2013-应用数理统计课件ch04

1、第四章前面我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量的概率分布，那么随机变量全部概率特征就知道了。然而，在实际问题中，有的随机变量的概率分布难确定，有的不可能知道。在实际应用中，有时人们更关心概率分布的数字特征。一些常用的重要分布，如二项分布、泊松分布、指数分布、正态分布等，只要知道了他们的某些数字特征，就能完全确定其具体的分布。我们将介绍常用的数字特征：数学期望、方差、协方差、相关系数。第四章 随机变量的数字特征第一节 数学期望一、概念（一）离散型随机变量的数学期望例 一射手进行打靶练习，规定射入区域e2得2分，射入区域e1得1分，脱靶即射入区域e0得0分。射手一次射击得分数X是一个r.

2、v.设XP(X=k)=pk, k=0,1,2.现他射击N次，其中得0分的有a0次，得1分的有a1次，得2分的有a2次，且知a0+a1+a2=N他射击N次得分的总和为：a00+a11+a22所以平均一次射击的得分数为：是得k分的频率e2e1e0上式 是以频率为权数的加权平均值。若对X作一系列的试验，所得的X的试验值的平均值不同，是随机的。在第一章讨论的频率稳定性和将在第五章中的大数定律，都是研究频率和概率的关系，可知当N越大趋于无穷时，频率 逐渐稳定于频率pk。故当N很大时可用概率代替频率，这可得到而 是一个定值，我们用它作为随机变量的数学期望定义，还是合理的。2、举例例1：设随机变量XB(1,

3、p)，求E(X)。解：已知 0p1由定义例2：设随机变量X()解：已知X 0 1pk 1-p pK取值是非负整数， 是正项级数。它收敛即是绝对收敛，其和是E(X)。用到公式有限和E(X)定存在故E(X)=。例3，随机变量XB(n,p)，求E(X)。解：已知有限和E(X)定存在要用公式（二）连续型随机变量的数学期望 已知 Xf(x)将连续型r.v.X离散化，从而定义E(X)。在X轴上取等分点x-1,x0,x1,x2xi=xi+1-xi=x, i=0,1,2，设xi都是f(x)的连续点，有由于xi很小，定义一个离散型r.v.x*为f(x)xixi+10 x阴影面积f(xi)xi子区间xi,xi+1

4、定义1.2：设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分则称此积分值为X的数学期望（或均值），记为E(X)，即例4：已知随机变量求E(X)。E(X)是一个定实数f(x)0 x1-11是定积分其值唯一存在，不需检查定义例5：设随机变量XUa,b，求E(X)正项无穷积分其值存在是绝对收敛f(x)(a+b)/2xba均值是r.v.x取值概率平均例7：设随机变量XN(,2)，求E(X)。本应先验证 ，知均值存在，再求E(X)。说明：以后规定若题中要求E(X)即是知道其均值是存在的，不必验证。如果题中是要讨论均值存在性？这就要验证存在条件，如P139第4题。我们不做要求。yx0看出均值的意义二、随机变

5、量函数的期望例：某商场对某种商品的销售采用先使用后付款的方式，设使用寿命为X（单位：年） 且规定 已知寿命该商场一台收费Y（单位：元）是随机变量，试求E(Y)。分析：由题意知收费Y是寿命X的函数，其函数可表示为：当X1一台付款1200元当1X2一台付款1600元当24一台付款3200元Y 1200 160024003200Y的分布率为上例解法一是先求出Y的分布率，再用定义计算E(Y)。例9：已知 X -1 0 1 2 ， 设 Y=2X2+1, 求E(Y) pk 1/8 1/4 1/4 3/8 解：由于 X取值=xk -1 0 1 2 Y取值=2xk2+1 3 1 3 9 pk 1/8 1/4

6、1/4 3/8可证明连续型随机变量函数的期望也有类似解法。见定理1.11. 定理1.1：设Y是随机变量X的函数：Y=g(X) （g是连续函数）1 X是离散型随机变量，它的分布律为：2 X是连续型随机变量，它的概率密度为f(x)，定理的重要性在于：当我们求E(Y)=Eg(x)时，不必算出Y的分布，而只需知道X的分布就可以了。这给求随机变量函数的均值带来很大方便。例10：设随机变量XU0,，且知Y=sinX，求E(Y)。定理1.1可以推广到多个随机变量的函数的情况。用定理1.1，不必求Y=sinx分布，用f(x)即可求得2. 设Z是随机变量X,Y的函数，Z=g(X,Y)，（g是连续函数）。已知：离

7、散型r.v.(X, Y)pij，i,j=1,2, 则 E(Z) = Eg(X,Y) 已知 连续型r.v.(X, Y)f(x,y) 则 E(Z) = Eg(X,Y)例11：已知随机变量(X, Y)的联合密度为且Z=XY，求E(Z)。不必求Z=XY的分布，用f(x,y)即可求得01xyy=xD解：E(Z) = E(XY)三、数学期望的性质若C是常数：则E(C) = C。若C是常数：则E(CX) = CE(X)（存在）。若二维r.v.(X,Y)，E(X), E(Y)存在，则E(XY) = E(X)E(Y)。证明性质3均值定义性质2和3性质4性质3即A出现K次例14.有10个人在一楼进入电梯，楼上有20层，设每个乘客在任何一层楼出电梯的概率相同，且各个人是否出电梯是独立的。试求直到电梯的乘客出空为止，电梯需停次数的数学期望