函数的导数PPT学习教案

1、会计学1函数的导数函数的导数1.自由落体运动的瞬时速度问题自由落体运动的瞬时速度问题0tt ,0时时刻刻的的瞬瞬时时速速度度求求tt目的目的：,0tt 的时刻的时刻取一邻近于取一邻近于, t 运动时间运动时间tsv 平均速度平均速度00ttss ).(20ttg ,0时时当当tt 取极限得取极限得2)(limv00ttgtt 瞬时速度瞬时速度.0gt 第1页/共39页2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置播放播放第2页/共39页 T0 xxoxy)(xfy CNM如图如图, 如果割线如果割线MN绕点绕点M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT,直线直线MT就称为曲线

2、就称为曲线C在点在点M处的处的切线切线.极限位置即极限位置即. 0, 0 NMTMN).,(),(00yxNyxM设设的的斜斜率率为为割割线线MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿曲线沿曲线的的斜斜率率为为切切线线MT.)()(limtan000 xxxfxfkxx 第3页/共39页,存存在在xxfxxfxyxx )()(limlim0000 .0 xxy 记记为为如果极限如果极限有定义有定义的某个邻域内的某个邻域内在点在点设函数设函数,)(0 xxfy 定义定义.)(,)(00处处的的导导数数在在点点极极限限为为函函数数并并称称这这个个处处可可导导在在点点则

3、则称称函函数数xxfyxxfy 第4页/共39页.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx xxfxxfxyyxxxx )()(limlim0000000)(xxxxdxxdfdxdy 或或即即),( 0 xf第5页/共39页.,0慢程度慢程度而变化的快而变化的快因变量随自变量的变化因变量随自变量的变化反映了反映了它它处的变化率处的变化率点导数是因变量在点点导数是因变量在点 x.)(,)(内可导内可导在开区间在开区间就称函数就称函数处都可导处都可导内的每点内的每点在开区间在开区间如果函数如果函数IxfIxfy 关于导数的说

4、明：关于导数的说明：第6页/共39页.)(),(,.)(.)(,dxxdfdxdyxfyxfxfIx或或记作记作的导函数的导函数这个函数叫做原来函数这个函数叫做原来函数导数值导数值的一个确定的的一个确定的都对应着都对应着对于任一对于任一 xxfxxfyx )()(lim0即即.)()(lim)(0hxfhxfxfh 或或注意注意: :.)()(. 100 xxxfxf . 2固定固定求极限过程中求极限过程中 x第7页/共39页2.右导数右导数:单侧导数单侧导数1.左导数左导数:;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim

5、)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 第8页/共39页.,),(),()(000可导性可导性的的讨论在点讨论在点设函数设函数xxxxxxxxf 函数函数)(xf在点在点0 x处可导处可导左导数左导数)(0 xf 和右和右导数导数)(0 xf 都存在且相等都存在且相等.如果如果)(xf在开区间在开区间 ba,内可导，且内可导，且)(af 及及)(bf 都存在，就说都存在，就说)(xf在闭区间在闭区间 ba,上可导上可导.第9页/共39页步骤步骤:);()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx 求极限求极限例例

6、1 1.)()(的导数的导数为常数为常数求函数求函数CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim. 0 . 0)( C即即第10页/共39页例例2 2.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求设函数设函数解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 类似可得：类似可得：.sin)(cosxx 第11页/共39页例例3 3.)(的导数的导数为正整数为正整数求函数求函数nxyn 解解hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1

7、(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地更一般地)(.)(1Rxx )( x例如例如,12121 x.21x )(1 x11)1( x.12x 第12页/共39页例例4 4.)1, 0()(的导数的导数求函数求函数 aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax .ln)(aaaxx 即即.)(xxee 第13页/共39页例例5 5.)1, 0(log的导数的导数求函数求函数 aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 .ln1)(logaxxa 即即.1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim

8、0 .ln1ax 第14页/共39页例例6 6.0)(处的可导性处的可导性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 ),0()0( ff即即.0)(点不可导点不可导在在函数函数 xxfy第15页/共39页oxy)(xfy T0 xM1.几何意义几何意义)(,tan)(,)(,()()(0000为倾角为倾角即即切线的斜率切线的斜率处的处的在点在点表示曲线表示曲线 xfxfxMxfyxf切线方程切线方程为为法线方程法线方程为为).)(000 xxxfyy ).

9、()(1000 xxxfyy 第16页/共39页例例7 7.,)2 ,21(1方程和法线方程方程和法线方程并写出在该点处的切线并写出在该点处的切线斜率斜率处的切线的处的切线的在点在点求等边双曲线求等边双曲线xy 解解由导数的几何意义由导数的几何意义, 得切线斜率为得切线斜率为21 xyk21)1( xx2121 xx. 4 所求切线方程为所求切线方程为法线方程法线方程为为),21(42 xy),21(412 xy. 044 yx即即. 01582 yx即即第17页/共39页2.物理意义物理意义非均匀变化量的瞬时变化率非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动变速直线运动: :路程对时间的导数为物体

10、的路程对时间的导数为物体的 瞬时速瞬时速度度.lim)(0dtdststvt 交流电路交流电路: :电量对时间的导数为电流强度电量对时间的导数为电流强度.lim)(0dtdqtqtit 非均匀的物体非均匀的物体: :质量对长度质量对长度(面积面积,体积体积)的导数为物体的导数为物体 的线的线(面面,体体)密度密度.第18页/共39页定理定理 可导函数都是连续函数可导函数都是连续函数. .证证,)(0可导可导在点在点设函数设函数xxf),(lim00 xfxyx ,)(0 xfxy,)(0 xxxfy )(limlim000 xxxfyxx 0 .)(0连续连续在点在点函数函数xxf)0(0 x

11、 注意注意: : 该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立.第19页/共39页连续函数不存在导数举例连续函数不存在导数举例.,)()()(,)(. 1000函数在角点不可导函数在角点不可导的角点的角点为函数为函数则称点则称点若若连续连续函数函数xfxxfxfxf xy2xy 0 xy 例如例如,0,0,)(2 xxxxxf.)(0,0的角点的角点为为处不可导处不可导在在xfxx 第20页/共39页31xyxy01)( .)(,)()(limlim,)(. 2000000不可导不可导有无穷导数有无穷导数在点在点称函数称函数但但连续连续在点在点设函数设函数xxfxxfxxfxyxxfxx 例如例如

12、, 1)(3 xxf.1处不可导处不可导在在 x第21页/共39页.,)()(. 30点不可导点不可导则则指摆动不定指摆动不定不存在不存在在连续点的左右导数都在连续点的左右导数都函数函数xxf,0, 00,1sin)( xxxxxf例如例如,.0处不可导处不可导在在 x011/1/xy第22页/共39页例例8 8.0,0, 00,1sin)(处的连续性与可导性处的连续性与可导性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解,1sin是有界函数是有界函数x01sinlim0 xxx.0)(处处连连续续在在 xxf处处有有但但在在0 xxxxxy 001sin)0(x 1sin.11,0之间振荡而极限不

13、存在之间振荡而极限不存在和和在在时时当当 xyx.0)(处处不不可可导导在在 xxf0)(lim)0(0 xffx第23页/共39页.)()(,)(. 4000不可导点不可导点的尖点的尖点为函数为函数则称点则称点符号相反符号相反的两个单侧导数的两个单侧导数且在点且在点若若xfxxxf xyoxy0 xo)(xfy )(xfy 第24页/共39页1. 导数的实质导数的实质: 增量比的极限增量比的极限;2. axf )(0 )(0 xf;)(0axf 3. 导数的几何意义导数的几何意义: 切线的斜率切线的斜率;4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导;5. 求导数

14、最基本的方法求导数最基本的方法: 由定义求导数由定义求导数.6. 判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.第25页/共39页作业 (数学分析习题集)习题习题3.1导数的定义导数的定义 1；2；3；4；5; 7; 8；10; 12. 第26页/共39页思考思考题题 函函数数)(xf在在某某点点0 x处处的的导导数数)(0 xf 与与导导函函数数)(xf 有有什什么么区区别别与与联联系系？第27页/共39页思考题解答思考题解答 由导数的定义知，由导数的定义知，)(0 xf 是一个具体的是一个具体的数值，

15、数值，)(xf 是由于是由于)(xf在某区间在某区间I上每一上每一点都可导而定义在点都可导而定义在I上的一个新函数，即上的一个新函数，即Ix ，有唯一值，有唯一值)(xf 与之对应，所以两与之对应，所以两者的者的区别区别是：一个是数值，另一个是函数两是：一个是数值，另一个是函数两者的者的联系联系是：在某点是：在某点0 x处的导数处的导数)(0 xf 即是导即是导函数函数)(xf 在在0 x处的函数值处的函数值第28页/共39页2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置第29页/共39页2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置第30页/共39页2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置第31页/共39页2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置第32页/共39页2.切线问题切线问