距离最短或最大问题分析

1、路虽远，行则必至；事虽难，做则必成 PAGE 11初中数学专题复习：最短距离问题分析 最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。利用一次函数和二次函数的性质求最值。一、“最值”问题大都归于两类基本模型：、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值、归于几何模型，这类模型又分为两种

2、情况：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。 （1）归于“两点之间的连线中，线段最短”ABPl几何模型：条件：如图，、是直线同旁的两个定点问题：在直线上确定一点，使的值最小方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小（不必证明）模型应用：例1 如图1，正方形的边长为2，为的中点，是上一动点连结，由正方形对称性可知，与关于直线对称连结交于，则的最小值是_；如图2，的半径为2，点在上，是上一动点，求的最小值；例3 如图3，是内一点，分别

3、是上的动点，求周长的最小值解：（1）的最小值是 （2）的最小值是（3）周长的最小值是注意：至于求线段的长，仍是以归入“解直角三角形”为第一选择。不管在什么背景下，有关线段之和最短问题，总是化归到“两点之间的所有连线中，线段最短”，而转化的方法大都是借助于“轴对称点”ACBPACBPQACBPQ例4 如图，（1），在中，为边上一定点，（不与点B，C重合），为边上一动点，设的长为，请写出最小值，并说明理由。（1）（1）（1）【观察与思考】其实，本题和例2中的（2）基本上是相同的，是“在直线上求一点，使它到同侧的两个定点和的距离之和最小”。因此，可由图（1）（连结关于的对称点与所成线段，交于。或图（

4、1）（连结关于的对称点与所成线段，交于，都同样可得最小值。解：如图（1），作点关于的对称点，连结交于点，易知，。在中，又，在上任意取一异于的点，连结，则 对边上的动点，最小值为。（2）归于“三角形两边之差小于第三边”几何模型：条件：如下图，、是直线同旁的两个定点问题：在直线上确定一点，使的值最大方法：作过点与点B的直线，直线AB与交于点，则的值最大（不必证明）若、是直线异旁的两个定点则先做对称点，再连接对称点与A（或B）。模型应用：例1 抛物线交轴于A，B两点，交轴于点已知抛物线的对称轴为.求（1）求抛物线的解析式；ABC （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使点到B，C两点的距离之差最大？

5、若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。例2 已知：如图，把矩形放置于直角坐标系中，取的中点，连结，把沿轴的负方向平移的长度后得到.(1)试直接写出点的坐标；(2)已知点与点在经过原点的抛物线上，点在第一象限内的该抛物线上移动，过点作轴于点，连结.试问在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最大.解：(1)依题意得：； (2) ，. 抛物线经过原点，设抛物线的解析式为又抛物线经过点与点 解得：抛物线的解析式为.存在点，使得的值最大.抛物线的对称轴为直线，设抛物线与轴的另一个交点为，则点.点、点关于直线对称， 要使得的值最大，即是使得的值最大，根据三角形两边之差小于第三边可知，当、三点在同一

6、直线上时，的值最大. 设过、两点的直线解析式为， 解得：直线的解析式为.当时，.存在一点使得最大【超强大脑训练营】ADEPBC1.如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（ ） A B C3 D 第2题2一次函数的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）（1）求该函数的解析式；（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PCPD的最小值，并求取得最小值时P点坐标解：(1)将点A、B的坐标代入ykxb并计算得k2，b4解析式为：y2x4；(2)设点C关于点O的对称点为C，连结PC、DC，则PCPC

7、PCPDPCPDCD，即C、P、D共线时，PCPD的最小值是CD连结CD，在RtDCC中，CD2；易得点P的坐标为(0，1)(亦可作RtAOB关于y轴对称的)3. 如图，抛物线的顶点为A，与y 轴交于点BBOAxy(1)求点A、点B的坐标；(2)若点P是x轴上任意一点，求证：PA-PBAB；(3)当PA-PB最大时，求点P的坐标.解：(1)令x=0，得y=2， B(0，2) A(-2，3)(2)证明：.当点P是AB的延长线与x轴交点时，PA-PB=AB；.当点P在x轴上又异于AB的延长线与x轴的交点时，BOAxyPH在点P、A、B构成的三角形中，PA-PBAB. 综合上述：PA-PBAB.(3

8、)作直线AB交x轴于点P由(2)可知：当PA-PB最大时，点P是所求的点作AHOP于H BOOP BOP=AHP，且BPO=APH BOPAHP 由(1)可知：AH=3、OH=2、OB=2 即 OP=4， P(4，0)yOxPDB4. 如图，在矩形中，已知、两点的坐标分别为，为的中点设点是平分线上的一个动点（不与点重合）（1）试证明：无论点运动到何处，总与相等；（2）当点运动到与点的距离最小时，试确定过三点的抛物线的解析式；（3）设点是（2）中所确定抛物线的顶点，当点运动到何处时，的周长最小？求出此时点的坐标和的周长；yOxDBPEFM解：（1）点是的中点，又是的角平分线，（2）过点作的平分线

9、的垂线，垂足为，点即为所求易知点的坐标为（2，2），故，作，是等腰直角三角形，点的坐标为（3，3） 抛物线经过原点， 设抛物线的解析式为又抛物线经过点和点， 有 解得抛物线的解析式为（3）由等腰直角三角形的对称性知D点关于的平分线的对称点即为点连接，它与的平分线的交点即为所求的点（因为，而两点之间线段最短），此时的周长最小抛物线的顶点的坐标，点的坐标， 设所在直线的解析式为，则有，解得所在直线的解析式为点满足，解得，故点的坐标为 的周长即是5. 如图（1），抛物线和轴的交点为为的中点，若有一动点，自点处出发，沿直线运动到轴上的某点（设为点），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点），最后

10、又沿直线运动到点，求使点运动的总路程最短的点，点的坐标，并求出这个最短路程的长。AFEM解：如图（1），由题意可得（0，3），抛物线的对称点为，点关于轴的对称点为，点关于抛物线对称轴的对称点为（6，3）。连结。根据轴对称性及两点间线段最短可知，的长就是所求点运动中最短总路程的长，在直线的方程为（过程略）。AFEMB33设与的交点为则为在轴上所求的点，与直线的交点为所求的F点。可得点的坐标为（2，0），F点的坐标为）。由勾股定理可求出（过程略）所以点运动的总路程（）最短时间为。不管在什么背景下，有关线段之和最短问题，总是化归到“两点之间的所有连线中，线段最短”，而转化的方法大都是借助于“轴对称点

11、”信心测试1.已知：抛物线的对称轴为与轴交于两点，与轴交于点其中、（1）求这条抛物线的函数表达式（2）已知在对称轴上存在一点P，使得的周长最小请求出点P的坐标（3）若点是线段上的一个动点（不与点O、点C重合）过点D作交轴于点连接、设的长为，的面积为求与之间的函数关系式试说明是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由ACxyBO5题图ACxyBO解：（1）此抛物线的解析式为（2）连结、.因为的长度一定，所以周长最小，就是使最小.点关于对称轴的对称点是点，与对称轴的交点即为所求的点.（第24题图）OACxyBEPD设直线的表达式为则解得此直线的表达式为把代入得点的坐标为2.如图，抛

12、物线的顶点P的坐标为，交x轴于A、B两点，交y轴于点DOxyBEPAC（1）求抛物线的表达式（2）把ABC绕AB的中点E旋转180，得到四边形ADBC判断四边形ADBC的形状，并说明理由（3）试问在线段AC上是否存在一点F，使得FBD的周长最小，若存在，请写出点F的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）由题意知DOxyBEPACP解得， 抛物线的解析式为 （2）设点A（，0），B（，0），则，解得 OA1，OB3又tanOCBOCB60，同理可求OCA30ACB90 由旋转性质可知ACBD，BCAD 四边形ADBC是平行四边形 又ACB90四边形ADBC是矩形 （3）延长BC至N，使假设存在一点

13、F，使FBD的周长最小即最小DB固定长只要FD+FB最小又CABN FD+FBFD+FN当N、F、D在一条直线上时，FD+FB最小 又C为BN的中点， （即F为AC的中点） 又A（1，0），C（0，EQ R(,3)） 点F的坐标为F（，） 存在这样的点F（，），使得FBD的周长最小 3.恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世著名的恩施大峡谷和世界级自然保护区星斗山位于笔直的沪渝高速公路同侧，、到直线的距离分别为和，要在沪渝高速公路旁修建一服务区，向、两景区运送游客小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（与直线垂直，垂足为），到、的距离之和，图（2）是方案二的示意图（点关于直线的对称点是，连接交直线于点），到、的距离之和（1）求、，并比较它们的大小；（2）请你说明的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，到直线的距离为，请你在旁和旁各修建一服务区、，使、组成的四边形的周长最小并求出这个最小值BAPX图（1）YXBAQPO图（3）BAPX图（2）解：图10（1）中过B作BCAP,垂足为C,则PC40,又AP10, AC30 在RtABC 中，AB50 AC3