记法yf(x)，xA定义域x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域值域函数值的集合eq blcrc(avs4alco1(fx|xA)叫做函数的值域知识点二同一个函数一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域如果两个函数的定义域相同，并且对

2、应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数特别提醒：两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同思考定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？答案不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数知识点三区间1区间概念(a，b为实数，且ab)定义名称符号数轴表示x|axb闭区间a，bx|axb开区间(a，b)x|axb半开半闭区间a，b)x|aax|xax|x0，即x2，所以x2且x1.所以函数yeq f(x10,r(x2)的定义域为eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(x2且x1).(3)由eq blcrc (avs4alco

3、1(4x20，,x0)解得2x0或0 x2，所以函数yeq r(4x2)eq f(1,x)的定义域为2,0)(0,2反思感悟求函数定义域的常用依据(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零；(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零；(3)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义；(4)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义跟踪训练2求下列函数的定义域(1)yeq f(x12,x1)eq r(1x)；(2)yeq r(2x23x2)eq f(1,r(4x).解(1)由eq blcrc (avs4alco1(x10，,1x0，)得eq

4、blcrc (avs4alco1(x1，,x1.)所以定义域为x|x1且x1(2)由eq blcrc (avs4alco1(2x23x20，,4x0，,r(4x)0，)得xeq f(1,2)或2x4，所以定义域为eq blc(rc(avs4alco1(，f(1,2)2,4)命题角度2求函数值例3已知f(x)eq f(1,1x)(xR且x1)，g(x)x22 (xR)(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f(g(2)的值解(1)因为f(x)eq f(1,1x)，所以f(2)eq f(1,12)eq f(1,3).又因为g(x)x22，所以g(2)2226.(2)f(g(2)f(6)eq f(1

5、,16)eq f(1,7).反思感悟求函数值的方法(1)已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值(2)已知f(x)与g(x)，求f(g(a)的值应遵循由里往外的原则跟踪训练3已知f(x)eq blcrc (avs4alco1(x21，x0，,f(1,x1)，x0时，求f(a)，f(a1)的值解(1)使根式eq r(x3)有意义的实数x的集合是x|x3，使分式eq f(1,x2)有意义的实数x的集合是x|x2，所以这个函数的定义域是x|x3x|x2x|x3，且x2(2)f(3)eq r(33)eq f(1,32)1；f eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3

6、)eq r(f(2,3)3)eq f(1,f(2,3)2)eq r(f(11,3)eq f(3,8)eq f(3,8)eq f(r(33),3).(3)因为a0，故f(a)，f(a1)有意义f(a)eq r(a3)eq f(1,a2)；f(a1)eq r(a13)eq f(1,a12)eq r(a2)eq f(1,a1).10求函数yeq f(r(x24x5),r(62x)1)的定义域，并用区间表示解要使函数有意义，需满足eq blcrc (avs4alco1(x24x50，,62x0，,r(62x)10，)即eq blcrc (avs4alco1(1x5，,x3，,xf(5,2).)所以1x

7、3且xeq f(5,2)，所以函数的定义域为eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(1x3且xf(5,2)，用区间表示为eq blcrc)(avs4alco1(1，f(5,2)eq blc(rc(avs4alco1(f(5,2)，3).11若函数f(x)ax21，a为一个正数，且f(f(1)1，那么a的值是()A1 B0 C1 D2答案A解析f(x)ax21，f(1)a1，f(f(1)f(a1)a(a1)211.a(a1)20.又a为正数，a1.12若函数yf(x)的定义域是0,2，则函数g(x)f(2x)的定义域是()A0,2 B0,1C0,4 D(0,1

8、)答案B解析yf(x)的定义域是0,2，要使g(x)f(2x)有意义，需02x2，即0 x1.13已知f(2x1)4x24x3，则f(1)_.答案3解析f(1)f(201)4024033.14若对任意实数x恒有2f(x)f(x)3x1，则f(1)_，f(1)_.答案20解析对xR，有2f(x)f(x)3x1，令x1，则2f(1)f(1)4，令x1，则2f(1)f(1)2.由解得f(1)2，f(1)0.15已知f(x)eq f(1x,1x)(xR且x1)，g(x)x21(xR)，则f(g(x)_.答案eq f(2x2,x2)(x0)解析f(g(x)eq f(1gx,1gx)eq f(1x21,1

9、x21)eq f(2x2,x2)(x0)16已知函数f(x)eq f(x2,1x2).(1)求f(2)与f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(3)与feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)；(2)由(1)中求得的结果，你能发现f(x)与f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)有什么关系？证明你的发现；(3)求f(2)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(3)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)f(2 019)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2 019)的值解(1)由f

10、(x)eq f(x2,1x2)1eq f(1,x21)，所以f(2)1eq f(1,221)eq f(4,5)，f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)1eq f(1,f(1,4)1)eq f(1,5).f(3)1eq f(1,321)eq f(9,10)，f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)1eq f(1,f(1,9)1)eq f(1,10).(2)由(1)中求得的结果发现f(x)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)1.证明如下：f(x)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)eq f(x2,1x2)eq f(f

11、(1,x2),1f(1,x2)eq f(x2,1x2)eq f(1,x21)1.(3)由(2)知f(x)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)1，f(2)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)1，f(3)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)1，f(4)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)1，f(2 019)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2 019)1.f(2)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(3)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)f(2

12、 019)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2 019)2 018.31.2函数的表示法(一)学习目标1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.2.掌握求函数解析式的常见方法.3.尝试作图并从图象上获取有用的信息知识点函数的表示方法思考函数三种表示法的优缺点？答案1任何一个函数都可以用解析法表示()2任何一个函数都可以用图象法表示()3函数f(x)2x1不能用列表法表示()4函数的图象一定是一条连续不断的曲线()一、函数的表示方法例1某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来解(1)

13、列表法：x/台12345678910y/元3 0006 0009 00012 00015 00018 00021 00024 00027 00030 000(2)图象法：如图所示(3)解析法：y3 000 x，x1,2,3，10反思感悟应用函数三种表示方法应注意以下三点(1)解析法必须注明函数的定义域；(2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系；(3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”跟踪训练1由下表给出函数yf(x)，则f(f(1)等于()x12345y45321A.1 B2 C4 D5答案B解析由题中表格可知f(1)4，所以f(f(1)f(4)2.二、求函数解析式例2求下列

14、函数的解析式：(1)已知函数f(eq r(x)1)x2eq r(x)，求f(x)；(2)已知函数f(x)是二次函数，且f(0)1，f(x1)f(x)2x，求f(x)解(1)方法一(换元法)设teq r(x)1，则x(t1)2(t1)f(t)(t1)22(t1)t22t12t2t21，f(x)x21(x1)方法二(配凑法)x2eq r(x)(eq r(x)22eq r(x)11(eq r(x)1)21，f(eq r(x)1)(eq r(x)1)21(eq r(x)11)，f(x)x21(x1)(2)设f(x)ax2bxc(a0)f(0)1，c1.又f(x1)f(x)2x，a(x1)2b(x1)1

15、(ax2bx1)2x，整理，得2ax(ab)2x.由恒等式的性质，知上式中对应项的系数相等，eq blcrc (avs4alco1(2a2，,ab0，)解得eq blcrc (avs4alco1(a1，,b1，)f(x)x2x1.反思感悟求函数解析式的常用方法(1)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f(g(x)的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”)，即令g(x)t，反解出x，然后代入f(g(x)中求出f(t)，从而求出f(x)(2)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解

16、析式跟踪训练2(1)已知f(x22)x44x2，则f(x)的解析式为_答案f(x)x24(x2)解析因为f(x22)x44x2(x22)24，令tx22(t2)，则f(t)t24(t2)，所以f(x)x24(x2)(2)已知f(x)是一次函数，且f(f(x)4x1，则f(x)_.答案2xeq f(1,3)或2x1解析因为f(x)是一次函数，设f(x)axb(a0)，则f(f(x)f(axb)a(axb)ba2xabb.又因为f(f(x)4x1，所以a2xabb4x1.所以eq blcrc (avs4alco1(a24，,abb1，)解得eq blcrc (avs4alco1(a2，,bf(1,

17、3)或eq blcrc (avs4alco1(a2，,b1.)所以f(x)2xeq f(1,3)或f(x)2x1.三、函数的图象例3作出下列函数的图象(1)y2x1，x0,2；(2)yeq f(2,x)，x2，)；(3)yx22x，x2,2解(1)当x0,2时，图象是直线y2x1的一部分(2)当x2，)时，图象是反比例函数yeq f(2,x)的一部分(3)当2x2时，图象是抛物线yx22x的一部分延伸探究根据作出的函数图象求其值域解观察图象可知：(1)中函数的值域为1,5(2)中函数的值域为(0,1(3)中函数的值域为1,8反思感悟作函数yf(x)图象的方法(1)若yf(x)是已学过的函数，则

18、描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍(2)若yf(x)不是所学过的函数之一，则要按：列表；描点；连线三个基本步骤作出yf(x)的图象跟踪训练3作出下列函数的图象：(1)y1x(xZ)；(2)yx24x3，x1,3解(1)因为xZ，所以图象为直线y1x上的孤立点，其图象如图所示(2)yx24x3(x2)21，当x1,3时，y0；当x2时，y1，其图象如图所示函数图象的应用典例(1)已知f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域为_，值域为_考点函数图象题点函数图象的应用答案2,45,84,3解析函数的定义域对应图象上所有点横坐标的取值集合，值域对应纵坐标的取值

19、集合(2)若函数f(x)x24x3(x0)的图象与ym有两个交点，求实数m的取值范围考点函数图象题点函数图象的应用解f(x)x24x3(x0)的图象如图，f(x)的图象与直线ym有2个不同交点，由图易知10，t为不超过t的最大整数，则从甲市到乙市5.5 min的电话费为()A5.04元 B5.43元 C5.83元 D5.38元答案A解析依题意知g(5.5)1.06(0.7551)5.0355.04，故选A.4如果f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)eq f(x,1x)，则当x0,1时，f(x)等于()A.eq f(1,x) B.eq f(1,x1) C.eq f(1,1x

20、) D.eq f(1,x)1考点求函数的解析式题点换元法求函数解析式答案B解析令eq f(1,x)t，则xeq f(1,t)，代入f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)eq f(x,1x)，则有f(t)eq f(f(1,t),1f(1,t)eq f(1,t1)，故f(x)eq f(1,x1).故选B.5函数yeq f(x,1x)的大致图象是()考点函数图象题点求作或判断函数的图象答案A解析方法一yeq f(x,1x)的定义域为x|x1，排除C，D，当x0时，y0，排除B.方法二yeq f(x,1x)1eq f(1,x1)，由函数的平移性质可知A正确6已知函数f(x)xeq

21、f(m,x)，且此函数图象过点(5,4)，则实数m的值为_答案5解析将点(5,4)代入f(x)xeq f(m,x)，得m5.7某航空公司规定，乘客所携带行李的重量x(kg)与其运费y(元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大重量为_kg.答案19解析设一次函数解析式为yaxb(a0)，代入点(30,330)与点(40,630)得eq blcrc (avs4alco1(33030ab，,63040ab，)解得eq blcrc (avs4alco1(a30，,b570.)即y30 x570，若要免费，则y0，所以x19.8已知a，b为常数，若f(x)x24x3，f(axb)x21

22、0 x24，则5ab_.答案2解析f(x)x24x3，f(axb)(axb)24(axb)3a2x2(2ab4a)xb24b3x210 x24，eq blcrc (avs4alco1(a21，,2ab4a10，,b24b324，)eq blcrc (avs4alco1(a1，,b3)或eq blcrc (avs4alco1(a1，,b7.)5ab2.9.如图所示，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出此盒子的体积V以x为自变量的函数式，并指明这个函数的定义域解由题意可知该盒子的底面是边长为(a2x)的正方形，高为x，所以此盒子的体积V(a

23、2x)2xx(a2x)2，其中自变量x应满足eq blcrc (avs4alco1(a2x0，,x0，)即0 xeq f(a,2).所以此盒子的体积V以x为自变量的函数式为Vx(a2x)2，定义域为eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(a,2).10画出函数f(x)x22x3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小；(2)若x1x21，比较f(x1)与f(x2)的大小；(3)求函数f(x)的值域考点函数图象题点函数图象的应用解函数f(x)x22x3的定义域为R，列表：x1013y0340描点，连线，得函数图象如图：(1)根据图象，容易发现f(0)

24、3，f(1)4，f(3)0，所以f(3)f(0)f(1)(2)根据图象，容易发现当x1x21时，有f(x1)f(x2)(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(，411若一次函数的图象经过点A(1,6)和B(2,8)，则该函数的图象还经过的点的坐标为()A.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，5) B.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)，4)C(1,3) D(2,1)答案A解析设一次函数的解析式为ykxb(k0)，则该函数的图象经过点A(1,6)和B(2,8)，得eq blcrc (avs4alco1(

25、kb6，,2kb8，)解得eq blcrc (avs4alco1(k2，,b4，)所以此函数的解析式为y2x4，只有A选项的坐标符合此函数的解析式故选A.12设函数f eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,x)2x1，则f(x)的表达式为()A.eq f(1x,1x)(x1) B.eq f(1x,x1)(x1)C.eq f(1x,1x)(x1) D.eq f(2x,x1)(x1)答案B解析令1eq f(1,x)t，则t1，xeq f(1,t1)，t1，f(t)eq f(2,t1)1eq f(1t,t1)，t1，f(x)eq f(1x,x1)(x1)，故选B.13已知函数F(x)f

26、(x)g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且Feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)16，F(1)8，则F(x)的解析式为_答案F(x)3xeq f(5,x)(x0)解析设f(x)kx(k0)，g(x)eq f(m,x)(m0，且x0)，则F(x)kxeq f(m,x).由Feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)16，F(1)8，得eq blcrc (avs4alco1(f(1,3)k3m16，,km8，)解得eq blcrc (avs4alco1(k3，,m5，)所以F(x)3xeq f(5,x)(x0)14已知函数f(x)，g(

27、x)分别由下表给出：则满足f(g(x)g(f(x)的x的值为_.x1234f(x)1313g(x)3232考点函数的表示法题点函数的表示法答案2或4解析当x1时，f(g(1)f(3)1，g(f(1)g(1)3.当x2时，f(g(2)f(2)3，g(f(2)g(3)3.当x3时，f(g(3)f(3)1，g(f(3)g(1)3.当x4时，f(g(4)f(2)3，g(f(4)g(3)3.满足f(g(x)g(f(x)的x的值只有2或4.15已知f(x)3f(x)2x1，则f(x)的解析式是_考点求函数的解析式题点方程组法求函数解析式答案f(x)xeq f(1,4)解析因为f(x)3f(x)2x1，所以

28、把中的x换成x，得f(x)3f(x)2x1.由解得f(x)xeq f(1,4).16某企业生产某种产品时的能耗y与产品件数x之间的关系式为yaxeq f(b,x).且当x2时，y100；当x7时，y35.且此产品生产件数不超过20件(1)写出函数y关于x的解析式；(2)用列表法表示此函数，并画出图象解(1)将eq blcrc (avs4alco1(x2，,y100)与eq blcrc (avs4alco1(x7，,y35)代入yaxeq f(b,x)中，得eq blcrc (avs4alco1(2af(b,2)100，,7af(b,7)35)eq blcrc (avs4alco1(4ab200

29、，,49ab245)eq blcrc (avs4alco1(a1，,b196.)所以所求函数解析式为yxeq f(196,x)(xN,0 x20)(2)当x1,2,3,4,5，20时，列表：x12345678910y19710068.35344.238.73532.530.829.6x11121314151617181920y28.828.328.12828.128.2528.528.929.329.8依据上表，画出函数y的图象如图所示，是由20个点构成的点列31.2函数的表示法(二)学习目标1.会用解析法及图象法表示分段函数.2.给出分段函数，能研究有关性质知识点分段函数1一般地，分段函数就

30、是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数2分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集3作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象1函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(1，x0，,1，x0)是分段函数()2分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应关系，但它们是一个函数()3分段函数各段上的函数值集合的交集为.()4分段函数的定义域是各段上自变量取值的并集()一、分段函数求值例1已知函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(x1，x2，,x22x，2x2，,2x1，x2.)试求f(5)，

31、f(eq r(3)，f eq blc(rc)(avs4alco1(f blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)的值解由5(，2，eq r(3)(2,2)，eq f(5,2)(，2，知f(5)514，f(eq r(3)(eq r(3)22(eq r(3)32eq r(3).因为f eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)eq f(5,2)1eq f(3,2)，2eq f(3,2)2不合题意，舍去当2a3，求x的取值范围解当x2时，x13得x2，又x2，所以x.当2x3得x1或x3，又2x2，所以1x3，得x2，又x2，所以x2，综上有x的取值范围是1x2.反思感悟(1)求分

32、段函数的函数值的方法确定要求值的自变量属于哪一段区间代入该段的解析式求值，当出现f(f(x0)的形式时，应从内到外依次求值(2)求某条件下自变量的值的方法先对x的取值范围分类讨论，然后代入不同的解析式，解方程求解，注意需检验所求的值是否在所讨论的区间内跟踪训练1已知f(x)eq blcrc (avs4alco1(x2，1x1，,1，x1或x1或x1或x1，,1f(1,4)，)解得xeq f(1,2)或xeq f(1,2)，x的取值范围是eq blc(rc(avs4alco1(，f(1,2)eq blcrc)(avs4alco1(f(1,2)，).二、分段函数的图象及应用例2已知函数f(x)x2

33、2，g(x)x，令(x)minf(x)，g(x)(即f(x)和g(x)中的较小者)(1)分别用图象法和解析式表示(x)；(2)求函数(x)的定义域，值域解(1)在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图.由图中函数取值的情况，结合函数(x)的定义，可得函数(x)的图象如图.令x22x得x2或x1.结合图，得出(x)的解析式为(x)eq blcrc (avs4alco1(x22，x2，,x，2x1，,x22，x1.)(2)由图知，(x)的定义域为R，(1)1，(x)的值域为(，1反思感悟分段函数图象的画法(1)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作第一段图象时，先不管定义域的限制

34、，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏(2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象跟踪训练2(1)已知函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(x1，x1，0，,x21，x0，1，)则函数f(x)的图象是()答案A解析当x1时，y0，即图象过点(1,0)，D错；当x0时，y1，即图象过点(0,1)，C错；当x1时，y2，即图象过点(1,2)，B错故选A.(2)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是_答案f(x)eq blcrc (avs4alco

35、1(x1，1x0，,x，0 x1)解析由图可知，图象由两条线段(其中一条不含右端点)组成，当1x0时，设f(x)axb(a0)，将(1,0)，(0,1)代入解析式，则eq blcrc (avs4alco1(ab0，,b1.)eq blcrc (avs4alco1(a1，,b1.)f(x)x1.当0 x1时，设f(x)kx(k0)，将(1，1)代入，则k1.f(x)x.即f(x)eq blcrc (avs4alco1(x1，1x0，,x，0 x1.)三、分段函数的实际应用例3A，B两地相距150公里，某汽车以每小时50公里的速度从A地到B地，在B地停留2小时之后，又以每小时60公里的速度返回A地

36、写出该车离A地的距离s(公里)关于时间t(小时)的函数关系，并画出函数图象解(1)汽车从A地到B地，速度为50公里/小时，则有s50t，到达B地所需时间为eq f(150,50)3(小时)(2)汽车在B地停留2小时，则有s150.(3)汽车从B地返回A地，速度为60公里/小时，则有s15060(t5)45060t，从B地到A地用时eq f(150,60)2.5(小时)综上可得：该汽车离A地的距离s关于时间t的函数关系为seq blcrc (avs4alco1(50t，0t3，,150，3t5，,45060t，5t7.5.)函数图象如图所示反思感悟分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明

37、确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式1函数f(x)|x1|的图象是()答案B解析方法一函数的解析式可化为yeq blcrc (avs4alco1(x1，x1，,1x，x0，,1，x0，,1，x0.)若f()4，则实数等于()A4或2 B4或2C2或4 D2或2答案B4函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(x21，0 x1，,0，x0，,x21，1x0)的定义域为_，值域为_答案(1,1)(1,1)解析定义域为各段的并集，即(0,1)0(1,0)(1,1)值域为各段的并集(0,1)0(1,0)(1,1)5已知f(n)eq blcrc (avs4al

38、co1(n3，n10，,fn5，n10，)则f(8)_.答案10解析因为810，所以f(13)13310，所以f(8)10.1知识清单：(1)分段函数的概念及求值(2)分段函数的图象2方法归纳：分类讨论、数形结合法3常见误区：(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数(2)作分段函数图象时要注意衔接点的虚实1函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(x2，x2，,f(2,x)，x2，)则f(2)等于()A1 B0 C1 D2答案A2下列图形是函数yx|x|的图象的是()答案D解析函数yx|x|eq blcrc (avs4alco1(x2，x0，,x2，x0，)故选D.3设f(x)eq

39、blcrc (avs4alco1(x2，x1，,x2，1x2，,2x，x2，)若f(x)3，则x等于()A1 Beq r(3) C.eq f(3,2) D.eq r(3)答案D解析若eq blcrc (avs4alco1(x1，,x23，)即eq blcrc (avs4alco1(x1，,x1，)无解若eq blcrc (avs4alco1(1x2，,x23，)即eq blcrc (avs4alco1(1x2，,xr(3)，)xeq r(3).若eq blcrc (avs4alco1(x2，,2x3，)即eq blcrc (avs4alco1(x2，,xf(3,2)，)无解故xeq r(3).

40、4.已知函数f(x)的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)等于()Aeq f(1,3) B.eq f(1,3)Ceq f(2,3) D.eq f(2,3)答案C解析f(x)eq blcrc (avs4alco1(x1，0 x1，,x1，1x0.)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)eq f(2,3).5电讯资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟收费0.2元；超过3分钟后，每增加1分钟收费0.1元，不足1分钟按1分钟计费通话收费S(元)与通话时间t(分钟)的函数图象可表示为下图中的()答案B6函数f(x)e

41、q blcrc (avs4alco1(2x，0 x1，,2，1x10.)由y16m，可知x10.令2mx10m16m，解得x13(立方米)8设函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(f(1,2)x1，x0，,f(1,x)，x1，则实数a的取值范围是_答案(4，)解析当a0时，f(a)eq f(1,2)a11，解得a4，符合a0；当a1，无解故a4.9已知函数f(x)的解析式为f(x)eq blcrc (avs4alco1(3x5，x0，,x5，01.)(1)求f eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,)，f(1

42、)的值；(2)画出这个函数的图象；(3)求f(x)的最大值解(1)eq f(3,2)1，f eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)2eq f(3,2)85.0eq f(1,)1，f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,)eq f(1,)5eq f(51,).10，f(1)352.(2)这个函数的图象如图在函数y3x5的图象上截取x0的部分，在函数yx5的图象上截取01的部分图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象(3)由函数图象可知，当x1时，f(x)取最大值6.10已知函数f(x)1eq f(|x|x,2)(2x2)(1)用分段函数的形式表示函数f(x)；(2)

43、画出函数f(x)的图象；(3)写出函数f(x)的值域解(1)当0 x2时，f(x)1eq f(xx,2)1，当2x0时，f(x)1eq f(xx,2)1x.所以f(x)eq blcrc (avs4alco1(1，0 x2，,1x，2x0.)(2)函数f(x)的图象如图所示(3)由(2)知，f(x)在(2,2上的值域为1,3)11设函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(r(x)，x0，,r(x)，x0，)若f(a)f(1)2，则a等于()A3 B3 C1 D1考点分段函数题点分段函数求值答案D解析f(1)eq r(1)1.f(a)f(1)f(a)12.f(a)1，即eq blcrc

44、 (avs4alco1(a0，,r(a)1)或eq blcrc (avs4alco1(a0，,r(a)1，)解得a1，解得a1.a1.12若定义运算abeq blcrc (avs4alco1(b，ab，,a，ab.)则函数f(x)x(2x)的值域为_答案(，1解析由题意得f(x)eq blcrc (avs4alco1(2x，x1，,x，x1，)画出函数f(x)的图象得值域是(，113设函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(3xb，x1，,2x，x1，)若f eq blc(rc)(avs4alco1(f blc(rc)(avs4alco1(f(5,6)4，则b_.答案eq f(1,

45、2)解析f eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,6)3eq f(5,6)beq f(5,2)b，f eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)b)4，eq blcrc (avs4alco1(f(5,2)b1，,3blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)b)b4，)无解；eq blcrc (avs4alco1(f(5,2)b1，,2blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)b)4，)解得beq f(1,2).综上，beq f(1,2).14.某工厂八年来产品累积产量C(即前t年年产量之和)与时间t(年)的函数如图，下列四种说法中正确的是_前三年中，产量增长

46、的速度越来越快；前三年中，产量增长的速度越来越慢；第三年后，这种产品停止生产；第三年后，年产量保持不变答案解析由于纵坐标表示八年来前t年产品生产总量，正确15已知函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(2，1x1，,4x，x1，)若f(1x)2，则x的取值范围是()A B0,2C2,0 D10,2考点分段函数题点分段函数求值答案D解析当11x1，即0 x2时，f(1x)2，满足条件，所以0 x2，当1x1即x2时，f(1x)4(1x)x32，解得x1，满足条件，综上有0 x2或x1.16如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系骑车者9时离开家，15时回家根据这个曲线图，请

47、你回答下列问题：(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？(3)第一次休息时，离家多远？(4)1100到1200他骑了多少千米？(5)他在9001000和10001030的平均速度分别是多少？(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？解(1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30 千米(2)1030开始第一次休息，休息了半小时(3)第一次休息时，离家17 千米(4)1100至1200他骑了13 千米(5)9001000的平均速度是10 千米/时；10001030的平均速度是14 千米/时(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合

48、实际情形32函数的基本性质32.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性学习目标1.了解函数的单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.3.会用定义证明函数的单调性知识点一增函数与减函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：(1)如果x1，x2D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数(2)如果x1，x2D，当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数思考(1)所有的函数在定义

49、域上都具有单调性吗？(2)在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2D”改为“存在x1，x2D”？答案(1)不是；(2)不能知识点二函数的单调区间如果函数yf(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开(2)单调区间D定义域I.(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大1如果f(x)在区间a，b和(b，c上都是增函数，则f(x)在区间a，c上是增函数()2函数

50、f(x)为R上的减函数，则f(3)f(3)()3若函数yf(x)在定义域上有f(1)f(2)，则函数yf(x)是增函数()4若函数yf(x)在区间D上是增函数，则函数yf(x)在区间D上是减函数()一、函数单调性的判定与证明例1根据定义，研究函数f(x)eq f(ax,x1)在x(1,1)上的单调性解当a0时，f(x)0，在(1,1)上不具有单调性，当a0时，设x1，x2为(1,1)上的任意两个数，且x1x2，所以f(x1)f(x2)eq f(ax1,x11)eq f(ax2,x21)eq f(ax1x21ax2x11,x11x21)eq f(ax2x1,x11x21)因为x1，x2(1,1)

51、且x10，x110，x210，当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在(1,1)上单调递减，当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)0时，f(x)在(1,1)上单调递减；当a0时，f(x)在(1,1)上单调递增反思感悟利用定义判断或证明函数单调性的步骤跟踪训练1求证：函数f(x)eq f(1,x2)在(0，)上是减函数，在(，0)上是增函数证明对于任意的x1，x2(，0)，且x1x2，有f(x1)f(x2)eq f(1,xoal(2,1)eq f(1,xoal(2,2)eq f(xoal(2,2)xoal(2,1),xoal(2,1)xoal(2,2)eq

52、 f(x2x1x2x1,xoal(2,1)xoal(2,2).x1x20，x1x20.f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)函数f(x)eq f(1,x2)在(，0)上是增函数对于任意的x1，x2(0，)，且x1x2，有f(x1)f(x2)eq f(x2x1x2x1,xoal(2,1)xoal(2,2).0 x10，x2x10，xeq oal(2,1)xeq oal(2,2)0.f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)函数f(x)eq f(1,x2)在(0，)上是减函数二、求单调区间并判断单调性例2(1)如图是定义在区间5,5上的函数yf(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在

53、每一单调区间上，它是增函数还是减函数？考点求函数的单调区间题点求函数的单调区间解yf(x)的单调区间有5，2)，2,1)，1,3)，3,5，其中yf(x)在区间5，2)，1,3)上是减函数，在区间2,1)，3,5上是增函数(2)作出函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(x3，x1，,x223，x1)的图象，并指出函数f(x)的单调区间解f(x)eq blcrc (avs4alco1(x3，x1，,x223，x1)的图象如图所示，由图可知，函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(x3，x1，,x223，x1)的单调递减区间为(，1和(1,2)，单调递增区间为2，)反思感

54、悟(1)函数单调区间的两种求法图象法即先画出图象，根据图象求单调区间定义法即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解(2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有跟踪训练2(1)函数yeq f(1,x1)的单调递减区间是_答案(，1)，(1，)解析方法一yeq f(1,x1)的图象可由yeq f(1,x)的图象向右平移一个单位得到，如图，所以单调减区间是(，1)，(1，)方法二函数f(x)eq f(1,x1)的定义域为(，

55、1)(1，)，设x1，x2(，1)，且x1x2，则f(x1)f(x2)eq f(1,x11)eq f(1,x21)eq f(x2x1,x11x21).因为x1x20，x110，x210，即f(x1)f(x2)所以函数f(x)在(，1)上单调递减，同理函数f(x)在(1，)上单调递减综上，函数f(x)的单调递减区间是(，1)，(1，)(2)函数y|x22x3|的图象如图所示，试写出它的单调区间，并指出单调性考点求函数的单调区间题点求函数的单调区间解y|x22x3|的单调区间有(，1，1,1，1,3，3，)，其中单调递减区间是(，1，1,3；单调递增区间是1,1，3，)三、单调性的应用例3(1)已

56、知函数f(x)x22(a1)x2在区间(，4上是减函数，则实数a的取值范围为_答案(，3解析f(x)x22(a1)x2的开口方向向上，对称轴为x1a，f(x)x22(a1)x2在区间(，4上是减函数，41a，a3，a的取值范围是(，3(2)若函数yf(x)的定义域为R，且为增函数，f(1a)f(2a1)，则a的取值范围是_答案eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)，)解析因为yf(x)的定义域为R，且为增函数，f(1a)f(2a1)，所以1aeq f(2,3)，所以所求a的取值范围是eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)，).延伸探究在本例(2)中，若将定义域R

57、改为(1,1)，其他条件不变，则a的范围又是什么？解由题意可知eq blcrc (avs4alco1(11a1，,12a11.)解得0a1.因为f(x)在(1,1)上是增函数，且f(1a)f(2a1)，所以1aeq f(2,3).由可知，eq f(2,3)a1，即所求a的取值范围是eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)，1).反思感悟函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围(2)若一个函数在区间a，b上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的跟踪训练3已知函数f(

58、x)x22ax3在区间1,2上具有单调性，求实数a的取值范围解函数f(x)x22ax3的图象开口向上，对称轴为直线xa，画出草图如图所示由图象可知函数在(，a和a，)上都具有单调性，因此要使函数f(x)在区间1,2上具有单调性，只需a1或a2，从而a(，12，)1函数yeq f(6,x)的减区间是()A0，) B(，0C(，0)，(0，) D(，0)(0，)答案C2函数f(x)在R上是减函数，则有()Af(3)f(5) Df(3)f(5)答案C解析因为函数f(x)在R上是减函数，3f(5)3函数y|x2|在区间3,0上()A递减 B递增C先减后增 D先增后减答案C解析因为y|x2|eq blc

59、rc (avs4alco1(x2，x2，,x2，x2.)作出y|x2|的图象，如图所示，易知函数在3，2)上为减函数，在2，0上为增函数4若f(x)x22(a2)x2的单调增区间为3，)，则a的值是_答案1解析f(x)x22(a2)x2的单调增区间为2a，)，2a3，a1.5已知函数f(x)为定义在区间1,1上的增函数，则满足f(x)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)的实数x的取值范围为_答案eq blcrc)(avs4alco1(1，f(1,2)解析由题设得eq blcrc (avs4alco1(1x1，,xf(1,2)，)解得1xeq f(1,2) Bkeq f(1

60、,2)Ckeq f(1,2) Dkf(2a) Bf(a2)f(a)Cf(a2a)f(a) Df(a21)a2，所以f(a21)f(a2)故选D.5已知函数yax和yeq f(b,x)在(0，)上都是减函数，则函数f(x)bxa在R上是()A减函数且f(0)0 B增函数且f(0)0 D增函数且f(0)0答案A解析因为yax和yeq f(b,x)在(0，)上都是减函数，所以a0，b0，f(x)bxa为减函数且f(0)a0，故选A.6已知函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(2x1，x1，,5x，x1，)则f(x)的单调递减区间是_答案(，1)解析当x1时，f(x)是增函数，当x1时，