选修4-4圆锥曲线的参数方程(1)(2)(3)

1、二二. .圆锥曲线的参数方程圆锥曲线的参数方程 如下图，以原点如下图，以原点O为圆心，分别以为圆心，分别以a，b（ab0）为半径作两个同心圆，设为半径作两个同心圆，设A为大圆上的任意一点，连为大圆上的任意一点，连接接OA,与小圆交于点与小圆交于点B ，过点，过点A作作ANox，垂足为，垂足为N，过点过点B作作BMAN，垂足为，垂足为M，求当半径，求当半径OA绕点绕点O旋旋转时点转时点M轨迹的参数方程轨迹的参数方程. OAMxyNB分析：设分析：设M点的坐标为（点的坐标为（x,y)点点A 的横坐标与的横坐标与M点的横坐点的横坐标相同标相同,点点B 的纵坐标与的纵坐标与M点的纵坐标点的纵坐标相同相

2、同. 而而A、B的坐标可以通过的坐标可以通过引进参数建立联系引进参数建立联系.OAMxyNB解：解：设设XOA=, 则则A: (acos, a sin),B: (bcos, bsin),由此由此:即为即为点点M M轨迹的轨迹的参数方程参数方程. . sinbycosax( 为 参 数)消去参数得消去参数得: :,bya12222x即为即为点点M M轨迹的轨迹的普通普通方程方程. . 如下图，以原点如下图，以原点O为圆心，分别以为圆心，分别以a，b（ab0）为半径作两个同心圆，设为半径作两个同心圆，设A为大圆上的任意一点，连为大圆上的任意一点，连接接OA,与小圆交于点与小圆交于点B ，过点，过点

3、A作作ANox，垂足为，垂足为N，过点过点B作作BMAN，垂足为，垂足为M，求当半径，求当半径OA绕点绕点O旋旋转时点转时点M的轨迹参数方程的轨迹参数方程. 1 .参数方程参数方程 是椭圆是椭圆 的参数方程的参数方程.cosxasinyb2 .在椭圆的参数方程中，常数在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭分别是椭圆的长半轴长和短半轴长圆的长半轴长和短半轴长. ab 另外另外 称为称为离心角离心角,规定参数规定参数 的取值的取值范围是范围是0, 2)cos ,sin .xaXyb焦点在 轴cos ,sin .x bYya焦点在 轴( 为 参 数)y ya aa ab b22221 （ .0)xb

4、OAMxyNB归纳比较归纳比较椭圆的标准方程椭圆的标准方程: :12222byax椭圆的参数方程中参数椭圆的参数方程中参数的几何意义的几何意义: :)(sinbycosa为为参参数数 xxyO圆的标准方程圆的标准方程: :圆的参数方程圆的参数方程: : x2+y2=r2)(sinycos为为参参数数 rrx的几何意义是的几何意义是AOP=，是旋转角，是旋转角PA椭圆的参数方程椭圆的参数方程: :是是AOX=,不是不是MOX=.称离心角称离心角【练习【练习1】把下列普通方程化为参数方程把下列普通方程化为参数方程. 22149xy22116yx (1)(2)3 cos5 sinxy8 cos10

5、sinxy(3)(4)把下列参数方程化为普通方程把下列参数方程化为普通方程2 cos(1)3sinxycos(2)4sinxy2264100(4)1yx22925(3)1yx练习练习2：已知椭圆的参数方程为已知椭圆的参数方程为 ( 是参数是参数) ，则此椭圆的长轴长为（，则此椭圆的长轴长为（ ），），短轴长为（短轴长为（ ），焦点坐标是（），焦点坐标是（ ），），离心率是（离心率是（ ）。）。2cos sinxy4232( , 0)3例例1、如图，在椭圆如图，在椭圆x29+y24=1上求一点上求一点M，使使M到直线到直线 l：x+2y-10=0的距离最小的距离最小.xyOP分析分析1平移直线平

6、移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求至首次与椭圆相切，切点即为所求.22204936xymxy000,M(,)消元，利用，求出进而求得切点 mxyM M设 (3 cos,2 sin)是椭圆上任一点.|3cos4sin -10|5d则小结：小结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。例例1、如图，在椭圆如图，在椭圆x29+y24=1上求一点上求一点M，使，使M到直线到直线 l：x+2y-10=0的距离最小的距离最小.分析分析23cos()2sinxy椭圆参数

7、方程为：为参数34|5cossin-10|555（）0|5cos-10|5（）00034cos,sin55其中满足05d当=0时, 取最小值，0098coscos,2sin2sin55此时339 8M( , )210055 5Mxy时，点与直线的距离取最小值。例例2.已知椭圆已知椭圆 ,求椭圆内接矩形求椭圆内接矩形面积的最大值面积的最大值.22221(0)xyabab解：设椭圆内接矩形的一个顶点坐标为解：设椭圆内接矩形的一个顶点坐标为( cos , sin )ab4cossinSab矩形()24kkZSab矩形当时，最大。所以椭圆内接矩形面积的最大值为所以椭圆内接矩形面积的最大值为2ab.2s

8、in 2ab2ab例例3:已知已知A,B两点是椭圆两点是椭圆 与坐标轴正半轴的两个交点与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭圆弧上在第一象限的椭圆弧上求一点求一点P,使四边形使四边形OAPB的面积最大的面积最大.22941yx:解 由椭圆参数方程，设点P(3cos ,2sin )PAB即求点 到直线的距离的最大值。,ABCABPS面积一定需求 S最大即可132xy直线AB的方程为：22| cossin6|23d6662 sin()1413,d当 =时有最大值 面积最大.43 22P这时点 的坐标为(, 2)2360 xy练习练习1、动点、动点P(x,y)在曲线在曲线 上变化上变化 ，求，求2

9、x+3y的最的最大值和最小值大值和最小值14922yx.,2626最小值最小值最大值最大值2、取一切实数时，连接取一切实数时，连接A(4sin,6cos)和和B(-4cos, 6sin)两点的线段的中点轨迹是两点的线段的中点轨迹是 . A. 圆圆 B. 椭圆椭圆 C. 直线直线 D. 线段线段B设中点设中点M (x, y)x=2sin-2cosy=3cos+3sin22y249x3cos ,2sin设 xy236cos6sinxy6 2sin()4(3cos ,2sin ). (2,3). (3,0). (1,3). (0,)23、当参数 变化时，动点所确定的曲线必过点 点 点 点PABCD它

10、的焦距是多少？它的焦距是多少？B2 5练习练习317cos()_,8sin2_.4.椭圆为参数 的中心坐标为准线方程为xy(3, 2)289315x 小结小结（1）椭圆的参数方程（）椭圆的参数方程（ab0）12222byax)(sincos为参数byax注意：椭圆参数与圆的参数方程中参数的几何意注意：椭圆参数与圆的参数方程中参数的几何意义不同。义不同。（2）椭圆与直线相交问题）椭圆与直线相交问题y y22221xabcos( 为参数)sinxbya二二. .圆锥曲线的参数方程圆锥曲线的参数方程aoxy)MBABA双曲线的参数方程双曲线的参数方程探究：双曲线探究：双曲线 的参数方程的参数方程22

11、221xyabb12,以原点 为圆心，为半径分别作同心圆Oa bC C1,设 为圆上任意一点，作直线设以为始边，为终边的角为ACOAOxOA1AC过点 作圆 的切线AA与x轴交于点A ,22.CC过圆与x轴的交点B作圆的切线BB与直线OA交于点B过点A ,B分别作y轴,x轴的平行线A M,B M交于点M.aoxy)MBABA双曲线的参数方程双曲线的参数方程b( , )M x y设( ,0),( , ).A xB b y则1AC点 在圆上A(acos ,asin ).OAAAOA AA 又,=02cos (cos )( sin )0axaacosax解得：又点B在角 的终边上，tan.yb由三角

12、函数定义有：tanyb1seccos记secxaxaMybsec()tan点点的的轨轨迹迹的的参参数数方方程程是是为为参参数数AA=(x-acos ,-asin )消去参数得：22221xyabsec()tanxayb为参数2a222xy-=1(a0,b0)的参数方程为：b3 ,2 )22o通常规定且，。 双曲线的参数方程可以由方程双曲线的参数方程可以由方程 与三角与三角 恒等式恒等式 相比较而得到，所以双曲相比较而得到，所以双曲 线的参数方程的实质是三角代换线的参数方程的实质是三角代换.22221xyab22sec1tan 说明：说明： 这里参数这里参数 叫做双曲线的离心角与直线叫做双曲线的

13、离心角与直线OM的倾斜角不同的倾斜角不同.aoxy)MBABAb双曲线的参数方程双曲线的参数方程 双曲线的参数方程：双曲线的参数方程： sec()tanxayb为 参 数2a222xy-=1(a0,b0)的参数方程为：bsec()tanyaxb为参数2a222yx-=1(a0,b0)的参数方程为：b为离心角例例2、2222100 如如图图，设设为为双双曲曲线线任任意意一一点点，为为原原点点，过过点点作作双双曲曲线线两两渐渐近近线线的的平平行行线线，分分别别与与两两渐渐近近线线交交于于 ， 两两点点。探探求求平平行行四四边边形形的的面面积积，由由此此可可以以发发现现什什么么结结论论？xyMaba

14、bOMABMAOB(,)OBMAxy.byxa双曲线的渐近线方程为：解：解：不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标（asec ,bta为n ）,b将y=x代入，解得点A的横坐标为aAax = （sectan ）2.tan(sec).则直线的方程为： bAxaaMybOBMAxy解：解：Bax = （sectan ）.2同理可得，点B的横坐标为ba设 AOx= ,则tan.MAOB所以的面积为MAOBS=|OA|OB|sin2=ABxxs i n 2c o sc o s2222a (sec-tan)=sin24costan.2baba22aa=22由此可见，平行四边形的面积恒为定值，与点M在双曲线上

15、的位置无关。MAOB化下列参数方程为普通方程，并说明它们化下列参数方程为普通方程，并说明它们表示什么曲线表示什么曲线?由此你有什么想法？由此你有什么想法？a1(2()1()2）为参数,a0,b0 xtttbytt()2(b)()2为参数,a0, 0ttttaxeetbyee探究探究二二. .圆锥曲线的参数方程圆锥曲线的参数方程xyoM(x,y)22.(1)ypx设抛物线的普通方程为tan .(2)yx由三角函数的定义可得(1),(2), x y由解出，(1)()这就是抛物线不包括顶点 的参数方程抛物线的参数方程抛物线的参数方程22tan()2tanpxpy得 到为 参 数M抛物线上任意点 （x

16、,y)MOXxyoM(x,y)1,(,0)(0,),tantt 如果令22()2xpttypt 则为参数有抛物线的参数方程抛物线的参数方程22tan()2tan为 参 数pxpy(0,00)，由此参数方程表示的点正好就是抛物线的顶点当时t222()2(,)y当时，参数方程就表示抛物线=2为px。参数xpttyptt参数 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。t220)由此得抛物线（的参数方程为：ypx p22()2xpttypt 为参数参数 的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。t22(0)?思考：类比上面的方法怎样选取参数，建立抛物线 的参数方程xpy

17、 p22tan()2tanxpyp为参数tan,(,)tt 如果令22()2xpttypt为参数参数 的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率。t22(0)所以抛物线 的参数方程为：xpy p22()2xpttypt为参数22(0)进一步探究抛物线 的参数方程，并对四种结果进行归纳总结。 xpy p抛物线的参数方程22()2xpttypt为参数抛物线上除顶点外的任意一点与原点连参数线的的几何意义。：斜率的倒数t220)ypx p（220)ypx p （22()2xpttypt 为参数总结总结t抛物线上除顶点外的任意一点与原参点数 的几何意义：连线的斜率。22(0)xpy p22(

18、)2xpttypt为参数抛物线的参数方程22(0)xpy p 22()2xpttypt 为参数总结总结xyoBAM2,2(0),例、如图 是直角坐标原点，是抛物线上异于顶点的两动点，且并于相交于点 ，求点 的轨迹方程。OA Bypx pOAOB OMABABMM( , ),M x y解：设点211(2,2),Aptpt222(2,2)Bptpt1212(,0)ttt t且( , ),OMx y 211(2,2),OAptpt222(2,2),OBptpt222121(2 (),2 ()ABp ttp tt,OAOB221 21 2(2)(2 )0,pt tp t t,OAOB2,2(0),例、

19、如图 是直角坐标原点，是抛物线上异于顶点的两动点，且并于相交于点，求点的轨迹方程。OA Bypx pOAOB OMABABMM221 21 2(2)(2 )0,pt tp t t1 21.(1)t t ,OMAB2221212()2()0px ttpy tt12(0).(2)yttxx 211(2,2),AMxptypt222(2,2)MBptxpty,A M B且三点共线，221221(2)(2)(2)(2)xptptyptxypt121 2()20.(3)y ttpt tx即：(1),(2)(3),()20yypxx将代入得到:2220(0)xypxx即M这就是点的轨迹方程22211(2)(2)OAptpt由例可得:22222(2)(2)OBptpt21121p