第五章中心力场（章节课程）

1、即角动量 是守恒量。因而 也是守恒量。第五章 中心力场 5.1 中心力场中粒子运动的一般性质一、角动量守恒与径向方程设质量为的粒子在中心力场中运动，则哈密顿量算符表示为：对于势能只与 r 有关而与, 无关的有心力场，使用球坐标求 解较为方便。于是H可改写为：1教书育人在求解中心力场中粒子的能量本征方程时，选用 为力学量完全集是很方便的。这是因为：当选用了守恒量完全集（ ， ， ）来对态进行分类以后，属于同一个能级的诸简并态的正交性问题将自动得到保证。能量本征方程为:考虑到中心力场的特点：球对称性，选用球坐标系是方便的，此时利用xz球 坐 标ry2教书育人左边第一项称为径向动能算符，第二项称为离

2、心势能。H的本征方程 此式使用了角动量平方 算符 L2 的表达式：3教书育人取 :分离变量,径向方程可写为： 4教书育人径向波函数 或 的归一化条件可写成:，（不慢于 ）求解方程时，可作以下替换，使得计算更方便，令： 代入式得：由于波函数要求有限，所以要求这就是径向方程的一个定解条件。 5教书育人（1）不同的中心力场中粒子的能量本征波函数的差别仅在于径向波函数Rl(r)或l(r)，它们由中心势V(r)的性质决定。一般而言，中心力场中粒子的能级至少为2l+1重简并的。 注意：（2）在一定边界条件下求解径向方程，即可得出能量本征值E。对于非束缚态，E是连续变化的。对于束缚态，则E取离散值。（3）在

3、求解径向方程时，由于束缚态边界条件，将出现径向量子数nr. 6教书育人二、两体问题化为单体问题 两个质量分别为m1和m2的粒子，相互作用 只依赖于相对距离。这个二粒子体系的能量本征方程为：ET为体系的总能量。引入质心坐标 和相对坐标 1x+r1r2rR 2Oyz二体运动可化为：I 一个具有折合质量的粒子在场中的运动 II 二粒子作为一个整体的质心运动。 7教书育人可以证明：其中 体系的总质量， 约化质量或折合质量。 对两个粒子坐标的微商变换成对相对坐标和质心坐标的微商。 8教书育人则二粒子体系的能量本征方程可化为：此方程可分离变量，令得：9教书育人分解为二个本征方程: 描述质心运动，是能量为E

4、C的自由粒子的能量本征方程，EC是质心运动能量。即质心按能量为EC的自由粒子的方式运动。这没有提供与体系内部状态有关的任何信息。 描述相对运动，E是相对运动能量。可以看出与单粒子能量本征方程形式上相同，只不过应把m理解为约化质量，E理解为相对运动能量。10教书育人5.4 氢原子量子力学发展史上最突出得成就之一是对氢原子光谱和化学元素周期律给予了相当满意得解释。氢原子是最简单的原子，其 Schrodinger方程可以严格求解，氢原子理论还是了解复杂原子及分子结构的基础。11教书育人氢原子的原子核是一个质子，带电+e，在它的周围有一个电子绕着它运动 。它与电子的库仑吸引能为（取无穷远为势能零点）这

5、是一个两体问题。1x+r1r2rR 2Oyz12教书育人具有一定角动量的氢原子的径向波函数满足下列方程： 边界条件：为电子的约化质量， me和mp分别为电子和质子的质量。 (1) 13教书育人一、氢原子的能级氢原子的能量本征值：(2)玻尔半径：主量子数：n见110页：氢原子的能级图14教书育人15教书育人与En相应的归一化的径向波函数为：二、氢原子的波函数 合流超几何函数16教书育人氢原子的束缚态能量本征函数为：、定态波函数的共同本征函数。是氢原子体系和主量子数角动量量子数磁量子数17教书育人18教书育人19教书育人1、能级简并度氢原子的能级只与主量子数n有关，对应的本征态 因此能级是简并的（

6、除n=1外），简并度为讨论：20教书育人2、氢原子核外电子的几率分布当氢原子处于nlm态时，在点周围的体积元内发现电子的几率为:人们常常形象地把这个几率分布叫做“几率云”或“电子云” .21教书育人（1）在(r, r+dr)球壳中找到电子的几率径向概率分布 称为径向几率密度或径向分布函数。取最大值的半径称为最可几半径。使22教书育人例如：氢原子处于基态，求最可几半径?解： 令经检验为最大值时是最可几半径 所以23教书育人1，02，03，04，00 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36r / a0a0Wn l(r)0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1Wn l

7、 (r) r 的函数关系n，lRn l (r) 的节点数 n r = n 124教书育人2，13，14，10 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48r / a0a0Wn l(r)0.24 0.20 0.16 0.12 0.08 0.04Wn l (r) r 的函数关系n，lRn l (r) 的节点数 n r = n 125教书育人讨论：、关于描述氢原子核外电子分布问题旧量子论：电子在核外作轨道运动 量子力学： 由于电子的波粒二象性使轨道概念失去了意义，氢原子核外电子是以几率分布的形式出现。、关于氢原子的第一玻尔轨道半径 量子力学几率分布的观点解释a的物理意义：当氢原

8、子处于1s态时，在r=a处找到电子的几率最大，在ra的区域仍有电子分布，只不过几率较小而已。 26教书育人对 r ( 0) 积分Rnl(r)已归一电子在 (,) 附近立体角 d = sin d d内的几率右图示出了各种 ,m态下，Wm() 关于 的函数关系，由于它与 角无关，所以图形都是绕z轴旋转对称的立体图形。该几率与 角无关例1. =0, m=0，有 ： W00 = (1/4)，与 也无关，是一个球对称分布。xyz(2) 在中找到电子的几率角向分布方向的立体角27教书育人例2. =1, m= 1时，W1,1() = (3/8)sin2 。在 = /2时，有最大值。 在 = 0 沿极轴方向（

9、z向）W1,1 = 0。例3. = 1, m = 0 时，W1,0() = 3/4 cos2。正好与例2相反，在 = 0时，最大；在 =/2时，等于零。zzyxxyZ28教书育人m = -2m = +2m = +1m = -1m = 0 = 229教书育人证明：的氢原子中的电子，在的方向上被发现的几率最大。解： 的电子，其 当时为最大值。即在方向发现电子的几率最大。 在其它方向发现电子的几率密度均在之间。例题130教书育人3、类氢离子 以上结果对于类氢离子（He+，Li+，Be+等，这些离子的原子核外，只有一个电子）也都适用。但需把核电荷+e换为+Ze（Z是核所带正电荷数），而换为相应的约化质

10、量。特别是类氢离子的能级公式为 31教书育人设氢原子处于状态 求氢原子能量、角动量平方、角动量z分量的可能值及其几率，并求其平均值。例题232教书育人的可能值为： ，解：能量的可能值为： 概率分别为：1/3，1/2，1/6概率分别为：1/3，1/2，1/6概率分别为：1/3，1/2，1/6 的可能值为： ，平均值分别为：33教书育人设氢原子处于状态求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。例题334教书育人氢原子处在基态，求： (1)r的平均值；(2)势能 的平均值； (3)最可几半径； (4)动能的平均值； 例题435教书育人 解：(1) 36

11、教书育人(3)电子出现在r+dr球壳内出现的几率为 令 当为几率最小位置 是最可几半径。 37教书育人(4) 38教书育人解： （1）三维谐振子 Hamilton 量例1. 求三维谐振子能级，并讨论它的简并情况5.3 二维、三维各向同性谐振子 （105页） 39教书育人（2）本征方程及其能量本征值解得能量本征值为：则波函数三方向的分量 分别满足如下三个方程：因此，设能量本征方程的解为： 如果系统 Hamilton 量可以写成 则必有：40教书育人（3）简并度当 N 确定后，能量本征值确定，但是对应同一N值的 n1, n2, n3 有多种不同组合，相应于若干不同量子状态，这就是简并。其简并度可决定如下：当n1 , n2 确定后， n3 = N - n1 - n2，也就确定