全国各地2014年中考数学真题分类解析汇编27图形的相似与位似

1、图形的相似与位似一、选择题1. （ 2014省,第 9 题 4 分）如图，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，动点 P 从 A 点出发，按 ABC 的方向在 AB 和 BC 上移动，记 PA=x，点 D 到直线 PA 的距离为 y，则 y 关于 x 的函数图象大致是（）ABCD考点： 动点问题的函数图象分析： 点 P 在 AB 上时，点 D 到 AP 的距离为 AD 的长度，点 P 在 BC 上时，根据同角的余角相等求出APB=PAD，再利用相似三角形的列出比例式整理得到 y 与 x 的关系式，从而得解解答：解：点 P 在 AB 上时，0 x3，点 D 到 AP 的距离为 AD 的长度，是

2、定值 4；点 P 在 BC 上时，3x5，APB+BAP=90，PAD+BAP=90，APB=PAD，又B=DEA=90，ABPDEA，=，即 = ，y=，纵观各选项，只有 B 选项图形符合故选 B点评： 本题考查了动点问题函数图象，主要利用了相似三角形的判定与性质，难点在于根据点 P 的位置分两种情况2. （2014广西玉林市、防城港市，第 7 题 3 分）ABC 与ABC是位似图形，且ABC与ABC的位似比是 1：2，已知ABC 的面积是 3，则ABC的面积是（）A3B6C9D12考点：位似变换分析：利用位似图形的面积比等于位似比的平方，进而得出解答：解：ABC 与ABC是位似图形，且AB

3、C 与ABC的位似比是 1：2，ABC 的面积是 3，ABC 与ABC的面积比为：1：4，则ABC的面积是：12故选：D点评：此题主要考查了位似图形的性质，利用位似图形的面积比等于位似比的平方得出是解题关键3(2014 年市，第 8 题 3 分)如图，在ABCD 中，点 E 是边 AD 的中点，EC 交对角线 BD于点 F，则 EF：FC 等于（）A3：2B 3：1C 1：1 D 1：2考点：平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质分析：根据题意得出DEFBCF，进而得出=，利用点 E 是边 AD 的中点得出即可解：ABCD，故 ADBC，解答：DEFBCF，=，点 E 是边 AD 的中点，A

4、E=DE=AD，=故选：D点评： 此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出DEFBCF 是解题关键4.（2014毕节地区，第 12 题 3 分）如图，ABC 中，AE 交 BC 于点 D，C=E，AD：DE=3：5，AE=8，BD=4，则 DC 的长等于（ ）ABCD考点：相似三角形的判定与性质分析：根据已知条件得出ADCBDE，然后依据对应边成比例即可求得解答：解：C=E，ADC=BDE，ADCBDE，=，又AD：DE=3：5，AE=8，AD=3，DE=5，BD=4，=，DC=，故应选 A点评：本题考查了相似三角形的判定和性质：对应角相等的三角形是相似三角形，相似

5、三角形对应边成比例5.（2014，第 6 题 3 分）如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A（6，6），B（8，2），以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的 后得到线段 CD，则端点 C 的坐标为（）A（3，3）B（4，3）C（3，1）D（4，1）考点：位似变换；坐标与图形性质分析：利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出 C 点坐标解答：解：线段 AB 的两个端点坐标分别为 A（6，6），B（8，2），以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的后得到线段 CD，端点 C 的坐标为：（3，3）故选：A点评：此题主要考查了位似图形的性质，利用两

6、图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键6. （2014 年江苏南京，第 3 题，2 分）若ABCABC，相似比为 1：2，则ABC与ABC的面积的比为（）A1：2B 2：1C 1：4D 4：1考点：相似三角形的性质分析：根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即解解答：ABCABC，相似比为 1：2，ABC 与ABC的面积的比为 1：4故选 C点评：本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键7. （2014 年江苏南京，第 6 题，2 分）如图，在矩形 AOBC 中，点 A 的坐标是（2，1），点 C 的纵坐标是 4，则 B、C 两点的坐标分别是（）

7、（第 2 题图）A（，3）、（，4）B （，3）、（，4）C（，）、（，4）D（，）、（，4）考点：矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质。分析：首先过点 A 作 ADx 轴于点 D，过点 B 作 BEx 轴于点 E，过点 C 作 CFy 轴，过点 A 作 AFx 轴，交点为 F，易得CAFBOE，AODOBE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得解答：过点 A 作 ADx 轴于点 D，过点 B 作 BEx 轴于点 E，过点 C 作 CFy 轴，过点 A作 AFx 轴，交点为 F，四边形 AOBC 是矩形，ACOB，AC=OB，CAF=BOE，在ACF 和OBE 中，CA

8、FBOE（AAS），BE=CF=41=3，AOD+BOE=BOE+OBE=90，AOD=OBE，ADO=OEB=90，AODOBE，即，OE=，即点 B（，3），AF=OE=，点 C 的横坐标为：（2）=，点 D（，4）故选 B点评：此题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合的应用8（2014 年山东泰安，第 10 题 3 分）在ABC 和A1B1C1 中，下列四个命题：（1）若 AB=A1B1，AC=A1C1，A=A1，则ABCA1B1C1；（2）若 AB=A1B1，AC=A1C1，B=B1，则ABCA1B1C1

9、；（3）若A=A1，C=C1，则ABCA1B1C1；（4）若 AC：A1C1=CB：C1B1，C=C1，则ABCA1B1C1其中真命题的个数为（）A4 个B 3 个C 2 个D 1 个分析：分别利用相似三角形的判定和全等三角形的判定定理进行判断即到正确的选项解：（1）若 AB=A1B1，AC=A1C1，A=A1，能用 SAS 定理判定ABCA1B1C1，正确；（2）若 AB=A1B1，AC=A1C1，B=B1，不能判定ABCA1B1C1，错误；（3）若A=A1，C=C1，能判定ABCA1B1C1，正确；（4）若 AC：A1C1=CB：C1B1，C=C1，能利用两组对应边的比相等且夹角相等的两三

10、角形相似判定ABCA1B1C1，正确故选 B点评：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是掌握三角形全等和相似的判定方法二.填空题1.（2014邵阳，第 14 题 3 分）如图，在ABCD 中，F 是 BC 上的一点，直线 DF 与 AB 的延长线相交于点 E，BPDF，且与 AD 相交于点 P，请从图中找出一组相似的三角形：ABPAED 考点：相似三角形的判定；平行四边形的性质专题：开放型分析：可利用平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所的三角形与原三角形相似判断ABPAED解答：解：BPDF，ABPAED故为ABPAED点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形的一边的直线与

11、其他两边相交，所的三角形与原三角形相似；2（2014云南，第 14 题 3 分）如图，将边长为 6cm 的正方形 ABCD 折叠，使点 D 落在AB 边的中点 E 处，折痕为 FH，点 C 落在 Q 处，EQ 与 BC 交于点 G，则EBG 的周长是cm考点：折叠、勾股定理、三角形相似分析：根据折叠性质，先由勾股定理求出 AF、EF 的长度，再根据解答：解：根据折叠性质，设则，在 RtAEF 中，即，解得：，所以根据所以EBG 的周长为 3+4+5=12。故填 12点评：本题考查了折叠的性质，勾股定理的运用及三角形相似问题.3. （2014泰州，第 15 题，3 分）如图，A、B、C、D 依次

12、为一直线上 4 个点，BC=2，BCE为等边三角形，O 过 A、D、E3 点，且AOD=120设 AB=x，CD=y，则 y 与 x 的函数关系式为y=（x0）（第 1 题图）考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质；圆周角定理，即，所以，可求出 EG、BG 的长度分析：连接 AE，DE，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求得AED=120，然后求得ABEECD根据相似三角形的对应边对应成比例即可表示出 x 与 y 的关系，从而不难求解解答：解：连接 AE，DE，AOD=120，为 240，AED=120，BCE 为等边三角形，BEC=60；AEB+CED=60；又EAB+AEB=6

13、0，EAB=CED，ABE=ECD=120；=，即=，y=（x0）点评：此题主要考查学生圆周角定理以及对相似三角形的判定与性质及反比例函数的实际运用能力4.（2014滨州，第 15 题 4 分）如图，平行于 BC 的直线 DE 把ABC 分成的两部分面积相等，则=考点：相似三角形的判定与性质分析：根据相似三角形的判定与性质，解答：解：DEBC，ADEABCSADE=S 四边形 BCDE，故为：点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，平行于三角形一边截三角形另外两边所得的三角形与原三角形相似，相似三角形面积的比等于相似比三.解答题1. （ 2014省,第 17 题 8 分）如图，在边长为 1 个

14、长度的小正方形组成的网格中，给出了格点ABC（顶点是网格线的交点）（1）将ABC 向上平移 3 个得到A1B1C1，请画出A1B1C1；（2）请画一个格点A2B2C2，使A2B2C2ABC，且相似比不为 1考点： 作图相似变换；作图-平移变换分析：（1）利用平移的性质得出对应点位置，进而得出；（2）利用相似图形的性质，将各边扩大 2 倍，进而得出：A1B1C1 即为所求；解答：解：（1）（2）：A2B2C2 即为所求点评：此题主要考查了相似变换和平移变换，得出变换后图形对应点位置是解题关键2. （ 2014省,第 18 题 8 分）如图，在同一平面内，两条平行高速公路 l1 和 l2 间有一条

15、“Z”型道路连通，其中 AB 段与高速公路 l1 成 30角，长为 20km；BC 段与 AB、CD 段都垂直，长为 10km，CD 段长为 30km，求两高速公路间的距离（结果保留根号）考点： 解直角三角形的应用分析：过 B 点作 BEl1，交 l1 于 E，CD 于 F，l2 于 G在 RtABE 中，根据三角函数求得BE，在 RtBCF 中，根据三角函数求得 BF，在 RtDFG 中，根据三角函数求得 FG，再根据EG=BE+BF+FG 即可求解解答：解：过 B 点作 BEl1，交 l1 于 E，CD 于 F，l2 于 G在 RtABE 中，BE=ABsin30=20=10km，在 Rt

16、BCF 中，BF=BCcos30=10km，=CF=BFsin30=km，=DF=CDCF=（30）km，在 RtDFG 中，FG=DFsin30=（30）=（15）km，EG=BE+BF+FG=（25+5）km）km故两高速公路间的距离为（25+5点评： 此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算3（ 2014省,第 19 题 10 分）如图，在O 中，半径 OC 与弦 AB 垂直，垂足为 E，以OC 为直径的圆与弦 AB 的一个交点为 F，D 是 CF 延长线与O 的交点若 OE=4，OF=6，求O的半径和 CD 的长考点：垂径定理；

17、勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质专题：计算题分析：由OEAB 得到OEF=90，再根据圆周角定理由OC 为小圆的直径得到OFC=90，则可证明 RtOEFRtOFC，然后利用相似比可计算出O 的半径 OC=9；接着在 RtOCF中，根据勾股定理可计算出 C=3，由于 OFCD，根据垂径定理得 CF=DF，所以 CD=2CF=6解答：解：OEAB，OEF=90，OC 为小圆的直径，OFC=90，而EOF=FOC，RtOEFRtOFC，OE：OF=OF：OC，即 4：6=6：OC，O 的半径 OC=9；在 RtOCF 中，OF=6，OC=9，CF=3，OFCD，CF=DF，CD=2CF

18、=6点评： 本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质4. （ 2014福建，第 25 题 12 分）如图，在锐角三角形纸片 ABC 中，ACBC，点 D，E，F 分别在边 AB，BC，CA 上（1）已知：DEAC，DFBC判断四边形 DECF 一定是什么形状？裁剪当 AC=24cm，BC=20cm，ACB=45时，请你探索：如何剪四边形 DECF，能使它的面积最大，并证明你的结论；（2）折叠请你只用两次折叠，确定四边形的顶点 D，E，C，F，使它恰好为菱形，并说明你的折法和理由考点：四边形综合题分析：（1）根据有两组

19、对边互相平行的四边形是平行四边形即可求得，根据ADFABC推出对应边的相似比，然后进行转换，即出 h 与 x 之间的函数关系式，根据平行四边形的面积公式，很容易得出面积 S 关于 h 的二次函数表达式，求出顶点坐标，就出面积 s最大时 h 的值（2）第一步，沿ABC 的对角线对折，使 C 与 C1 重合，得到三角形 ABB1，第二步，沿 B1对折，使 DA1BB1解答：解：（1）DEAC，DFBC，四边形 DECF 是平行四边形作 AGBC，交 BC 于 G，交 DF 于 H，ACB=45，AC=24cmAG=12，设 DF=EC=x，平行四边形的高为 h，则 AH=12h，DFBC，=，BC

20、=20cm，即：=x=20，h2S=xh=x20=20h=6，AH=12，AF=FC，在 AC 中点处剪四边形 DECF，能使它的面积最大（2）第一步，沿ABC 的对角线对折，使 C 与 C1 重合，得到三角形 ABB1，第二步，沿 B1 对折，使 DA1BB1理由：对角线互相垂直平分的四边形是菱形点评：本题考查了相似三角形的判定及性质、菱形的判定、二次函数的最值关键在于根据相似三角形及已知条件求出相关线段的表达式，求出二次函数表达式，即可求出结论5.（ 2014，第 25 题 9 分）如图，在ABC 中，AB=AC，ADAB 于点 D，BC=10cm，AD=8cm点P 从点 B 出发，段 B

21、C 上以每秒 3cm 的速度向点 C 匀速运动，与此同时，垂直于 AD 的直线 m 从底边 BC 出发，以每秒 2cm 的速度沿 DA 方向匀速平移，分别交 AB、AC、AD 于 E、F、H，当点 P 到达点 C 时，点 P 与直线 m 同时停止运动，设运动时间为 t 秒（t0）（1）当 t=2 时，连接 DE、DF，求证：四边形 AEDF 为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的PEF 的面积存在最大值，当PEF 的面积最大时，求线段 BP 的长；（3）是否存在某一时刻 t，使PEF 为直角三角形？若存在，请求出此时刻 t 的值；若不存在，请说明理由考点：相似形综合题分析：（1）如答图 1

22、所示，利用菱形的定义证明；（2）如答图 2 所示，首先求出PEF 的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解；（3）如答图 3 所示，分三种情形，需要分类，分别求解解答：（1）证明：当 t=2 时，DH=AH=2，则 H 为 AD 的中点，如答图 1 所示又EFAD，EF 为 AD 的垂直平分线，AE=DE，AF=DFAB=AC，ADAB 于点 D，ADBC，B=CEFBC，AEF=B，AFE=C，AEF=AFE，AE=AF，AE=AF=DE=DF，即四边形 AEDF 为菱形（2）解：如答图 2 所示，由（1）知 EFBC，AEFABC，即，解得：EF=10tSPEF=EFDH=t）2t=t2

23、+10t=（t2）2+10（10当 t=2 秒时，SPEF 存在最大值，最大值为 10，此时 BP=3t=6（3）解：存在理由如下：若点 E 为直角顶点，如答图 3所示，此时 PEE=DH=2t，BP=3tPEAD，即，此比例式不成立，故此种情形不存在；若点 F 为直角顶点，如答图 3所示，此时 PEF=DH=2t，BP=3t，CP=103tPFAD，即，解得 t=；若点 P 为直角顶点，如答图 3所示过点 E 作 EMBC 于点 M，过点 F 作 FNBC 于点 N，则 EM=FN=DH=2t，EMFNADEMAD，即，解得 BM=t，PM=BPBM=3tt=t在 RtEMP 中，由勾股定理

24、得：PE2=EM2+PM2=（2t）2+（t）2=t2FNAD，解得 CN=t，即103tt=10t在 RtFNP 中，由勾股定理得：PF2=FN2+PN2=（2t）2+（10t）2=t285t+100在 RtPEF 中，由勾股定理得：EF2=PE2+PF2，t2）+（t285t+100）t）2=（即：（10t235t=0，化简得：解得：t=或 t=0（舍去）t=综上所述，当 t=秒或 t=秒时，PEF 为直角三角形点评：本题是运动型综合题，涉及动点与动线两种运动类型第（1）问考查了菱形的定义；第（2）问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值；第（3）问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等

25、知识点，重点考查了分类的数学6. （ 2014，第 18 题 7 分）如图，在 RtABC 中，BAC=90，AB=4，AC=3，线段AB 为半圆 O 的直径，将 RtABC 沿射线 AB 方向平移，使斜边与半圆 O 相切于点 G，得DEF，DF 与 BC 交于点 H（1）求 BE 的长；（2）求 RtABC 与DEF（阴影）部分的面积考点：切线的性质；扇形面积的计算；平移的性质专题：计算题分析：（1）连结 OG，先根据勾股定理计算出 BC=5，再根据平移的性质得 AD=BE，DF=AC=3，EF=BC=5，EDF=BAC=90，由于 EF 与半圆 O 相切于点 G，根据切线的性质得 OGEF

26、，然后证明 RtEOGRtEFD，利用相似比可计算出 OE=，所以 BE=OEOB=；（2）求出 BD 的长度，然后利用相似比例式求出 DH 的长度，从而求出BDH，即阴影部分的面积解答：解：（1）连结 OG，如图，BAC=90，AB=4，AC=3，BC=5，RtABC 沿射线 AB 方向平移，使斜边与半圆 O 相切于点 G，得DEF，AD=BE，DF=AC=3，EF=BC=5，EDF=BAC=90，EF 与半圆 O 相切于点 G，OGEF，AB=4，线段 AB 为半圆 O 的直径，OB=OG=2，GEO=DEF，RtEOGRtEFD，=，即=，解得 OE=，BE=OEOB=2=；（2）BD=

27、DEBE=4=DFAC，即，解得：DH=2S 阴影=SBDH=BDDH=2=，即 RtABC 与DEF（阴影）部分的面积为点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了平移的性质、勾股定理和相似三角形的判定与性质7. （ 2014，第 21 题 9 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在边 AD 上，点 F 在边 BC的延长线上，连结 EF 与边 CD 相交于点 G，连结 BE 与对角线 AC 相交于点 H，AE=CF，BE=EG（1）求证：EFAC；（2）求BEF 大小；（3）求证：=考点：四边形综合题分析：（1）根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定（

28、2）先确定三角形 GCF 是等腰直角三角形，得出 CG=AE，然后通过BAEBCG，得出BE=BG=EG，即可求得（3）因为三角形 BEG 是等边三角形，ABC=90，ABE=CBG，从而求得ABE=15，然后通过求得AHBFGB，即可求得解答：解：（1）四边形 ABCD 是正方形，ADBF，AE=CF，四边形 ACFE 是平行四边形，EFAC，（2）连接 BG，EFAC，F=ACB=45，GCF=90，CGF=F=45，CG=CF，AE=CF，AE=CG，在BAE 与BCG 中，BAEBCG（SAS）BE=BG，BE=EG，BEG 是等边三角形，BEF=60，（3）BAEBCG，ABE=CB

29、G，BAC=F=45，AHBFGB，=，EBG=60ABE=CBG，ABC=90，ABE=15，=点评：本题考查了平行四边形的判定及性质，求得三角形的判定及性质，正方形的性质，相似三角形的判定及性质，连接 BG 是本题的关键8. （ 2014广西玉林市、防城港市，第 23 题 9 分）如图的O 中，AB 为直径，OCAB，弦CD 与 OB 交于点 F，过点 D、A 分别作O 的切线交于点 G，并与 AB 延长线交于点 E（1）求证：1=2（2）已知：OF：OB=1：3，O 的半径为 3，求 AG 的长考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质专题：证明题分析：（1）连结 OD，根据切线的性质得

30、ODDE，则2+ODC=90，而C=ODC，则2+C=90，由 OCOB 得C+3=90，所以2=3，而1=3，所以1=2；（2）由 OF：OB=1：3，O 的半径为 3 得到 OF=1，由（1）中1=2 得 EF=ED，在 RtODE中，DE=x，则 EF=x，OE=1+x，根据勾股定理得 32+t2=（t+1）2，解得 t=4，则 DE=4，OE=5，根据切线的性质由 AG 为O 的切线得GAE=90，再证明 RtEODRtEGA，利用相似比可计算出 AG解答：（1）证明：连结 OD，如图，DE 为O 的切线，ODDE，ODE=90，即2+ODC=90，OC=OD，C=ODC，2+C=90

31、，而 OCOB，C+3=90，2=3，1=3，1=2；（2）解：OF：OB=1：3，O 的半径为 3，OF=1，1=2，EF=ED，在 RtODE 中，OD=3，DE=x，则 EF=x，OE=1+x，OD2+DE2=OE2，32+t2=（t+1）2，解得 t=4，DE=4，OE=5，AG 为O 的切线，AGAE，GAE=90，而OED=GEA，RtEODRtEGA，=，即=，AG=6点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了勾股定理和相似三角形的判定与性质9. （ 2014广西玉林市、防城港市，第 25 题 10 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 M 是 BC边上的任

32、一点，连接 AM 并将线段 AM 绕 M 顺时针旋转 90得到线段 MN，在 CD 边上取点 P使 CP=BM，连接 NP，BP（1）求证：四边形 BMNP 是平行四边形；（2）线段 MN 与 CD 交于点 Q，连接 AQ，若MCQAMQ，则 BM 与 MC 存在怎样的数量关系？请说明理由考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；正方形的性质分析：（1）根据正方形的性质AB=BC，ABC=B，然后利用“边角边”证明ABM 和BCP全等，根据全等三角形对应边相等AM=BP，BAM=CBP，再求出 AMBP，从而得到MNBP，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；（2

33、）根据同角的余角相等求出BAM=CMQ，然后求出ABM 和MCQ 相似，根据相似三角形对应边成比例=，再求出AMQABM，根据相似三角形对应边成比例=，从而得到=，即解解答：（1）证明：在正方形 ABCD 中，AB=BC，ABC=B，在ABM 和BCP 中，ABMBCP（SAS），AM=BP，BAM=CBP，BAM+AMB=90，CBP+AMB=90，AMBP，AM 并将线段 AM 绕 M 顺时针旋转 90得到线段 MN，AMMN，且 AM=MN，MNBP，四边形 BMNP 是平行四边形；（2）解：BM=MC理由如下：BAM+AMB=90，AMB+CMQ=90，BAM=CMQ，又B=C=90，

34、ABMMCQ，=，MCQAMQ，AMQABM，=，=，BM=MC点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，（1）求出两个三角形全等是解题的关键，（2）根据相似于同一个三角形的两个三角形相似求出AMQABM 是解题的关键10(2014 年资阳，第 23 题 11 分)如图，已知直线 l1l2，线段 AB 在直线 l1 上，BC 垂直于 l1 交 l2 于点 C，且 AB=BC，P 是线段 BC 上异于两端点的一点，过点 P 的直线分别交 l2、l1 于点 D、E（点 A、E 位于点 B 的两侧），满足 BP=BE，连接 AP、CE（1）求证：

35、ABPCBE；（2）连结 AD、BD，BD 与 AP 相交于点 F如图 2=2 时，求证：APBD；当=n（n1）时，设PAD 的面积为 S1，PCE 的面积为 S2，求当的值考点： 相似形综合题分析：（1）求出ABP=CBE，根据 SAS 推出即可；（2）延长 AP 交 CE 于点 H，求出 APCE，证出CPDBPE，推出 DP=PE，求出平行四边形 BDCE，推出 CEBD 即可；分别用 S 表示出PAD 和PCE 的面积，代入求出即可解答：（1）证明：BC直线 l1，ABP=CBE，在ABP 和CBE 中ABPCBE（SAS）；（2）证明：延长 AP 交 CE 于点 H，ABPCBE，

36、PAB=ECB，PAB+AEE=ECB+AEH=90，APCE，=2，即 P 为 BC 的中点，直线 l1直线 l2，CPDBPE，=，DP=PE，四边形 BDCE 是平行四边形，CEBD，APCE，APBD；=N解：BC=nBP，CP=（n1）BP，CDBE，CPDBPE，=n1，即 S2=（n1）S，SPAB=SBCE=nS，PAE=（n+1）S，=n1，=S1=（n+1）（n1）S，=n+1=点评： 本题考查了平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查了学生的推理能力，题目比较好，有一定的难度11.（2014，第 24 题 10 分）如图，Rt

37、ABC 中，ACB=90，AC=6cm，BC=8cm，动点P 从点 B 出发，在 BA 边上以每秒 5cm 的速度向点 A 匀速运动，同时动点 Q 从点 C 出发，在CB 边上以每秒 4cm 的速度向点 B 匀速运动，运动时间为 t 秒（0t2），连接 PQ（1）若BPQ 与ABC 相似，求 t 的值；（2）连接 AQ，CP，若 AQCP，求 t 的值；（3）试证明：PQ 的中点在ABC 的一条中位线上考点：相似形综合题分析：（1）分两种情况：当BPQBAC 时，=，当BPQBCA 时，=，再根据 BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入计算即可；（2）过 P 作 PMBC

38、于点 M，AQ，CP 交于点 N，则有 PB=5t，PM=3t，MC=84t，根据ACQCMP，得出=，代入计算即可；（3）作 PEAC 于点 E，DFAC 于点 F，先得出 DF=，再把 QC=4t，PE=8BM=84t代入求出 DF，过 BC 的中点 R 作直线平行于 AC，得出 RC=DF，D 在过 R 的中位线上，从而证出 PQ 的中点在ABC 的一条中位线上解答：解：（1）当BPQBAC 时，BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，=，t=1；当BPQBCA 时，=，=，t=，t=1 或时，BPQ 与ABC 相似；（2），过 P 作 PMBC 于点 M，AQ，CP 交于

39、点 N，则有 PB=5t，PM=3t，MC=84t，NAC+NCA=90，PCM+NCA=90，NAC=PCM 且ACQ=PMC=90，ACQCMP，=，=，解得：t=；（3）如图，仍有 PMBC 于点 M，PQ 的中点设为 D 点，再作 PEAC 于点 E，DFAC 于点 F，ACB=90，DF 为梯形 PECQ 的中位线，DF=，QC=4t，PE=8BM=84t，DF=4，BC=8，过 BC 的中点 R 作直线平行于 AC，RC=成立，D 在过 R 的中位线上，PQ 的中点在ABC 的一条中位线上点评：此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、中位线的性质等，关键是画出图

40、形作出辅助线构造相似三角形，注意分两种情况12（2014自贡，第 23 题 12 分）阅读理解：如图，在四边形 ABCD 的边 AB 上任取一点 E（点 E 不与 A、B 重合），分别连接 ED、EC，可以把四边形 ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似就把 E 叫做四边形 ABCD的边 AB 上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，就把 E 叫做四边形 ABCD 的边 AB上的“强相似点”解决问题：（1）如图，A=B=DEC=45，试判断点 E 是否是四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点，并说明理由；（2）如图，在矩形 ABCD 中，A、B、C、D 四点均在正方形网格（网格中

41、每个小正方形的边长为 1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图中画出矩形 ABCD 的边 AB 上的强相似点；（3）如图，将矩形 ABCD 沿 CM 折叠，使点 D 落在 AB 边上的点 E 处，若点 E 恰好是四边形ABCM 的边 AB 上的一个强相似点，试探究 AB 与 BC 的数量关系考点：相似形综合题分析：（1）要证明点 E 是四边形 ABCD 的 AB 边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明ADEBEC，所以问题得解（2）以 CD 为直径画弧，取该弧与 AB 的一个交点即为所求；（3）因为点 E 是矩形 ABCD 的 AB 边上的一个强相似点，所以就有相似三角形出

42、现，根据相似三角形的对应线段成比例，可以判断出 AE 和 BE 的数量关系，从而可求出解解答：解：（1）A=B=DEC=45，AED+ADE=135，AED+CEB=135ADE=CEB，在ADE 和BCE 中，ADEBCE，点 E 是否是四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点：点 E 是四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点，（2）（3）点 E 是四边形 ABCM 的边 AB 上的一个强相似点，AEMBCEECM，BCE=ECM=AEM由折叠可知：ECMDCM，ECM=DCM，CE=CD，BCE=BCD=30，BE=，在 RtBCE 中，tanBCE=tan30=，点评：本题是相似三角形

43、综合题，主要考查了相似三角形的对应边成比例的性质，读懂题目信息，理解全相似点的定义，判断出CED=90，从而确定作以 CD 为直径的圆是解题的关键13. （2014湘潭，第 25 题） ABC 为等边三角形，边长为 a，DFAB，EFAC，（1）求证：BDFCEF；（2）若 a=4，设 BF=m，四边形 ADFE 面积为 S，求出 S 与 m 之间的函数关系，并探究当 m 为何值时 S 取最大值；（3）已知 A、D、F、E 四点共圆，已知 tanEDF=，求此圆直径（第 1 题图）考点：相似形综合题；二次函数的最值；等边三角形的性质；圆周角定理；解直角三角形分析：（1）只需找到两组对应角相等即

44、可（2）四边形 ADFE 面积 S 可以看成ADF 与AEF 的面积之和，借助三角函数用 m 表示出 AD、DF、AE、EF 的长，进而可以用含 m 的代数式表示 S，然后通过配方，转化为二次函数的最值问题，就可以解决问题（3）AF 就是圆的直径，利用圆周角定理将EDF 转化为EAF在AFC 中，知道tanEAF、C、AC，通过解直角三角形就可求出 AF 长解答：解：（1）DFAB，EFAC，BDF=CEF=90ABC 为等边三角形，B=C=60BDF=CEF，B=C，BDFCEF（2）BDF=90，B=60，sin60=，cos60=BF=m，DF=m，BD=AB=4，AD=4m2+SADF

45、=ADDF=（4）m=mm2+2同理：SAEF=AEEF=（4）（4m）=m2+（m24m8）S=SADF+SAEF=m+2=（m2）2+3其中 0m4=0，024，当 m=2 时，S 取最大值，最大值为 3S 与 m 之间的函数关系为：（m2）2+3S（其中 0m4）当 m=2 时，S 取到最大值，最大值为 3（3）如图 2，A、D、F、E 四点共圆，EDF=EAFADF=AEF=90，AF 是此圆的直径tanEDF=，tanEAF=C=60，=tan60=设 EC=x，则 EF=x，EA=2xAC=a，2x+x=Ax=EF=，AE=AEF=90，AF=此圆直径长为点评：本题考查了相似三角形

46、的判定、二次函数的最值、三角函数、解直角三角形、圆周角定理、等边三角形的性质等知识，综合性强利用圆周角定理将条件中的圆周角转化到合适的位置是解决最后一小题的关键14. （2014湘潭，第 26 题）已知二次函数 y=x2+bx+c 的对称轴为 x=2，且经过原点，直线 AC式为 y=kx+4，（1）求二次函数式；（2）若=，求 k；（3）若以 BC 为直径的圆经过原点，求 k（第 2 题图）考点：二次函数综合题分析：（1）由对称轴为 x=，且函数过（0，0），则可推出 b，c，进而得函数式=，考虑计算方便可作 B，C 对（2）=，且两三角形为同高不同底的三角形，易得x 轴的垂线，进而有 B，C

47、 横坐标的比为=由 B，C 为直线与二次函数的交点，则联立可求得 B，C 坐标由上述倍数关系，则 k 易得（3）以 BC 为直径的圆经过原点，即BOC=90，一般考虑表示边长，再用勾股定理构造方程求解 k这个思路计算量异常复杂，基本不考虑，再考虑（2）的思路，发现 B，C 横纵坐标恰好可表示出 EB，EO，OF，OC而由BOC=90，易证EBOFOC，即 EBFC=EOFO有此构造方程发现 k 值大多可约去，进而k 值解答：解：（1）二次函数 y=x2+bx+c 的对称轴为 x=2，且经过原点，=2，0=0+0+c，b=4，c=0，y=x2+4x（2）如图 1，连接 OB，OC，过点 A 作

48、AEy 轴于 E，过点 B 作 BFy 轴于 F，=，=，=，EBFC，=y=kx+4 交 y=x2+4x 于 B，C，kx+4=x2+4x，即 x2+（k4）x+4=0，=（k4）244=k28k，x=，或 x=，xBxC，EB=xB=，FC=xC=，4=，解得 k=9（交点不在 y 轴右边，不符题意，舍去）或 k=1k=1（3）BOC=90，EOB+FOC=90，EOB+EBO=90，EBO=FOC，BEO=OFC=90，EBOFOC，EBFC=EOFOxB=，xC=，且 B、C 过 y=kx+4，yB=k+4，yC=k+4，EO=yB=k+4，OF=yC=k4，=（k+4）（k4），整理

49、得16k=20，k=点评：本题考查了函数图象交点的性质、相似三角形性质、一元二次方程及圆的基本知识题目特殊，貌似思路不难，但若思路不对，计算异常复杂，题目所折射出来的，考生应好好理解掌握15. （2014益阳，第 21 题，12 分）如图，在直角梯形 ABCD 中，ABCD，ADAB，B=60，AB=10，BC=4，点 P 沿线段 AB 从点 A 向点 B 运动，设 AP=x（1）求 AD 的长；（2）点 P 在运动过程中，是否存在以 A、P、D 为顶点的三角形与以 P、C、B 为顶点的三角形相似？若存在，求出 x 的值；若不存在，请说明理由；（3）设与PCB 的外接圆的面积分别为 S1、S2

50、，若 S=S1+S2，求 S 的最小值（第 3 题图）考点：相似形综合题分析：（1）过点 C 作 CEAB 于 E，根据 CE=BCsinB 求出 CE，再根据 AD=CE 即可求出 AD；（2）若以 A、P、D 为顶点的三角形与以 P、C、B 为顶点的三角形相似，则PCB 必有一个角是直角分两种情况：当PCB=90时，求出 AP，再根据在 Rt中DPA=60，得出DPA=B，从而得到CPB，当CPB=90时，求出 AP=3，根据且，得出PCB 与不相似（3）先求出 S1=x，再分两种情况：当 2x10 时，作 BC 的垂直平分线交BC 于 H，交 AB 于 G；作 PB 的垂直平分线交 PB

51、 于 N，交 GH 于 M，连结 BM，在 RtGBH 中求x1），在 RtBMN 中，求出 BM2=x2出 BG、BN、GN，在 RtGMN 中，求出 MN=x+（，2最后根据 S1=xBM 代入计算即可当 0 x2 时，S2=x（x2x+），最后根据）2+S=S1+S2=x（xx 即出 S 的最小值解答：解：（1）过点 C 作 CEAB 于 E，在 RtBCE 中，B=60，BC=4，CE=BCsinB=4=2，AD=CE=2（2）存在若以 A、P、D 为顶点的三角形与以 P、C、B 为顶点的三角形相似，则PCB 必有一个角是直角当PCB=90时，在 RtPCB 中，BC=4，B=60，P

52、B=8，AP=ABPB=2又由（1）知 AD=2，在 Rt中，tanDPA=，DPA=60，DPA=CPB，CPB，存在与CPB 相似，此时 x=2当CPB=90时，在 RtPCB 中，B=60，BC=4，PB=2，PC=2，AP=3，此时PCB 与则且不相似（3）如图，因为 Rt外接圆的直径为斜边 PD，则 S1=x（）2=x，当 2x10 时，作 BC 的垂直平分线交 BC 于 H，交 AB 于 G；作 PB 的垂直平分线交 PB 于 N，交 GH 于 M，连结 BM则 BM 为PCB 外接圆的半径在 RtGBH 中，BH=BC=2，MGB=30，BG=4，BN=PB=（10 x）=5x，

53、GN=BGBN=x1在 RtGMN 中，MN=GNtanMGN=x1）（在 RtBMN 中，BM2=MN2+BN2=x2x+，2S1=xBM =x（x2x+）x2当 0 x2 时，S2=x（x+）也成立，x2）2+S=S1+S2=x+x（x+x（xx）=当 x=时，S=S1+S2 取得最小值x点评：此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的性质与判定、二次函数的最值、勾股定理，关键是根据题意画出图形构造相似三角形，注意分类16. （2014株洲，第 23 题，8 分）如图，PQ 为圆 O 的直径，点 B段 PQ 的延长线上，B=1，动点 A 在圆 O 的上半圆运动（含 P、Q 两点），以

54、线段 AB 为边向上作等边三角形ABC（1）当线段 AB 所在的直线与圆 O 相切时，求ABC 的面积（图 1）；（2）设AOB=，当线段 AB、与圆 O 只有一个公共点（即 A 点）时，求 的范围（图 2，直接写出）；（3）当线段 AB 与圆 O 有两个公共点 A、M 时，如果 AOPM 于点 N，求 CM 的长度（图 3）（第 4 题图）考点：圆的综合题；等边三角形的性质；勾股定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值分析：（1）连接 OA，如下图 1，根据条件可求出 AB，然后 AC 的高 BH，求出 BH 就可以求出ABC 的面积（2）如下图 2，首先考虑临界位置：当

55、点 A 与点 Q 重合时，线段 AB 与圆 O 只有一个公共点，此时 =0；当线段 AB 所在的直线与圆 O 相切时，线段 AB 与圆 O 只有一个公共点，此时=60从而定出 的范围（3）设 AO 与 PM 的交点为 D，连接 MQ，如下图 3，易证 AOMQ，从而得到PDOPMQ，BMQBAO，又 PO=OQ=BQ，从而可以求出 MQ、OD，进而求出 PD、DM、AM、CM 的值解答：解：（1）连接 OA，过点 B 作 BHAC，垂足为 H，如图 1 所示AB 与O 相切于点 A，OAABOAB=90B=1，OA=1AB=ABC 是等边三角形，AC=AB=，CAB=60sinHAB=，HB=

56、ABsinHAB=SABC=ACBH=ABC 的面积为（2）当点 A 与点 Q 重合时，线段 AB 与圆 O 只有一个公共点，此时 =0；当线段 A1B 所在的直线与圆 O 相切时，如图 2 所示，线段 A1B 与圆 O 只有一个公共点，此时 OA1BA1，OA1=1，OB=2，cosA1OB=A1OB=60当线段 AB 与圆 O 只有一个公共点（即 A 点）时， 的范围为：060（3）连接 MQ，如图 3 所示PQ 是O 的直径，PMQ=90OAPM，PDO=90PDO=PMQPDOPMQ=PO=OQ=PQPD=PM，OD=MQ同理：MQ=AO，BM=ABAO=1，MQ=OD=PDO=90，

57、PO=1，OD=，PD=PM=DM=ADM=90，AD=A0OD=，AM=ABC 是等边三角形，AC=AB=BC，CAB=60BM=AB，AM=BMCMABAM=，BM=，AB=AC=CM=CM 的长度为点评：本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定、直线与圆相切、勾股定理、特殊三角函数值等知识，考查了用临界值法求角的取值范围，综合性较强17. （2014株洲，第 24 题，10 分）已知抛物线 y=x2（k+2）x+和直线 y=（k+1）x+（k+1）2（1）求证：无论 k 取数值，抛物线总与 x 轴有两个不同的交点；（2）抛物线于 x 轴交于点 A、B，直线与 x 轴交于点 C，

58、设 A、B、C 三点的横坐标分别是 x1、x2、x3，求 x1x2x3 的最大值；（3）如果抛物线与 x 轴的交点 A、B 在原点的右边，直线与 x 轴的交点 C 在原点的左边，又抛物线、直线分别交 y 轴于点 D、E，直线 AD 交直线 CE 于点 G（如图），且 CAGE=CGAB，求抛物线的式（第 5 题图）考点：二次函数综合题分析：（1）由判别式=（k+2）241=k2k+2=（k）2+0，即可证得无论 k 取数值，抛物线总与 x 轴有两个不同的交点；（2）由抛物线于 x 轴交于点 A、B，直线与 x 轴交于点 C，设 A、B、C 三点的横坐标分别是x1、x2、x3，x1x2=，x3=

59、（k+1），继而可求得；（3）由 CAGE=CGAB，易得CAGCBE，继而可证得OADOBE，则，又由抛物线与 x 轴的交点 A、B 在原点的右边，直线与 x 轴的交点 C 在原点的左边，又抛物线、，OE=（k+1）2，继而求得点 B 的直线分别交 y 轴于点 D、E，OAOB=，OD=坐标为（0，k+1），代入式即可求得解答：（1）证明：=（k+2）241=k2k+2=（k）2+，（k）20，0，无论 k 取数值，抛物线总与 x 轴有两个不同的交点；（2）解：抛物线于 x 轴交于点 A、B，直线与 x 轴交于点 C，设 A、B、C 三点的横坐标分别是 x1、x2、x3，x1x2=，令 0=

60、（k+1）x+（k+1）2，解得：x=（k+1），即 x3=（k+1），）2+x1x2x3=（k+1）=（k+，x1x2x3 的最大值为：；（3）解：CAGE=CGAB，ACG=BCE，CAGCBE，CAG=CBE，AOD=BOE，OADOBE，抛物线与 x 轴的交点 A、B 在原点的右边，直线与 x 轴的交点 C 在原点的左边，又抛物线、直线分别交 y 轴于点 D、E，OE=（k+1）2，OAOB=，OD=OAOB=OD，OB2=OE，OB=k+1，点 B（k+1，0），将点 B 代入抛物线 y=x2（k+2）x+得：（k+1）2（k+2）（k+1）=0，解得：k=2，抛物线的式为：y=x2