计算方法5_偏微分方程数值解法

1、偏微分方程的数值解法Numerical Solutions to Partial Differential Equations对象对象双曲型方程双曲型方程:0 xuatuLu (5.1) x),x()0,x(u给定初始条件给定初始条件建立差分格式建立差分格式将将xt平面分割成矩形网格平面分割成矩形网格,2,1 ,0j,jttt,2,1,0k,khxx0jk 用用(k,j)表示网格节点表示网格节点(xk,tj)，网格节点上的函数，网格节点上的函数值为值为u(k,j)用差商表示导数用差商表示导数) j ,x(u2hh) j ,k(u) j ,1k(uxu)t,k(u2) j ,k(u)1j ,k(

2、utuxj ,ktj ,k ) j ,x(u6hh2) j ,1k(u) j ,1k(uxu)t,k(u62)1j ,k(u)1j ,k(utux2j ,kt2j ,k 方程方程(5.1)式变为式变为称为误差项称为误差项其中其中)h() j ,x(u2ah)t,k(u2),h(R0),h(Rh) j ,k(u) j ,1k(ua) j ,k(u)1j ,k(uxt11 0huuauuj ,kj ,1kj ,k1j ,k (5.2)略去误差项，得到差分方程略去误差项，得到差分方程加上初始条件，构成差分格式加上初始条件，构成差分格式k0,kj ,kj ,1kj ,k1j ,ku)uu(aruu 差

3、分格式的收敛性和稳定性差分格式的收敛性和稳定性差分格式的依赖区域差分格式的依赖区域库朗条件：差分格式收敛的必要条件是差分格式的依库朗条件：差分格式收敛的必要条件是差分格式的依赖区域应包含微分方程的依赖区域赖区域应包含微分方程的依赖区域稳定性稳定性对象对象抛物型方程抛物型方程:Tt0,0b0 xubtuLu22 (5.3)x(g) t ,1(u),x(g) t ,0(u1x0),x()0,x(u2x),x()0,x(u121 边界条件边界条件）初边值混合问题）初边值混合问题（）初值问题）初值问题（定解条件有两类定解条件有两类建立差分格式建立差分格式将将xt平面分割成矩形网格平面分割成矩形网格,2

4、,1 ,0j,jttt,2,1,0k,khxx0jk 用用(k,j)表示网格节点表示网格节点(xk,tj)，网格节点上的函数，网格节点上的函数值为值为u(k,j)用差商表示导数用差商表示导数) j ,x(u12hh) j ,1k(u) j ,k(u2) j ,1k(uxu)t,k(u2) j ,k(u)1j ,k(utux)4(22j ,k22tj ,k 方程方程(5.3)式变为式变为称为误差项称为误差项其中其中)h() j ,x(u12bh)t,k(u2),h(R0),h(Rh) j ,1k(u) j ,k(u2) j ,1k(ub) j ,k(u)1j ,k(u2)4(x2t112 )uu

5、2u(bsuuj ,1kj ,kj ,1kj ,k1j ,k (5.4)略去误差项，并令略去误差项，并令s/h2 得到差分方程得到差分方程边界条件差分化（第二、三类边界条件）边界条件差分化（第二、三类边界条件）) t ,x(u2hh) t ,x(u) t ,x(uxu) t ,x(u2hh) t ,0(u) t ,h(uxux1NNt ,1xt ,0 常用的差分格式显式格式显式格式 ,2,1 ,0j),j (gu),j (gu1N,2,1k)kh(u,2,1 ,0j,1N,2,1k)uu2u(bsuu2j ,N1j ,00,kj ,1kj ,kj ,1kj ,k1j ,k隐式格式隐式格式 ,2

6、,1 ,0j),j (gu),j (gu1N,2,1k)kh(u,2,1 ,0j,1N,2,1k)uu2u(bsuu2j ,N1j ,00,kj ,1kj ,kj ,1k1j ,kj ,kRichardson格式格式 ,2,1 ,0j),j (gu),j (gu1N,2,1k)kh(u,2,1 ,0j,1N,2,1k)uu2u(bs2uu2j ,N1j ,00,kj ,1kj ,kj ,1k1j ,k1j ,k菱形格式菱形格式 ,),(),(,)(,)(,21012121012122100111111jjgujguNkkhujNkuuuubsuujNjkjkjkjkjkjkjk 六点格式六点格

7、式 ,),(),(,)(,)()(,2101212101212222210011111111jjgujguNkkhujNkuuubsuuubsuujNjkjkjkjkjkjkjkjkjk 对象对象椭圆型方程椭圆型方程:)y,x( fyuxuuPoisson0yuxuuLaplace22222222 方程方程方程方程(5.5)给定的边界条件给定的边界条件题，即在边界上满足题，即在边界上满足主要定解条件是边值问主要定解条件是边值问 )y,x()y,x(u)y,x()y,x( fyuxuu2222建立差分格式建立差分格式将将xy平面分割成矩形网格平面分割成矩形网格,2,1,0j,jyy,2,1,0k,khxxjk 用用(k,j)表示网格节点表示网格节点(xk,yj)，网格节点上的函数，网格节点上的函数值为值为u(k,j)用差商表示导数用差商表示导数)y,k(u12h)1j ,k(u) j ,k(u2)1j ,k(uyu) j ,x(u12hh) j ,1k(u) j ,k(u2) j ,1k(uxux)4(22j ,k22x)4(22j ,k22 方程方程(5.5)式变为式变为称为误差项称为误差项其中其中)h() j ,x(u12bh)y,k(u12b),h(Rf),h(R)1j ,k(u) j ,k(u2)1j ,k(uh) j ,1k(u) j ,k(u2) j ,1k(u22)4