马尔科夫过程的简单说明

1、森岛通夫转形问题的“马尔科夫解法”之谜黎贵才，丁堡骏（吉林财经大学马克思主义经济学研究中心） 摘要：20世纪70年代，森岛通夫运用非负矩阵性质和马尔科夫过程构建动态模型，给出了马克思两个恒等关系在较宽松条件下成立的证明，在学术界引起较大反响。本文分析发现，森岛通夫转形问题的“马尔科夫解法”，是将“加权”的两个基本相等关系作为马克思的两个基本相等关系来论证，而且其论证为循环论证。并发现，森岛通夫的马尔科夫迭代不存在均衡解。因此，森岛通夫的马尔科夫解法并没有真正解决转形问题。关键词：价值转形；马尔科夫解法；两个相等关系；循环论证中图分类号：F032.2 马克思“价值转形”命题是否成立关乎马克思劳动

2、价值论的存废，学术界围绕该命题展开了长达一个多世纪的争论，至今仍无定论。在这场论战中，以鲍特凯维持（Bortkiewicz，1907）、温特尼茨（Winternitz，1948）、斯威齐（Sweezy，1949）、塞顿（Seton，1957）等为代表的一批马克思主义者，曾尝试运用线性方法构建模型来论证马克思的“转形命题”。然而遗憾的是，他们对模型的求解不是得出马克思两个恒等关系不能同时成立 鲍特凯维持构建模型证明了简单生产条件下利润总额等于剩余价值总额，但不能证明价格总额与价值总额相等，而温特尼茨则正好相反。，就是得出两个恒等关系只有在极苛刻的条件下成立 塞顿曾构建模型求解得出，要使得两个马克

3、思的两个恒等关系成立，模型必须满足简单再生产、第三部类的资本有机构成等于社会平均的资本有机构成等条件。20世纪70年代，森岛通夫（Morishima，1974，1978 ）运用非负矩阵性质和马尔科夫过程构建动态模型，给出了马克思两个恒等关系在较宽松条件下成立的证明，在西方学术界引起较大反响。20世纪80年代末，转形问题的研究开始受到中国学术界的关注，介绍和评论西方转形问题研究成果的作品不断见诸于国内学术刊物。森岛通夫也由于他对转形问题的肯定解法，得到白暴力（2003）、吕昌会（2005）、杨玉生（2006）、江永基（2010）等国内马克思主义研究者的推崇。当然，学术界也不乏对森岛通夫解法的批评

4、者。西方学者霍奇森（Hodson，1980）等认为森岛通夫的解法不过是一个不必要的迂回。利皮茨（Lipietz, 1982）、弗利（Foley，1982，2000）等认为森岛通夫忽视了对价值尺度的考察，主张应从货币和劳动时间关系的角度来论证马克思的转形命题。中国学者丁堡骏等（2007）则认为森岛通夫的解法实则是将马克思的价值增殖与价值转形相分离，从而曲解了马克思转形问题的本质。对森岛通夫马尔科夫解法的评价学术界尽管褒贬不一，但他的解法已成为转形问题研究的一个不可绕越的里程碑。然而，目前学术界尽管有不少研究森岛通夫转形解法的文献，但这些文献很少从数理角度进行探讨，或数理分析不够深入。本文则试图弥

5、补现有文献的不足，从数理上揭示森岛通夫在转形问题研究上的洞见与局限。为更好地理解森岛通夫的解法，本文首先对森岛通夫的解法进行分解梳理，以使模型脉络清晰、结论明确，然后在此基础上对其再做进一步的剖析和评价。一、森岛通夫转形问题“马尔科夫解法”的分解1森岛通夫对转形意义的说明森岛通夫采用冯·诺依曼不等式将再生产的投入产出关系分别用价值和价格形式表示为： （1） （2）其中为价值行向量，p为价格行向量，为满足不等式的最大利润率，L为劳动投入向量，A为投入系数矩阵，B为产出系数矩阵。森岛通夫进一步假定，生产过程满足每一种商品的生产由唯一的生产过程决定并且没有联合产出。这即意味着A为方阵、B为

6、单位矩阵。根据这些假定，价值和价格形式的投入产出关系可分别用等式表示为： （3） （4）考虑到工人的预算约束方程为，价格方程可以表述为： （5）森岛通夫就从式（3）和式（5）出发来展开对转形问题的讨论。转形问题能够成立的前提是，必须满足由价值方程转化而来的生产价格方程是有实际意义的，即必须满足生产价格方程至少存在一组正利润和非负价格向量解。森岛通夫认为，由于投入系数为非负矩阵，根据Frobenius定理可以得到，系数矩阵M（）一定存在最大模的正的特征根和非负特征向量p，满足。如果能够说明这个特征根小于1，那么将这个特征根的倒数减去1作为利润率，对应的这个特征向量作为生产价格向量，生产价格方程的

7、经济意义就可以得到满足。 2森岛通夫对马克思两个基本相等关系的论证森岛通夫对马克思两个基本关系的论证运用了马尔科夫迭代法。为了便于读者更好地理清森岛通夫的解法思路，可以将其论证思路分解为以下三步。（1）论证迭代各期的价格总和等于价值总和森岛通夫认为，置盐信雄(Okishio, N., 1972)曾经用证明了价值总额等于生产价格总额，即。理由是，只要设定迭代初始价格为价值、均衡条件的价格为生产价格，那么在迭代式的两边同时右乘实际产出向量x即可。这个迭代，森岛通夫认为，相对森岛通夫自己的模型来说更符合现实，因为产出可以为实际产出。但森岛通夫认为，从这个式子无法证得利润总额等于剩余价值总额，即。作为

8、对置盐信雄模型的改进，森岛通夫则从产出和价格两方面进行迭代来论证马克思的两个相等关系。森岛通夫先通过产出迭代方程找到各态历经解满足： （6）很显然，为矩阵M的特征根。森岛通夫还证明了这个特征根就是Frobenius根。根据前面说明，可得该特征根小于1。森岛通夫将它与1的差作为利润率，即有，从而有： （7） 森岛通夫接着构建价格向量迭代方程:： (8)在价格向量迭代方程的两边右乘，并结合（7）式，可得出： （9）从这里可以看出，在简单再生产条件下，迭代各期的生产价格都相等。如果第一期的价格与价值不发生偏离，即有： （10）即迭代中各期的价格都相等，且都等于价值。（2）论证迭代各期的“剩余价格”总

9、和等于剩余价值总和综合式（7）、（9）、（10）可得： （11）将式（10）减去式（11）可得： （12）即迭代各期的“剩余价格总和”等于剩余价值总和。（3）论证马克思两个基本相等关系森岛通夫接下来对各部门进行所谓的度量标准化，作变换，其中（若>0， = ；若=0，= 1），然后代入式（7），可得。此时价值向量变为。将记作M*，该式即转化为： （13） 现在对这个新的系数矩阵M*重新构造价格迭代方程： （14）由于式（13）、（14）与式（7）、（8）结构完全相同，以上推理仍然成立，即有： （15） （16） 森岛通夫认为，如果M*为非负本原矩阵，为它的Frobenius根，那么价格迭代

10、即能收敛。令，森岛通夫认为，为转化后的生产价格。现在根据式（15）、（16）有以下两个等式成立。 （17） （18）其中，。式（17）、式（18）就是森岛通夫所认为的，“生产价格总额等于价值总额”，“利润总额等于剩余价值总额”。至此马克思两个基本条件的论证就告完毕。回答转化转形命题价值方程价格方程转形核心：两个基本恒等式，p和是否存在?Frobenius定理求解pM为本原矩阵求证令并作适当变换图1 森岛通夫转形问题“马尔科夫解法”的分解二、森岛通夫所论证的两个相等关系是“加权”的两个相等关系森岛通夫通过以上论证指出，他已经证明了在不包括所有非基础性生产部门在内的所有生产部门，两个相等关系即“总

11、价值和总价格相等”、“总剩余价值和总利润相等”能够同时成立。然而，从以上对森岛通夫解法的概述可以看出，这两个相等关系是森岛通夫做了标准化后的相等关系，与马克思原著中的相等关系是否一致，还有待做进一步的考察。下面我们将试图用简化模型对标准化后的两个相等关系进行“还原”，以恢复其“本来面目”。为讨论方便，这里以塞顿的简单三部门经济作为分析的参照对象，因为塞顿模型相对较为直观地反映马克思两个相等关系的基本思想。塞顿模型中的价值方程为： （19）对应的价格方程为： （20）这里代表部门产出的价值，其中第三个方程为奢侈品生产部门，其产品的总价值等于各部门剩余价值的总和。则，。、分别代表价值对它们价格的偏

12、离系数。为了能更好地比较，这里首先按照森岛通夫曾在价值、剥削与经济增长一书中的变换设定将塞顿表示成矩阵形式，即可令商品的价格为，并可设定，从而有。同时假定各部门的剥削率都为e，令，从而相应的价值方程可转化为： （21）价格方程转化为： （22）那么，用矩阵形式可表示为： （23）或记为： （24）其中，。因此，塞顿模型中的“总价值等于总价格”的表达式：，按照森岛通夫的变换，可以转化为： （25） 如果令，该表达式则可记为： （26）另外，由于塞顿模型中预付资本的总价值为，不难验证这个总价值可表示为（其中），那么马克思的“总剩余价值等于总利润”的表达式，按森岛通夫的界定可表示为： （27）式（2

13、6）和式（27）是塞顿模型的森岛通夫所采用的矩阵形式表示下的两个相等关系。下面我们将式（26）和式（27）作为参照，来进一步考察森岛通夫模型中两个相等关系所代表的具体含义。在森岛通夫模型中，如式（17）、（18）所示，“总价值等于总价格”和“总剩余价值等于总利润”这两个等式分别指的是，其中，。如果将各态历经解代入价格迭代方程式（14）可得： （28）将M*代入，可将方程还原为： （29）由于在森岛通夫模型中，该方程代表的就是生产价格方程，因此将该方程与生产价格方程式（24）相对照，可得。现将、代回森岛通夫以上的两个基本等式可得： （30） （31）化简后即为： （32） （33）将式（32）、

14、（33）与式（26）、（27）相对照，如果将、标准化为模为1的向量，可以发现，塞顿模型所简化的马克思的两个基本等式，指的是“各部门总价值的简单平均等于总价格的简单平均”、“总剩余价值的简单平均等于总利润的简单平均”；但森岛通夫求证的则是，“各部门总价值的加权平均等于总价格的加权平均”、“总剩余价值的加权平均等于总利润的加权平均”。森岛通夫在求证过程自然也应意识到“加权”求和不符合马克思原意，因此特意对特征向量进行了标准化，即将产出向量变为了，从而使其基础部门对应的分量为1，非基础部门对应的分量为0。但森岛通夫却疏忽了他在对产出向量标准化的过程中同时也改变了价值向量和价格向量，使得价值变量和价格

15、变量的每一个分量附上了相应的倍数，正好抵消了产出向量标准化变换的作用。因此，森岛通夫的标准化变换根本就是毫无意义的。而且在森岛通夫的模型中奢侈品部门即非基础部门在各等式中的权重为零（在塞顿模型中表现为的第三个分量为0），因此不论在什么条件下都不等于，即森岛通夫所证明的两个相等关系与马克思的两个基本相等关系是完全不相容的。从以上的分析我们可以发现，森岛通夫这里所证明的已经不是原来意义上的相等关系，而是“加权”意义上的两个相等关系，与马克思的两个基本命题是有本质区别的。三、森岛通夫对两个相等关系的论证实质是循环论证姑且不论森岛通夫所论证的两个相等关系是否忠实了马克思的原意，如果仅从逻辑推理的角度看

16、，森岛通夫在论证过程中由于变相地引进了两个“不变性假定”，使其论证成为循环论证。第一，森岛通夫模型隐含地假定了按价值计算的利润率等于按生产价格计算的利润率。这是因为，森岛通夫假定投入系数矩阵为本原矩阵，即意味着假定产出迭代方程和价格迭代方程分别存在各态历经解和p，满足 和。对这两个均衡方程分别左乘价值向量和右乘产出向量可以得到： （34） （35） 从这里可以看出式（34）中的利润率代表的是按价值核算的利润率，式（35）中的利润率代表的是按价格核算的利润率。森岛通夫将它们不作区分地放在同一模型中即意味着将这两者视为相等。第二，森岛通夫模型还假定了预付资本的价值总额等于预付资本的生产价格总额。森

17、岛通夫假定价格迭代方程的初始价格向量等于价值，即意味着相当于假定： （36）从而有： （37）即假定预付资本价值总额等于预付资本的生产价格总额。很显然，如果已知预付资本的总价值等于总价格，即，那么在已知“按价值核算的利润率”等于“按价格核算的利润率”，则必然有： （38） （39）式（38）、（39）即分别意味着“总剩余价值等于总利润”和“总价值等于总价格”因此森岛通夫模型对两个基本相等关系的论证实际上就是一个循环论证。事实上，在假定“以价值核算的利润率等于以价格核算的利润率”的情况下，“总价值等于总生产价格”、“预付资本的总价值等于总价格”和“总剩余价值等于总利润”这三者是完全等价的。下面我

18、们可以对此给出一个更直观的说明。 “以价值核算的利润率等于以价格核算的利润率”的假定可以简单表示为： （40）这里，、分别表示总剩余价值、总利润、总价值和总生产价格，则和分别表示预付资本的总价值和总价格。从式（40）的表达式很容易可以看出，在该式成立的情况下，、和这三者只要其中一个成立，其余两个都成立，即这三者是相互等价的。更一般地，我们可以发现，式（40）与这三者的四个条件中，只要其中两个成立，其余的两个条件也都成立。因此，在转形命题的两个恒等关系的求证中，如果假定前提中包含了以上四个等式条件中的任何两个，其论证都不过是一个循环论证。这种循环论证不仅是森岛通夫逻辑推理上所存在的问题，也是包括

19、塞顿在内的许多声称已解决转形问题的国内外学者所共同存在的问题。 具体详见笔者（2006）在“简评吕昌会博士的价值转形问题的新解法”一文中的分析。 四、森岛通夫的马尔科夫迭代实际并无均衡解以上分析发现，森岛通夫所采用的马尔科夫链分析方法对两个基本关系的论证，仅不过是一个技术上的迂回，是循环论证。进一步对森岛通夫的马尔科夫迭代还可以发现，其迭代实际并无均衡解仅有循环解。森岛通夫对产出向量马尔科夫收敛的证明是从系数矩阵为非本原矩阵出发，来证明其存在循环解，而有关系数矩阵为本原矩阵的迭代收敛则被看成是前者的推论，森岛通夫对其并未给出明确证明。为分析需要，下面对其做一个简要补充。首先我们对比式（10）、

20、（12）与式（32）、（33）可以看到，如果前者的价格向量能够收敛，那么后者就是前者的均衡方程。因此，如果我们能证明式（8）的价格迭代方程存在各态历经解，那么，两个相等关系的证明自然迎刃而解。在森岛通夫的模型中，价格迭代方程与产出迭代方程在收敛特性上具有类似的性质。因此，只要能证明森岛通夫的产出迭代方程能够收敛，价格迭代方程的收敛就无非是产出迭代收敛的一个推论而已。要证系数矩阵为本原矩阵的产出迭代能够收敛，只需证明向量迭代（其中，m为矩阵M的Frobenius根的倒数）能够收敛。这里，由于M为本原矩阵，也为本原矩阵。根据非负矩阵性质可以得到，对于任意的非负本原矩阵A，有成立。其中，且。 见Ro

21、ger A. H., Charles R. 1999, Matrix Analysis M, Cambridge University Press, .由于的谱半径为1，因此一定存在正矩阵L使得，因为： （41）从而有： （42）即序列的极限与系数矩阵M的初始状态无关。对于产出迭代方程，如果令，那么经过迭代后则有： （43）对式（43）取极限，从而有： （44）即产出迭代序列是收敛的。另一方面，对于M的转置矩阵，由于它与原矩阵有相同的特征根，从而有相同的谱半径（即Frobenius特征根），根据上文对产出迭代序列收敛的证明可知，那么由本原矩阵生成的任意迭代序列一定也存在与初始分布无关的极限值，

22、令其为。从而可以得出。现在只要令，这即说明了价格迭代方程即式（8）是收敛的。现在仅需将式（8）的各态历经解直接代入式（11）和式（12）即可得到代表两个相等关系的式（28）、（29）。从这个证明可以看到，森岛通夫所作的标准化变换对迭代的收敛也是毫无意义，因而是完全没有必要的。然而，森岛通夫的产出迭代序列恰恰不具备收敛的条件。森岛通夫对两个相等关系的证明仍是以塞顿模型作为分析对象，只是在证明过程中所采用的数学工具比塞顿更为复杂而已。塞顿模型的一个特点是包含了奢侈品部门，也就是森岛通夫所指的非基础性部门。但正是模型中非基础性部门的存在，使得马尔科夫链收敛失效。因为非基础部门的存在使得其系数矩阵中所

23、对应行的各元素必然为零元素。塞顿模型的一般形式为：，很显然该模型有若干零行。这也就是森岛通夫之所以在证明了式（17）和式（18）后，就声称已证明了“在不包括所有非基础性生产部门在内的所有生产部门，两个相等关系能够同时存在”。然而，根据非负矩阵的性质可知，存在零行的矩阵必定为可约矩阵，从而不可能为本原矩阵。这是因为本原矩阵首先必须满足不可约，即不存在置换矩阵使得： （45）因此，M矩阵如果为本原矩阵，则一定不能有零行或零列。尽管森岛通夫将投入系数矩阵调整为，但是这种调整只能变动系数矩阵各元素的倍数，而不能改变M矩阵的零行特征，从而不能改变M矩阵的非本原性质。因此，正如森岛通夫所证明的，从塞顿模型

24、出发的森岛通夫模型，由于其系数矩阵的非本原特性，由此构造的产出迭代方程和价格迭代方程其迭代结果就不可能为均衡解而只能是循环解。五、结语以上分析表明，森岛通夫转形问题的“马尔科夫解法”，是将“加权”的两个基本相等关系作为马克思的两个基本相等关系来论证，曲解了马克思转形命题。而在对马克思两个相等关系的论证中，森岛通夫由于变相地引进两个不变性假定，使其论证成为循环论证。而且分析发现，森岛通夫所构建的“马尔科夫”迭代并不存在均衡解，而只能是循环解。因此，从数理角度看，森岛通夫的马尔科夫过程并没有真正解决转形问题。参考文献1 Foley, D.K., 1982, The Value of Money,

25、the Value of Labor Power and the Marixian Transformation Problem J, Review of Radical Political Economics, 14, 3747.2Foley, D. 2000. Recent developments in the labor theory of value J . Review of Radical Political Economics 32 ( 1) : 1- 39.3 Hodson, G., 1980, A Theory of Exploitation without the Lab

26、or Theory of Value J, Science and Society, 44, 254273.4 Lipietz, A., 1982, The So-called “Transformation Problem” J, Journal of Economic Theory, 26, 5988.5 Morishima, M., 1974, Max in the Light of Modern Economic Theory J, Econometrica, 42, 611632.6 Morishima, M., 1978, Value, Exploitation and Growth: Marx in the Light of Modern Economic Theory M, Mcgraw Hill.7 Morishima, M., 1978, Max in the Light of Modern Economic Theory: