2021版数学（新教材）必修 第一册人教A版：第二章 章末复习

1、章末复习一、不等式性质的应用1不等式的性质常用来比较大小和证明不等式，防止由于考虑不全面出现错误，有时也可结合特殊值法求解2掌握不等式的性质，重点提升数学抽象和数学运算素养例1下列结论正确的是()A若ab，则ac2bc2B若a2b2，则abC若ab，c0，则acbcD若eq r(a)eq r(b)，则ab2，不满足ab，B项错；选项C中，acbc，所以C项错；选项D中，因为0eq r(a)eq r(b)，由不等式的可乘方性，(eq r(a)2(eq r(b)2，即a0，b0，则下列不等式中不成立的是()Aaeq f(1,a)2 Ba2b22abCabeq f(1,ab)2 D.eq f(1,a

2、)eq f(1,b)2eq f(2,ab)答案D解析可采用排除法或特殊值法(特殊值法)令ab1，则eq f(1,a)eq f(1,b)2,2eq f(2,ab)3，故D不正确二、解不等式1对于实数的一元二次不等式(分式不等式)首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后能分解因式的变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集2对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏3掌握不等式的解法，重点提升逻辑推理和数学运算素养例2解关于x的不等式x2(aa2)xa30(aR)解原不等式可化为(xa)(xa2)0.当a0时，aa2，原不等式的解集为x|xa2；当a0时，a2a，原不等式的解集为x|x0

3、；当0a1时，a2a，原不等式的解集为x|xa；当a1时，a2a，原不等式的解集为x|x1；当a1时，aa2，原不等式的解集为x|xa2；综上所述，当a1时，原不等式的解集为x|xa2；当0a1时，原不等式的解集为x|xa；当a1时，原不等式的解集为x|x1；当a0时，原不等式的解集为x|x0反思感悟对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏跟踪训练2若不等式ax25x20的解集是eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(f(1,2)xa5的解集解(1)依题意，可得

4、ax25x20的两个实数根为eq f(1,2)和2，由根与系数的关系，得eq blcrc (avs4alco1(f(1,2)2f(2,a)，,f(1,2)2f(5,a)，)解得a2.(2)将a2代入不等式，得eq f(12x,x1)3，即eq f(12x,x1)30，整理得eq f(x2,x1)0，即(x1)(x2)0，解得2x1，则不等式的解集为x|2x0，b0)是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际问题相结合，同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查学生恒等变形的技巧，另外，基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现2熟练掌握

5、基本不等式的应用，重点提升数学抽象和数学运算素养例3(1)已知2ab1，a0，b0，则eq f(1,a)eq f(1,b)的最小值是()A2eq r(2) B32eq r(2)C32eq r(2) D3eq r(2)答案C解析eq f(1,a)eq f(1,b)(2ab)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)f(1,b)3eq f(b,a)eq f(2a,b)32eq r(f(b,a)f(2a,b)32eq r(2).当且仅当eq f(b,a)eq f(2a,b)，即a1eq f(r(2),2)，beq r(2)1时，等号成立eq f(1,a)eq f(1,b)的最小值是32e

6、q r(2).(2)已知a，b，c都是正数，且a2bc1，则eq f(1,a)eq f(1,b)eq f(1,c)的最小值是()A32eq r(2) B32eq r(2)C64eq r(2) D64eq r(2)答案D解析eq f(1,a)eq f(1,b)eq f(1,c)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)f(1,b)f(1,c)(a2bc)4eq f(2b,a)eq f(c,a)eq f(a,b)eq f(c,b)eq f(a,c)eq f(2b,c)42eq r(f(2b,a)f(a,b)2eq r(f(c,a)f(a,c)2eq r(f(c,b)f(2b,c)64e

7、q r(2)，当且仅当eq f(2b,a)eq f(a,b)，eq f(c,a)eq f(a,c)，eq f(c,b)eq f(2b,c)，即ac1eq f(r(2),2)，beq f(r(2)1,2)时，等号成立反思感悟(1)注意寻求已知条件与目标函数之间的联系(2)利用添项和拆项的配凑方法，使积(或和)产生定值特别注意“1”的代换跟踪训练3已知正常数a，b和正变数x，y满足ab10，eq f(a,x)eq f(b,y)1，xy的最小值为18，求a，b的值解因为xy(xy)1(xy)eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,x)f(b,y)abeq f(ay,x)eq f(bx,y)

8、ab2eq r(ab)(eq r(a)eq r(b)2，当且仅当eq f(ay,x)eq f(bx,y)，即eq f(y,x)eq r(f(b,a)时，等号成立，所以xy的最小值为(eq r(a)eq r(b)218，又ab10，所以ab16.所以a，b是方程x210 x160的两根， 所以a2，b8或a8，b2.四、不等式在实际问题中的应用不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，构建数学模型是关键，重点培养数学建模、数学运算素养例4某厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1x10)，每小时可获得的利润是50

9、eq blc(rc)(avs4alco1(5xf(3,x)1)元(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于1 500元，求x的取值范围；(2)要使生产480千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润解(1)根据题意，有100eq blc(rc)(avs4alco1(5xf(3,x)1)1 500，即5x214x30，得x3或xeq f(1,5)，又1x10，所以3x10.(2)设生产480千克该产品获得的利润为u元，则u24 000eq blc(rc)(avs4alco1(5f(1,x)f(3,x2)，1x10，记yeq f(3,x2)eq f(1,x)5(1x10

10、)，则y3eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(1,6)2eq f(1,12)5(1x10)，当x6时，y取得最大值eq f(61,12)，此时u24 000eq f(61,12)122 000，故该厂以6千克/时的速度生产480千克该产品可获得最大利润122 000元反思感悟认识数学模型在科学、社会工程等诸多领域的作用，提升应用能力、实践能力，是数学建模核心素养的培养目标之一跟踪训练4某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别

11、为4米和10米(如图所示)(1)若设休闲区的长和宽的比eq f(A1B1,B1C1)x(x1)，写出公园ABCD所占面积S与x的关系式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？解(1)设休闲区的宽B1C1为a米，则长A1B1为ax米，由a2x4 000，得aeq f(20r(10),r(x).则S(a8)(ax20)a2x(8x20)a1604 000(8x20)eq f(20r(10),r(x)16080eq r(10)eq blc(rc)(avs4alco1(2r(x)f(5,r(x)4 160(x1)(2)80eq r(10)eq blc(rc)(avs4

12、alco1(2r(x)f(5,r(x)4 16080eq r(10)2eq r(2r(x)f(5,r(x)4 1601 6004 1605 760.当且仅当2eq r(x)eq f(5,r(x)，即x2.5时，等号成立，此时a40，ax100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米1已知不等式ax2bx20的解集为x|1x2，则不等式2x2bxa0的解集为()A.eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(xf(1,2) B.eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(1xf(1,2)Cx|2

13、x1 Dx|x1答案B解析方法一由题设条件知1,2是方程ax2bx20的两实根由一元二次方程根与系数的关系，知eq blcrc (avs4alco1(12f(b,a)，,12f(2,a)，)解得eq blcrc (avs4alco1(a1，,b1.)则2x2bxa0的解集即为2x2x10的解集，是eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(1xf(1,2).方法二由题设条件知1,2是方程ax2bx20的两实根分别把x1,2代入方程ax2bx20中，得eq blcrc (avs4alco1(ab20，,4a2b20，)解得eq blcrc (avs4alco1(a

14、1，,b1.)则2x2x10的解集是eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(1x0，b0，则以下不等式中不恒成立的是()A(ab)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)f(1,b)4 Ba3b32ab2Ca2b222a2b D.eq r(|ab|)eq r(a)eq r(b)答案B解析当ab时，a3b32ab2，故a3b32ab2不恒成立，故选B.3若不等式x2ax10在0 x2上恒成立，则a的最小值为()A0 B2 Ceq f(5,2) D3答案B解析x2ax10在0 x2上恒成立，axx21在0 x2上恒成立aeq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(xf(1,x)max，00，a0)在x3时取得最小值，则a_.答案36解析y4xeq f(a,x)2eq r(4xf(a,x)4eq r(a)(x0，a0)，当且仅当4xeq f(a,x)，即xeq f(r(a),2)时等号成立，此时ymin4eq