2021-2022学年福建省龙岩市一级校联盟（九校）高二下学期半期考（期中）数学试题解析

1、试卷第 =page 1 1页，共 =sectionpages 3 3页第 Page * MergeFormat 19 页 共 NUMPAGES * MergeFormat 19 页2021-2022学年福建省龙岩市一级校联盟（九校）高二下学期半期考（期中）数学试题一、单选题1下列导数运算正确的是（）ABCD【答案】D【分析】利用常用函数的导函数公式及导函数运算法则进行计算.【详解】，A错误；，B错误；，C错误；，D正确.故选：D2如图，在三棱锥中，E为OA的中点，点F在BC上，满足，记，分别为，则（）ABCD【答案】A【分析】根据空间向量的加减法进行求解.【详解】解：在三棱锥中，E为OA的中点

2、，所以故选：A3曲线在点A处的切线与直线垂直，则点A的坐标为（）ABCD【答案】B【分析】求出函数的导函数，根据题意结合导数的几何意义求出切点的横坐标，即可得出答案.【详解】解：，因为曲线在点A处的切线与直线垂直，所以函数在点A处的导数值为，即，所以，则，所以点A的坐标为.故选：B.4函数的单调递减区间是（）ABC和D【答案】B【分析】求出函数的定义域及导数，解不等式可得结果.【详解】函数的定义域为，由可得，因此，函数的单调递减区间是.故选：B.5已知函数在上为单调递增函数，则实数m的取值范围为（）ABCD【答案】D【分析】求导，由单调性得到在上恒成立，由二次函数数形结合得到不等关系，求出m的

3、取值范围.【详解】，因为在上为单调递增函数，所以在上恒成立，令，要满足，或，由得：，由得：，综上：实数m的取值范围是.故选：D6如图，正三棱柱的所有棱长都相等，E，F，G分别为AB，的中点，则EF与平面所成角的正弦值为（）ABCD【答案】A【分析】设正三棱柱的棱长为2，取的中点，分别以，所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，列方程计算平面的法向量为，设EF与平面所成角为，由可得解【详解】设正三棱柱的棱长为2，取的中点，连接，分别以，所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，设平面的法向量为，则，取，则，故为平面的一个法向量，EF与平面所成角为，则EF与平面所成角的正弦值为，故

4、选：A7设函数是定义在上的函数的导函数，有，若，则a，b，c的大小关系是（）ABCD【答案】C【分析】构造函数，由题干条件得到在上为增函数，结合，从而判断出a，b，c的大小关系.【详解】因为，所以设，则，所以在上为增函数，又因为，所以，即故选：C二、多选题8对于非零空间向量，现给出下列命题，其中为真命题的是（）A若，则，的夹角是钝角B若，则C若，则D若，则，可以作为空间中的一组基底【答案】BD【分析】根据空间向量夹角的定义、空间向量数量积的坐标表示公式，结合空间向量数量积的运算性质、空间向量基底的定义逐一判断即可.【详解】A：当，时，显然，因为，所以，的夹角是平角，故本选项命题是假命题；B：因

5、为，所以，因此本选项命题是真命题；C：当，时，显然，但是，因此本选项命题是假命题；D：假设，是共面向量，所以有，显然不可能，所以，不是共面向量，因此，可以作为空间中的一组基底，所以本选项命题是真命题，故选：BD9如图，和所在平面垂直，且，则（）A直线与直线所成角的大小为B直线与直线所成角的余弦值为C直线与平面所成角的大小为D直线与平面所成角的大小为【答案】ABC【分析】过点在平面内作交于点，过点在平面内作交于点，证明出平面，平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误.【详解】如下图所示，过点在平面内作交于点，过点在平面内作交于点，因为平面平面

6、，平面平面，平面，平面，同理可得平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设，则、.对于A选项，则，故直线与直线所成角的大小为，A对；对于B选项，所以，直线与直线所成角的余弦值为，B对；对于C选项，平面的一个法向量为，所以，直线与平面所成角的大小为，C对；对于D选项，平面的一个法向量为，所以，直线直线与平面所成角的大小为，D错.故选：ABC.10已知函数在上可导，且，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是（）A函数在上为减函数B是函数的极小值点C函数必有个零点D【答案】ABD【分析】利用导数可求得在上单调递减，在上单调递增，结合极值点定义和可知ABD正确；由于

7、零点个数无法确定，则零点个数无法确定，知C错误.【详解】由题意得：；由知：当时，即；当时，即，在上单调递减，在上单调递增，A正确；是的极小值点，B正确；在上单调递增，即，D正确；，若在或在上无零点，则无两个零点，C错误.故选：ABD.11已知函数，若，使得成立，则a的取值可以是（）A0BCD【答案】AD【分析】由题意，要使对，使得成立，只需，且，然后利用导数研究它们的最值即可【详解】解：，当时，当时，所以在上递减，在，上递增，故当，时，对于二次函数，该函数开口向下，所以其在区间，上的最小值在端点处取得，所以要使对，使得成立，只需，因为函数开口向下，所以当，时，（1），（2），所以或，所以或，解

8、得故选：AD.三、填空题12平面经过点且一个法向量，则平面与轴的交点坐标是_.【答案】【分析】设平面与轴的交点为，由已知可得，求出的值，即可得解.【详解】设平面与轴的交点为，则，由已知可得，解得，因此，平面与轴的交点坐标是.故答案为：.13直线l的方向向量为，且l过点，则点到l的距离为_.【答案】【分析】由空间向量求解【详解】，直线l的方向向量为，由题意得点到l的距离故答案为：14若函数在上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为_.【答案】【分析】求出导函数，根据函数在上存在单调递减区间，可得在上有解，即不等式在上有解，求出的最小值，即可得解.【详解】解：，因为函数在上存在单调递减区间，所以在

9、上有解，即不等式在上有解，令，令，则，所以，即实数a的取值范围为.故答案为：.15设函数已知，且，若的最小值为，则a的值为_.【答案】2【分析】由题意表示出，由导数分析单调性后求最小值，再列方程求解【详解】在和上单调递增，若有两解，则，且，则，令，则，当即时，在上单调递减，解得，当即时，在上单调递减，在上单调递增，得（舍去）综上，故答案为：2四、解答题16已知正方体的棱长为2，点E满足，则的最小值为（）ABCD【答案】C【分析】先得到点在平面上，转化为的最小值为点到平面的距离，再利用等体积法求解即可【详解】解：正方体的棱长为2，等边的边长为，四点共面，即点在平面上，的最小值为点到平面的距离，由

10、等体积法得，故选：C17已知向量，点，.(1)求；(2)若直线AB上存在一点E，使得，其中O为原点，求E点的坐标.【答案】(1)5(2)【分析】（1）根据空间向量坐标表示的线性运算求出，再根据向量模的坐标公式即可得解；（2）设，根据求出，再根据可得，从而可求得，即可求出，从而可得出答案.【详解】(1)解：因为，所以，所以；(2)解：设，由，得，则，故，因为，所以，即，解得，所以，设，则，所以，解得，所以.18如图，在三棱柱中，平面ABC，D为BC的中点.(1)求证：平面；(2)若F为的中点，求与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）连接交于点O，连接OD，通过三角形

11、中位线证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】(1)解法1：如图，连接交于点O，连接OD，因为在三棱柱中，四边形是平行四边形，所以O是的中点，因为D为BC的中点，所以在中，因为平面，平面，所以平面解法2：因为在三棱柱中，面ABC，所以BA，BC，两两垂直，故以B点为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系，因为，所以B（0,0,0），A（2,0,0），D（0,1,0），所以，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，平面，所以平面；(2)设与平面所成角为，由(1)知平面的法向量为，F为中点，即与平面所成角正弦值为.19已知函数.(1)求的极值；(2)若有两个零点，求实数m的取值范

12、围.【答案】(1)答案见解析；(2)【分析】（1）由题知，进而分和两种情况讨论求解；（2）结合（1）得当时，不可能有两个零点；当时，只需的极小值，进而令函数，再根据单调性和解不等式即可.【详解】(1)解：，所以，当时， 恒成立，函数在上单调递增，无极值；当时，令得，令得，此时函数在上单调递增，在上单调递减；所以当时，取得极小值，无极大值.综上，当时，无极值；当时，时取得极小值，无极大值.(2)解：由，所以，当时，由（1）知，函数在上单调递增，不可能有两个零点；当时，由（1）知在上递减，上递增，的极小值为，又，趋向正无穷时趋于正无穷大，所以只需，即可保证有两个零点.故令且，则，所以递减，又，所以

13、，所以时，有两个零点.即m的取值范围是.20请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去如阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个长方体形状的包装盒，E，F是AB边上被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设cm.(1)求包装盒的容积关于x的函数表达式，并求出函数的定义域.(2)当x为多少时，包装盒的容积V（）最大？最大容积是多少？【答案】(1)，(2)当时，包装盒的容积最大是【分析】（1）设包装盒的高为，底面边长为，分别将用表示，求出函数的解析式，注明定义域即可（2）利用函数的导数判断函数的单调性

14、，求解函数的最值即可【详解】(1)解：设包装盒的高为，底面边长为，则，所以，；(2)解：由，可得，当时，；当时，所以函数在上递增，在上递减，当时，取得极大值也是最大值：所以当时，包装盒的容积最大是21图是直角梯形，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图.(1)求证：平面平面；(2)在棱上是否存在点，使得到平面的距离为？若存在，求出二面角的大小；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据长度关系可证得为等边三角形，取中点，由等腰三角形三线合一和勾股定理可证得、，由线面垂直和面面垂直的判定可证得结论；（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设存在且，由共线向量可表示出点

15、坐标，利用点到面的距离的向量求法可求得，进而由二面角的向量求法求得结果.【详解】(1)在图中取中点，连接，四边形为矩形，又，为等边三角形；又，为等边三角形；在图中，取中点，连接，为等边三角形，又，又，平面，平面，平面，平面平面.(2)以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，设棱上存在点且满足题意，即，解得：，即，则，设平面的法向量，则，令，则， 到平面的距离为，解得：，又平面的一个法向量，又二面角为锐二面角，二面角的大小为.22设函数.(1)当时，判断函数的单调性；(2)证明：.【答案】(1)当时，在上单调递减；当时，故在上单调递增；(2)证明过程见解析.【分析】（1）求定义域，求导，由，结合二次函数根的分布，分与两种情况求解函数单调性；（2）在第一问