全国通用2017届高考数学一轮总复习第五章平面向量解三角形5.2平面向量的数量积及其应用课件理.

1、5.2平面向量的数量积及其应用高考理数高考理数一、向量数量积的有关概念(4个)1.向量a与b的夹角:已知两个非零向量a、b,过O点作=a,=b,则AOB=叫做向量a与b的夹角,记作.向量a与b夹角的范围:0180.当=90时,a与b垂直,记作ab;当=0时,a与b同向;当=180时,a与b反向.2.向量a与b的数量积:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为,则把|a|b|cos叫做a与b的数量积(或内积),记作ab=|a|b|cos.3.向量的投影:|b|cos叫做b在a的方向上的投影,它是一个实数,而不是向量.当090时,它是正值;当90180时,它是负值;当=90时,它是0.4.ab的几何意

2、义:ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积.二、向量的两个充要条件若a=(x1,y1),b=(x2,y2)均为非零向量.1.aba=bx1y2-x2y1=0.OA OB 知识清单当a与b同向时,=0ab=|a|b|;当a与b反向时,=180ab=-|a|b|.2.ab=90ab=0 x1x2+y1y2=0.三、向量的数量积的运算律及常用公式1.运算律:(1)ab=ba;(2)(a)b=(ab)=a(b)(R);(3)(a+b)c=ac+bc.2.常用公式:(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2.(2)若a=(x,y),则aa=a2=|

3、a|2=x2+y2,|a|=.(3)若A(x1,y1),B(x2,y2),则|=.(平面内两点间的距离公式)(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则cos=.(5)向量中的不等式若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则-|a|b|ab|a|b|-x1x2+y1y2,由此可得|x1x2+y1y2|(柯西不等式).22xyAB 221212()()xxyy|a ba b121222221122x xy yxyxy2211xy2222xy2211xy2222xy22221122()()xyxy1.向量的数量积与实数乘法的比较2.几个常用结论在ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c

4、.(1)若=,则存在使得I为ABC的内心;a+b+c=0P为ABC的内心.(2)|=|=|P为ABC的外心.实数乘法向量的数量积运算的结果是一个实数运算的结果是一个实数交换律:ab=baab=ba分配律:(a+b)c=ac+bc(a+b)c=ac+bc(ab)2=a22ab+b2(ab)2=a22ab+b2(a+b)(a-b)=a2-b2(a+b)(a-b)=a2-b2a2+b2=0a=0且b=0a2+b2=0a=0且b=0|a|-|b|ab|a|+|b|a|-|b|ab|a|+|b|AI|ABACABAC PA PB PC PA PB PC 【知识拓展】【知识拓展】(3)+=0G为ABC的重

5、心.(4)=P为ABC的垂心.(5)设O(0,0),A(x1,y1),B(x2,y2),则SOAB=|x1y2-x2y1|.(6)向量、中三终点A、B、C共线存在实数、使得=+且+=1.GA GB GC PA PB PB PC PC PA 12PA PB PC PA PB PC 1.求平面向量夹角的方法:例例1 (2015广西柳州模拟,10)设非零向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|,|a+b|=|c|,则向量a,b的夹角是()突破方法方法方法1平面向量的夹角、模平面向量的夹角、模A.B.C.D.解析解析由|a+b|=|c|,得|a+b|2=|c|2,即a2+b2+2ab=c2,又因为|a

6、|=|b|=|c|,所以ab=-=|a|b|cos,所以cos=-,故=.答案答案C1-1 (2016贵州贵阳一中联考,14,5分)若平面向量,满足|=1,|1,且以向量,为邻边的平行四边形的面积为,则与的夹角的取值范围是.答案答案解析解析依题意有|sin=,sin=,由|1,得sin,又0,故有.6323562|2a1223125,661212|126562.利用向量数量积求长度问题是数量积的重要应用,要掌握此类问题的处理方法:(1)|a|2=a2=aa;(2)|ab|2=(ab)2=a22ab+b2;(3)若a=(x,y),则|a|=.例例2 (2015云南昆明质量检测,10)在ABC中,

7、BC边上的垂直平分线与BC,AC分别交于点D,M,若=6,且|=2,则|=()A.B.C.4D.2解析解析如图,=-,设|=x,|=y,MD垂直平分BC,则|=|,6=(-),22xyAM BC AB AC 1062BC AC AB AM MCMBMCAM BC AM AC AB 6=-,=-6,又|=|,|2=|2,|-|2=|2-2+|2,|2-2(-6)+|2=|2,4-2+12+|2-|2=0,16-2+|2-|2=0,16-2x(x+y)+x2-y2=0,16=(x+y)2,|=x+y=4.答案答案C2-1 (2016安徽安庆一模,9,5分)已知在ABC中,D为BC的中点,若A=12

8、0,=-1,则|的最小值为()A.B.C.D.AM AC AM AB AM AB AM AC MBMCMBMCAB AM AB AB AM AM AB AM AC AM MCAM AC AM MCAM AC AM MCAC AB AC AD1222232答案答案B解析解析显然有|=|+|.因为=-1,A=120,所以|=2,可得|2=(|2+|2-2)(2|-2)=,所以|min=.2-2(2015四川绵阳二诊,11,5分)设向量a,b,c满足|a|=|b|=1,ab=-,=60,则|c|的最大值等于()A.2B.C.D.1答案答案A解析解析由ab=-得=120,设=a,=b,=c,则AOB=

9、120,=a-c,=b-c,=60,ACB=60,O、A、C、B四点共圆,|c|的最大值应为圆的直径2R.因为在AOB中,OA=OB=1,AOB=120,所以AB=,由正弦定理得2R=2.故选A.AD12AB AC AB AC AB AC cosAB ACA AD14AB AC 14AB AC 12AD22123212OA OB OC CA CB 3sinABAOB平面几何经常涉及距离、夹角问题,而平面向量的运算,特别是数量积主要涉及向量的模及向量的夹角.因此,我们可以用向量方法解答部分几何问题.用向量方法解决平面几何问题可分三步:例例3 (2012上海,12,4分)在平行四边形ABCD中,A

10、=,边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点,且满足=,则的取值范围是.解题思路解题思路建立平面直角坐标系令=,3|BMBC |CNCD AM AN|BMBC |CNCD 方法方法2用向量解决平面几何问题的方法用向量解决平面几何问题的方法写出相应点的坐标将的坐标表示转化为关于的二次函数求的取值范围解析解析建立平面直角坐标系,如图.则B(2,0),C,D.令=,则M,N.=+=-2-2+5=-(+1)2+6.01,2,5.AM ANAM AN53,2213,22|BMBC |CNCD 32,22532 ,22AM AN2252234AM AN答案答案2,53-1 (2016

11、贵州盟校联考,11,5分)已知点G是ABC的重心,点P是GBC内一点,若=+,则+的取值范围是()A.B.C.D.(1,2)答案答案B解析解析点P是GBC内一点,+1,当且仅当点P在线段BC上时,+最大,等于1,当P和G重合时,+最小,此时,=+=(+)=,=,+1,故选B.AP AB AC 1,122,1331,2AP AB AC AG2312AB AC 3ABAC 1323向量不能比较大小,向量的模可以比较大小.公式依据:|a|2=aa=a20;|ab|a|b|;|a|-|b|ab|a|+|b|.例例4(2013湖南,6,5分)已知a,b是单位向量,ab=0.若向量c满足|c-a-b|=1

12、,则|c|的取值范围是()A.-1,+1B.-1,+2C.1,+1D.1,+2解析解析由公式|a|-|b|a-b|得|c|-|a+b|c-a-b|=1,-1+|a+b|c|1+|a+b|,又a,b是单位向量,ab=0,|a+b|=,-1+|c|1+.答案答案A4-1 (2016河南师大附中3月月考,10,5分)若a,b,c均为单位向量,且ab=0,(a-c)(b-c)0,则|a+b-c|的最大值为()A.-1B.1C.D.222222222222方法方法3不等式、最值问题不等式、最值问题答案答案 B解析解析设a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),则x2+y2=1,a-c=(1-x,-y),b-c=(-x,1-y),则(a-c)(b-c)=(1-x)(-x)+(-y)(1-y)=x2+y2-x-y=1-x-y0,即x+y1.又a+b-c=(1-x,1-y),|a+b-c|=.解法一:如图.c=(x,y)对应点在上,而式的几何意义为P点到上点的距离,其最大值为1.22(1)(1)xy22(1)(1)xyABAB解法二:|a+b-c|=,x+y1,|a+b-c|=1,最大值为1.4-2 (2012安徽,14,5分)