课件信号与系统随机大工ch1-ch2bak

1、信号与系统Signals and Systems信息与通信A530室创新园: 84706006(O):第一章绪论1.0一、引言学什么？学什么？怎么学？时域分析频域分析已知输入，求输出；已知输入和输出，分析系统的特性。信号信号的特性 -信号分析-系统-系统的特性 - 系统分析- 学习信号分析和系统分析的理论与方法。为什么学习信号分析和系统分析的方法？- 电子信息工程、自动化、计算机、电气工程、生物医学工程、- 工作的对象：数据或信号；设备、装置或系统发送端接收端信号消息信号消息受信者信息源- 需要掌握关于信号的产生、发射、传输、处理、及接收方面的基础知识；掌握信号分析的基础理论与方法，系统分析、

2、设计的基础理论与方法。转换器信道发射机转换器本课是电子技术、通信工程、电子信息类专业的技术基础课。- 几乎所有电类、信息类的专业课都要用到本课所涉及的内容、以此作为基础知识；二、 怎么学？- 课堂教、学为主，通过听课、看书、作业、实验等环节掌握本课内容。- 学习方法（）：预习 听课(思考、笔记) 复习 (看书、整理笔记) - 作业(做练习、看书、答疑)-几点要求：作业：必须做作业。每周交一次作业，每周一上课前交作业（内容：上周的作业）、批改、；基础知识：（1）高等数学、积分变换、复变函数、线性代数；（2）电路基础知识.三、 本课程主要内容1、 信号的概念、系统的概念（Ch.1）；2、 连续时间

3、系统的时域分析（Ch.2） ；3、 信号分析（包括周期信号、非周期信号分析，4、 连续时间系统的频域分析 (Ch.4) ；变换，频谱分析）(Ch.3)5.6.连续时间系统的复频域分析 (Ch.5) ；离散时间系统的时域分析 (Ch.7、Ch.8部分，下册). 重点强调的内容：哪些概念？本课程中的基本概念；本课程中所涉及和的基本问题；哪些问题？用于解决这些问题的基本方法；什么方法？与原来所学的有什么不同？ 本课学时分布： 32 学时, 1 - 8周，每周 2 次课：周一：5、6节（ I-209 ）；周三：1、2节（I-209 ）.四、和主要参考书1 信号与线性系统 (第4版).，2004 年 (

4、)管致中等，高等教育2信号与系统 (第2版)，等，高等教育，2000 年3Signals and Systems (2nd Edition).A. V. Oppenheim, et al, Prentice-Hall, 19974或书籍.其它有关信号与系统或信号分析方面的1.1信号的概念、传输系统，及信号分类- 什么是信号？一、信号的概念例1：例2：信息收音机接收广播电台发出的广播 无线电信号声音信号；收发电子邮件、上网浏览， 网络信号（数据、图像）Information： 一个似乎人人都明白的概念，又是一个很难明确表达的概念；-人们在互相传告某种事件时，是在相互传递信息；本体论层次的信息定义

5、：某事物的信息，是该事物运动的状态和状态变化方式的自我表述；认识论层次的信息定义：主体所感知或表述的关于某事物的运动状态及其变化方式，以及该状态和变化方式的形式、含义和效用；(message)消息：包含有信息的符号序列或函数- 用约定方式组成的符号统称为消息 ；-信息的物理表达方式，例如语言、文字、及双方约定的编码等；(Signal)信号：与消息对应的、更便于传输的某种物理量- 通常为电信号，随时间变化的电压、电流、电磁波等f (t) ；s(t)、x(t) 或s(n)、x(n)或 f (n) .- 记为对于离散时间情况，记为二、信号传输系统- 通信系统将消息转换为信号、对信号进行处理和传输的系

6、统。输出信号输入信号待发消息接收消息任务：保证通过信道传输后的输出信号能够尽量保持输入信号的原来样子；达到某种需要的变换。信号和系统的基本分析方法是必须具备的知识，本课程就是为学习和掌握和系统分析的基础理论而设置的。信号噪声信道发射机转换器转换器三、信号的分类信号的分类方法很多，可以从不同的角度对信号进行分类。确定性信号1、按信号的确定性分类信号随机信号确定性信号（Determinate Signals）：给定一个时间值，即到一个相应的信号值,记为 f (t)。例如正弦信号：tf (t) At (T ,T )f三角波信号：ttTT随机信号（Random Signals）：不能用某个确定的时间函

7、数表示的信号，在任意时刻的取值都具有不确定性。-确定信号是随机信号的基础。本课程只确定信号。X (t)t2、按信号的时间取值的连续性分类连续时间信号-对于所有时间值，都存在一个确定的信号值。（可以包含有若干不连续点）-只在某些不连续的规定瞬时给出函数值，其它时间没有定义的信号确定性信号信号离散时间信号随机信号连续时间信号 (Continuous-time signals)f1 (t)tf2 (t)（包含不连续点）t离散时间信号 (Discrete-time signals)f1(n) Am sin(n)f2 (n)nn511001 2 3 4 53、按信号的周期性分类周期信号连续时间信号确定性

8、信号离散时间信号信号非周期信号随机信号周期信号（periodic Signals）：按一定时间间隔周而复始，且无始无终的信号。f (t) f (t kT ),k ., 1, 0, 1, 2,.其中 T 为周期。例如正弦信号：f (n) A sin(n)正弦序列：tf(t) Amtn5110非周期信号（-periodic Signals）：除了周期信号以外的所有信号。4、从能量角度分类能量有限，即 W f 2 (t)dt （消耗于1电阻上的总能量）能量信号-信号功率信号-能量无限，但平均功率有限，即 1 TTP 2f(t ) d tlim时间内消耗于1电阻上的总能量。T 2Tf2 (n)能量信号

9、举例：f1 (t)nt01 23 4 5f (n) Am sin(n)功率信号举例tf(t) Ant51102AP 平均功率：m 2其它信号：除了能量信号、功率信号之外，是否还有非能量信号、非功率信号？f (t ) f1 (t ) t 2e tu (t ).;有！例如：1.2系统的概念一、系统的定义(Systems)系统：是一个由若干相互关联的单元，e(t)r(t)用于达到某一特定目的的有机整体。e(r(t)输入信号，也称为激励 (Excitement)；t) 输出信号，也称为响应 (Response) ；e(t)r(t)r(输入通过系统产生输出（系统对激励的响应）：e(t)t)r(t) He

10、(t)或二、系统的分类1、线性系统 (Linear System)- 同时满足性和叠加性的系统。当 r(t) He(t),性（Homogeneity）：若有 H e(t) H e(t) r(t),则称系统 H 具有性；r1 (t) He1 (t), r2 (t) He2 (t),叠加性（Suposition）：当若有 He1 (t) e2 (t) He1 (t) He2 (t) r1 (t) r2 (t),一般情况：则称系统 H 具有叠加性；H1 e1 (t) 2 e2 (t) 1 He1 (t) 2 He2 (t),若有则称系统 H 为线性系统；H 系统信道接收信号待发信号接收系统发射系统非

11、线性系统 (linear System)：除了线性系统 以外的所有系统。（含有非线性元件的系统） 线性系统 举例：可以求出电容上的电压为：u(t)C1 1ui (t ) e RCduC (t) （设电容上的初始电压为0）RC0H1 e1 (t) 2 e2 (t) 1 r1 (t) 2 r2 (t).可以证明这时该系统满足条件：问题：如果电容上的初始电压不为0，该系统是否也为线性系统 ？- 课后思考题。本课主要线性系统。2、时变系统与时不变系统(time-varying system, time-invariant system )时不变系统：响应函数的形状不随激励信号施加的时间的不同而改变的系

12、统。He(t) r(t),He(t t0 ) r(t t0 ),即当若有则称系统 H 为时不变系统。e(t )r(t ) 时不变系统举例：e(t)r(t)ttTOOr(t t0 )e(t t0 )e(t t0 )r(t t0 )ttt0Ot TOt00时变系统：响应函数的形状随激励信号施加的时间的而改变的系统。不满足时不变系统特性的系统 (系统内部含有时变元件)。H H 3、连续时间系统 (continuous time system )与离散时间系统 (discrete time system )连续时间系统离散时间系统混合系统-激励信号和响应信号都是连续时间信号。-激励信号与响应信号都是离

13、散时间信号。系统-同时包含连续时间信号和离散信号的系统。4、因果系统与非因果系统 (Causal systems，-causal systems )因果系统： 符合因果律的系统，也称为物理可实现的系统。即系统在 t0 时刻的响应 r(t) 只与 t t0 时刻的输入e(t) 有关。非因果系统： 不符合因果律的系统，也称为物理不可实现的系统。 非因果系统举例：设某系统激励和响应之间的关系为则该系统在 0 时刻的响应为：0dr(t)t 0. e(t t0 )设0dtt00t0e( ) de( ) d e( ) de( t )dr(0) 00由此可知 r(0) 与从 到t0 为止的e(t) 有关，不

14、符合因果律, 故不是因果系统。1.3线性时不变系统的性质及分析方法e(t)r(t)r(t) He(t),一、线性时不变系统的性质设1o线性性 (性和叠加性)：H1 e1 (t) 2 e2 (t) H1 e1 (t) H2 e2 (t) 1 He1 (t) 2 H e2 (t) 1 r1 (t) 2 r2 (t),-叠加性性e(t t0 )r(t t0 )2o时不变性：He(t t0 ) r(t t0 )H de(t) dr(t)de(t)dtdr(t)3o微分特性：dtdtdt-可推广至高阶。4ott积分特性：e()d r()d Htte( )d r( )d -也可推广至高阶。 积分特性证明：

15、0k n0k ne(t kt)t He(t kt) tH0k nr(t kt) t取 n, t0 极限，得证。同理可证微分特性。H H H H 二、线性时不变系统的分析方法 在进行系统分析时，通常需要进行以下几个步骤：时域-微分（差分）方程、状态方程、卷积方程；1、建立系统的数学模型频域-付氏变换、拉氏变换、Z变换2、运用数学方法分析系统，求解响应。3、对所求得的结果给予解释，赋予物理意义。 Ch.1 作业： 1.1，1.3: (1),(2),(3) ，1.4,1.5:(1)-(6)，1.8: (1), (3) ，1.10。第二章连续时间系统的时域分析2.1引言 本章线性连续时间系统的分析求解

16、在分析求解线性连续时间系统时，如果不经过任何变换，则所涉及函数的变量都是method）;时间 t，这种分析方法称为时域分析法（Time-常用的时域分析法有微分方程法（时域求解），卷积求解，状态方程分析法等；如果为了便于求解，而将时间变量变换成其它变量，则相应地称为变换域分析法（Transformmethod） 。-常用的变换域分析法有频域求解法、复频域求解法、Z 变换法 等；2.2系统数学模型的建立 进行系统分析时，首先要建立系统的数学模型。-对于电路系统而言，建立系统的数学模型需要掌握两方面的知识：(1)电路各个元件上的电压和电流的关系：uR R iR (t)电阻电容电感R :(t) C d

17、uC (t)1tiu (t) C :i()d,CdtCCCi (t) 1u (t) L diL (t) ,tL :u ()dLLLdtL(2)应用有关电路原理（如电压和电流定律），建立电路方程。C串联电路，激励电压e(t)， 举例：RLCLe(t)(i t)，建立该系统方程。响应电流i(t )解： 1Ci( )d R i(t ) L di(t ) e(t )tRdt2d(i)tdi (t)1de ()tL i(t )R2dtdtCdtRM例2：的互感耦合电路,e(t)为激励信号，次级回路电流i2(t )为响应信号，建立方程。LLRe(t)解：di (t)di (t)L 1 R i (t) M

18、e(t)2dti ( )ti( )t1dt12L di2 (t) R i (t) M di1 (t) 02dt整理该方程组，dt22di2()tdi2()tde()t：222RLRt ) MdtL(M )i2(dt 2dt 以上两例均是线性系统，得到的系统的数学模型是线性常系数微分方程，方程的系数完全取决于系统的参数。由于系统中只含有两个储能元件，因此微分方程是二阶的。 推广得到 n阶系统，数学模型为d n 1r (t )d n r (t ) dr (t )L a1a0 r (t )an 1dt n 1dt ndtd m 1e (t )dt m 1d m e(t )de (t ) bmbm 1

19、L b1b0 e(t )dt mdt 这种微分方程描述了系统输入（激励）e(t), 输出（响应）r(t)之间的关系，因此称这种描述法为输入输出描述法。其中 ai、bi 是由系统元件参数确定的常数。时域分析法就是在时域直接求解系统微分方程的方法。主要包括经典法，分解法。经典法：r(t) = 通解（方程解） +- 数学分析知识- 电路理论知识特解（非解）+响应受迫响应分解法：将系统的响应信号分解为零输入响应和零状态响应两部分，分别求解。2.3系统的零输入响应零输入响应： 当外加激励信号为0，仅仅由系统的初始条件(状态)所产生的响应，记为rz(it)。根据定义， e(t) ,dn (r0 此时系统的

20、微分方程变为：n1 (r)td)tdr()tan1 La (0 r ) t0a1dtn1微分方程的解，ndtdt 系统的零输入响应是及特征根的性质。微分方程解的形式取决于特征方程微分方程的特征多项式(以微分算子形式表达)pn1D( p) pn aLpaa0特征方程：n 011特征根即为特征方程的根。一、特征根为单根的情况D( p) pn apn1L a p a 0n 110设该特征方程的根为 1 , 2 ,L, n ( i j)且彼此不等，即ij( p 1 )( p 2 ) L ( p n ) 0于是有：(t ) C 1 e 1t C 2 e 2 tL C n e n trzi这时零输入响应的

21、形式为其中 C1 , C 2 ,K , Cn 是由初始条件确定的待定系数。二、特征根含有重根的情况( p )k是特征方程的 k 阶重根，即特征方程中含有设因子，其余为单根，11即该特征方程可表示为：( p ) k( p ) L ( p ) 0k 11n此时零输入响应的形式为2k 1 t(C 0 C1 t C 2 t L Ct)e 1k 1t C k 1 e k 1 t L C n e nrzi (t ) 其中也是由初始条件确定的待定系数。C1 , ., C k , ., CnCRLC 串联电路，激励电压e(t)，响应电流i(t) ； 举例：电路参数R： C1 , F1LH;,2i/t)初始条S

22、 件： (0 ) ,0 A(0 ) 1Le(;ii(t )iz.i t(t( )求零输入响应解：1 tRdi(t )t(L ) i) iRd() e2Cdtd(i)tdi (t) 1de ()tLR)ti( Ct )2dtdtdt2d(it)di (t)de ( 2 dt代入参数得：i(t )2dtdtD(p) )p2 10 p( p1212特征方程：特征根为（二阶重根）( C ) t t(tC )itCte/iCC)0ti(t ) e(得零输入响应：101zi01(i 0 ) i C0(0 ) ,0 A(0 ) 1利用初始条件确定待S定系数： C 1i (0)Ci(368t )C 0, C

23、1 tt,解得10010.0e( i) t(t .)zi t01C+-0 ,u ( 0 ) V若取初始条(件为0：i)10(t 0).ci(t ) 10te t ,则用同样的方法可解得：ziLe(t)i (t )i(t )zi1tR03.68奇异函数2.4 奇异函数：导数以及积分有不连续点的函数。或存在间断点，在间断点上的导数用一般方法无法确定的函数称为奇异函数。( t )一、 阶跃函数t 0t 0 (t) 1,阶跃函数：10,t0t 0 时， (t ) 不确定（ 0，1 之间某一值）。 0 时， (t ) =1 .t 0 时， (t ) = 0；t阶跃函数用来表示理想化的开关接通信号源的情况

24、：E(t) +-AAAA图：理想开关接通电源模型t t0若阶跃函数跃变发生在时刻，这时(t t0)t 0t tt t1,1 (t t0) 00,t0t00 ( t ) (t) ?t 0t 0 (t) 1,1t0,02+1Et 0-fT (t)用阶跃函数表示：EfT (t) (t) (t t0 )t0t0用阶跃函数表示有始正弦波：fS (t)Amtt (t)f0表示任意有始函数：fS (t)tfS (t) f (t) (t)0- Dirac 函数二、冲激函数( t )1、 定义(1) ,t 0t 0t (t) 0, ( t ) d t1且0其中 “(1) ”表示冲激强度为1。 有的文献也用下述极

25、限来定义： 1(t) lim(t ) (t )1220t022A(t t )一般情况：A(t t0)220( A)tt00对幅度非常大、作用时间非常短脉冲信号的理想化表示。 物理意义：-例如可以用来表示电学中的电闪雷击信号、力学中瞬间作用的冲击力等。 1(t)2、的性质f( t1o)t(抽样性：t)dtf0(t)0( t ) ( t2o)偶函数：阶跃函数 (t)的关系：3o与(t t 1,00) dt)t ( ) d ,(t)(t 0, dt) ( t ) ( t 4ot) f t(tf ()t与其它函数相乘：000sgn (t)三、符号函数(Sign function)1t 0t 0 1,s

26、gn(t) t1,01符号函数与阶跃函数的关系：sgn(t) (t) (t) 2 (t ) 1R(t)斜变函数(Ramp function )四、t 0t 0R(t) t, 0,t0五、冲激偶 (t )(Doublet function)d (t )dt (t ) 1( )12tt求导 0 202( 1 )2 (t) (t)(1)000(1)0求导tt当 t 从负值趋于零时，是一强度为无限大的正的冲激函数；当 t 从正值趋于零时，是一强度为无限大的负的冲激函数；函数 R(t)、 (t) 、 (t)、 (t) 之间的关系：求导求导求导 (t) (t) (t)R(t)积分积分积分 (t) 的一个重

27、要性质： (t) f (t)dt f (0) (n) (t) f (t)dt (1)n(n) (0)f证： (t) f (t)dt f (t)d (t) f (t) (t) f (0) (t) f (t)dt ( n) (t) f (t)dt (1)n f (n) (0).同理可证Ch2 作业1： 2.3: (1), (3)； 2.4: (1), (3)；2.5 : (1);2.7; 2.8;2.9: (a), (c) ; 2.10。2.5信号的时域分解f1 (t)一、脉冲串信号表示为奇异函数之和A单脉冲t) (t )f1t0fn (t)有始周期ALLtf 1 ( t)fn (t) f1(t)

28、 f1(t T) f1(t 2T) LT 0t Tf t(AkT) kT ) kT )t1(k 0k 0fR (t)A有始周期性锯齿脉冲信号t3T0t 2T ) Lt kT )2TTf R (t ) ARARtk 1f (t)二、任意信号表示为阶跃信号的积分考虑各时刻的台阶高度：fa (t)f2 (t)t 0,t t ,f0 (t) f (0) f (t) (t);f (t)f (t) f (t) f (0) (t t)f1 (t)1f (t ) f0 (t)f (0) t (t t )tt tt2tLkt0 f (t1 ) t (t t )tt k t , f (tk t) t (t k t

29、 )f (t) f (kt) f (kt t)(t kt)k将上述阶跃函数叠加起来得到阶梯型函数：k f a (t ) L f 0 (t ) f1 (t ) f 2 (t ) L f k (t ) Lf k (t ) f (t )k t (t k t ) t有：k 取极限，令 t 0df ( )d f (t ) t d ,k t ,k t f ( ) ( t ) d limf a (t ) f (t ) t 0 f () ( t ) d f ( t ) 即tf ( 0 ) ( t ) f ( ) ( t ) d 对有始信号，上式变为：f( t )0若从 0 开始，则：t) ( t ) f( )

30、 ( t ) d f ( t )f ( 00f (0 ) 0 ，则：若t( ) ( t ) d f ( t ) f-以后要用到该式。0f (t)三、任意信号表示为冲激函数的积分仍考虑各时刻的台阶高度：f0(t) f (0)(t) (t t),f (t)bf (t)2f (t)f (t) (t) (t t)1 f (0)tf (t)tt0f1(t) f (t)(t t) (t 2t) t0 t 2tktLf (t) (t t) (t 2t) ttfk (t) f (kt) (t kt) (t kt t)f (kt) (t kt) (t kt t) ttf (k t ) (t k t ) (t k

31、 t t ) tfb (t) 为f (t ) 则btk 有：t 0取极限，令 t d , k t ,( t k t )( t ( k 1) t )t (t ) f ( ) ( t ) d limf b ( t ) f ( t ) -表示成为了冲激函数的积分 t 0一般情况下，可写成：tf ( ) ( t ) d f ( ) ( t ) d f ( t ) tf ( t ) 对有始信号，有：02.6冲激响应和阶跃响应-求解系统的零状态响应一、冲激响应 (t)作为激励信号，系统的零状态响应称为冲激响应：以冲激函数h(t).冲激响应, 记为即h ( t ) H ( t )为求 h(t)，考虑原来系统

32、的微分方程：n 1 (rnm 1 (emd(r)td)tdr()td(e)td)tde()t an 1Labm bm 1L b10 (ea1(r)tb)t0n 1dt m ndtdt m1dtdtdt此时激励为 (t) ，故有d n1h(t)dtn 1d m (t)d m1 (t)dtm 1d (t)d nh(t) dh(t) b0 (t)L a1a0h(t) bmbm 1L b1an 1dtndtmdtdtpn 1pm 1L b p b ) (t)写成算子方程： ( pnaL a p a) h(t) (bpmbn 1m 110m10 分三种情况求解上述方程n m1、（一般情况）pm 1N (

33、 p)bL b p bpmbN ( p ) (t) , (t)h(t) mm110 为真分式。D( p)D ( p )pn 1pnaL a p an 110D( p) 0设的根都是单根，则N ( p) (t)k1k2k2p n h (t) h (t) . h (t) (t) ( . p 1p 212nD( p)kip (t),h (t) (i 1,., n)其中iikip ( p i ) hi (t) ki (t) (t)h (t) 求解iid dhi (t)e it h (t) k (t) eith (t) h (t) k (t)iiiiiiidttdtddt h ( )e d k ( )

34、e diiii00t0h (t)eit k t h (0 ) kh (t)eiiiiiih (0 ) 0,因为 h(t) 是零状态响应，故有ieit ,eit得：h (t) k(t 0)ii (t) kinnkih(t) hi (t) p (t)i 1i 1inh(t) 所以得：eit (t)kii 1 1D ( p ) 当0的根有重根时，设为 l 重根（不失一般性），则kl( p kl 1k1 p (t)h (t) . ( p )1l l1)111l 1 t , (t 0)j 1h (t)(k jlnj 1i 2j 1 e tt (t).h(t) tk e1i这时得：i( j 1)!n m2

35、、情况pn 1bL b p bpnbN ( p)N ( p ) (t)h(t) n 1 (t),n10为假分式。pn 1pnaL a p aD( p)D ( p )n 110D( p) 0设的根都是单根，则N ( p)nkip in (t) bn b (t) k (t)h(t) (t)i teD( p)nii 1i 1 1D ( p ) 0 的根有重根时，设同样当l为重根（不失一般性），则k jln i 2j 1 eh(t) b (t) t t (t)tk e1ini( j 1)!j 1n m3、情况 ( t ) 的导数项, 此时有：h ( t )中不仅含有 ( t ) 项，而且还含有N (

36、p) (t)n kip pm npm n 1 (t)h(t) bd . d p dm n 1m10D( p)i 1nii 1eit b ( m n ) (t) d( m n (t) . d (t) d (t) (t)1)km n 1m10i二、阶跃响应 (t) 作为激励信号，系统的零状态响应称为阶跃响应：以阶跃函数r (t) .阶跃响应, 记为r ( t ) H t (即)r( t )，根据线性时不变系统的微分与积分性质，得为求解) d (t) dr()tt)( th (dtdttth( ( t ) ( t)( d)r) d00h(t)与r (t)之间满足微积分的关系，因此阶跃响应可以通过对所

37、以冲激响应的积分求解得到。三、例题已知如图 RC电路初始状态为 0 ，激励为冲激电压源Re(t)Cu(t)Ce(t) (t)u(t)。t，求响应电流 i(t)和电容电压C1 i () d 1R i ( t ) 解：该系统的微分方程为( t )C d ( t )di ( t )111或 p ( t ) 1) i ( t ) i ( t )( pdt R CRdt RC R 1R 2C 1p解得特征根： 1Ri(t ) R (t ) (t ),RC11i(t)p p 1tRCRC 1 ()R0t11所以： ( t )i ( t ) te( t )R C 12Ri (RCR2C1d u( t )CC

38、 1 1 t111( () d ) eR C RC2CRRC 1 1 t111t (t ) (t ) ( t )t0e RC eRC RC RC RC 0i(t )Ch2 作业2： 2.15: (4), (5)； 2.16；2.17: (a),(c),(e)。2.7叠加积分一、卷积积分 (Convolution)ttf ( ) (t )d) (t )df (t ) e(t ) e(由设 h ( t ) H ( t )H e( ) (t ) e( ) H (t ) e( ) h(t )-线性系统-时不变系统tt ) (t )d ) (t ) dH e(t) Ht e(H e( ) h(t ) d

39、e(-对线性时不变系统t ) h(t ) de(t)e(h(t) 的卷积，记为称为与t ) h(t ) d e(t) h(t)e(f1 (t) f2 (t) f1 ( ) f2 (t ) d更一般的卷积定义为 卷积是一种非常重要的运算，是求解线性系统响应的主要方法。二、杜尔积分（Duhamel）tf ( 0 ) ( t ) f ( ) ( t ) d ( t ) f由0de( ) (t ) dte(t ) e(0) (t ) d0H e(t) H e(0) (t) de( ) (t ) d td0t (t) e ( ) H (t ) d e(0) H0t ) r (t ) d e(0) r (

40、t) e (-称为杜尔积分0te( ) r (t ) d (t)02.8卷积及其性质f1 (t ) f 2 (t ) f1 ( ) f 2 (t )d翻转 平移 相乘积分一、卷积的几何含义通过举例来说明其几何含义f (t) (t t ) (t t )f (t) et (t)求矩形脉冲与单边指数函数的卷积：1122f1 ( )f1 ( )f2 ( )f2 (t )f2 ( )1110t1g (t) t200ttttt12t t1 ,f1(t) f2 (t) 0;ttt 1 e ( t t1 )f ( ) f (t ) de(t ) dt t t ,g (t ) 1212t11t2t2tt e (

41、 t t 2 ) e ( t t1 )f ( ) f (t )de(t ) dt t , g (t ) 2 g(t) 11211(t t )(t t )(t t )(t(t(tet )t)et )e121122卷积的结果是 t 的函数，若二者均是有始函数，则卷积结果也是有始函数。二、卷积的性质u (t ) v(t )v ( t ) u ( t )1o2o 3o互换律u(t) v(t) w(t) u(t) v(t) u(t) w(t)分配律u (t ) v(t ) w(t ) u (t ) v(t ) w(t )结合律du (t ) v(t ) u (t ) dv (t )d4o卷积后的微分u (t ) v(t ) dtdtdt-等于其中一个函数先微分再与另一个函数相卷积5o卷积后的积分tttu ( x ) v ( x ) dx u ( x ) dx v (t ) u (t ) v ( x ) dx -等于其中一个函数先积分再与另一个函数相卷积综合4o 和5o ，有:dv(t )dttu (t ) v(t )u ( x )dx 6o