第13章离散图像处理

1、DIPDFT仅仅是数字图像处理中的一种变换，其仅仅是数字图像处理中的一种变换，其实还有很多种变换。实还有很多种变换。定义定义x是是N1的向量，的向量，T是是NN的矩阵，则：的矩阵，则：或定义了向量或定义了向量x的一的一个线性变换。个线性变换。1,0,0,1Nii jjjyt xiN其中y = Tx核矩阵DIP例：二维坐标系统中的一个向量旋转例：二维坐标系统中的一个向量旋转1122cossinsincosyxyxT是非奇异的，则原向量是非奇异的，则原向量。对上例来说，对上例来说，相当于该向量反向旋转。相当于该向量反向旋转。DIP若若T是酉矩阵，则是酉矩阵，则对对T的每个元素取共轭复数的每个元素取

2、共轭复数转置转置当当T的所有元素都是实数时，的所有元素都是实数时， TTt的第的第(i,j)元素是元素是T的第的第i行与行与Tt的第的第j列（也就是列（也就是T的的第第j行）的内积，行）的内积，i=j时为时为1，否则为，否则为0。因此，。因此，例：一维例：一维DFT就是酉变换就是酉变换1201iNjkNkiif eNFF = Wf酉阵酉阵2,1ijkNi kweNDIP线性酉变换产生一个有线性酉变换产生一个有N个变换系数的向量个变换系数的向量y，每个每个变换系数都是输入向量变换系数都是输入向量x和变换矩阵和变换矩阵T的某一行的的某一行的内积内积。反变换也类似。反变换也类似。正变换正变换可看作是

3、一个可看作是一个分解过程分解过程：将信号向量分解成：将信号向量分解成它的各个基元分量，这些基元分量自然以基向量的形式它的各个基元分量，这些基元分量自然以基向量的形式表示，变换系数规定了在原信号中各分量所占的量。表示，变换系数规定了在原信号中各分量所占的量。反变换反变换可看作是一个可看作是一个合成过程合成过程：通过将各分量相加：通过将各分量相加来合成原始向量。来合成原始向量。上述过程的上述过程的：任一个向量都能唯一地分解：任一个向量都能唯一地分解为分别具有为分别具有“合适合适”幅度的一组基向量，然后通过将这幅度的一组基向量，然后通过将这些分量相加可以重构原向量。些分量相加可以重构原向量。变换系数

4、的个数与向量的变换系数的个数与向量的元素个数是相同的元素个数是相同的。变换后的向量是原始向量的一种表示变换后的向量是原始向量的一种表示，可由它完整，可由它完整地恢复出原始向量。因此它地恢复出原始向量。因此它是原始向量的另一种形式是原始向量的另一种形式。DIP将一个将一个NN的矩阵的矩阵F变换成另一个变换成另一个NN阵阵G。11,00( , , ), ,0,1NNm ni kikGFi k m ni k m nNT变换的变换的，是，是N2N2的块矩阵，每行的块矩阵，每行N块，共块，共N行，行，m,n用于寻块，用于寻块，i,k用于块内寻元素用于块内寻元素( , , )( ,)( , )rci k

5、m nT i m T k nT若：若：11,00( , )( ,)NNm ni kcrikGF T k nT i m 则：则： m=1m=2m=Nn=1n=2n=NDIP例：二维例：二维DFT，是可分离的、对称的酉阵。是可分离的、对称的酉阵。正变换：正变换：GWFW，反变换：反变换：FW*tGW*t与与FT不同，许多变换在其核矩阵不同，许多变换在其核矩阵T中只有实元素，中只有实元素，而实数酉阵是正交的，因此，而实数酉阵是正交的，因此，FTtGTt。若若T是对称阵，正反变换相同，则：是对称阵，正反变换相同，则：GTFT，FTGT再进一步，如果两个分量相同，则变换是对称的：再进一步，如果两个分量相

6、同，则变换是对称的：( , , )( ,) ( , )i k m nT i m T k nT11,00( ,)( , )NNm ni kikGT i mF T k n则：则：记为记为反变换：反变换：DIP核矩阵的各行构成了核矩阵的各行构成了N维向量空间的一组基向维向量空间的一组基向量，这些行是正交的，即：量，这些行是正交的，即：TT*tI或：或：1*,0Nj ii kj kiT T其中其中 j,k是是Kronecker函数：函数： 当当j=k时时 j,k=1，而而当当j k时时 j,k= 0。任一组正交向量集都可用于一个线性变换任一组正交向量集都可用于一个线性变换，但，但通常通常。如。如FT用

7、复用复指数作基函数。指数作基函数。DIP二维反变换可以看作是通过将一组被适当地加二维反变换可以看作是通过将一组被适当地加权的基图像求和而重构原图像。变换矩阵权的基图像求和而重构原图像。变换矩阵G中的每中的每个元素就是其对应的基本图像在求和时所乘的倍个元素就是其对应的基本图像在求和时所乘的倍（系）数（即权值）。（系）数（即权值）。一幅基图像可通过对只含有一个非零元素（令一幅基图像可通过对只含有一个非零元素（令其值为其值为1）的系数矩阵进行反变换而产生，）的系数矩阵进行反变换而产生，N2个这个这样的矩阵产生样的矩阵产生N2幅基本图像。设其中一个系数矩阵幅基本图像。设其中一个系数矩阵为：为：其中其中

8、i,j分别为行和列的下标，分别为行和列的下标，p,q是标明非零元素位置的整数是标明非零元素位置的整数。,p qip j qG反变换：反变换：11,00( ,)( , )( ,) ( , )NNm nip k qikFT i mT k nT p m T q n这样，对于一个可分离的酉变换，每幅基本图这样，对于一个可分离的酉变换，每幅基本图像就是变换矩阵某两行的外积像就是变换矩阵某两行的外积。DIP基图像可看作是分解原图像所得的单位集分量，基图像可看作是分解原图像所得的单位集分量，同时也是组成原图像的基本结构单元。同时也是组成原图像的基本结构单元。正变换正变换通过通过确定系数确定系数来实现来实现分

9、解分解，反变换反变换通过通过将将基图像加权求和基图像加权求和来实现来实现重构重构。由于存在着无限多组基图像集，从而也就存在由于存在着无限多组基图像集，从而也就存在着无限多的变换。而着无限多的变换。而某一组特定的基图像集仅对相某一组特定的基图像集仅对相应的变换有重要的意义应的变换有重要的意义。DIPDFT的核矩阵：的核矩阵：0,00,11,01,1NNNNwwwwW2,1ikjNi kweN虚指数具有周期性，因此虚指数具有周期性，因此W是酉矩阵。是酉矩阵。一维一维DFT：，N1的的向量向量N1的的向量向量DIP上图是当上图是当f是实向量是实向量时，时，谱向量谱向量F中中各频率分量各频率分量所所处

10、处的位置的位置。零频和最高频率仅出现一次，其他分量以。零频和最高频率仅出现一次，其他分量以共轭复数的形式出现两次。如果共轭复数的形式出现两次。如果Ft被看作是一个行向被看作是一个行向量，则前面的量，则前面的N/2+1个元素是谱的右半边，后个元素是谱的右半边，后N/2-1个个元素在左半边。当元素在左半边。当fN是奈奎斯特折叠频率（采样频率的是奈奎斯特折叠频率（采样频率的一半）时，对应于一半）时，对应于F的第的第i个元素的频率是：个元素的频率是：20/22()/2 11NiNifiNNsNifNiNN 0 1 i N/2 N-1 N/2 N/2 N/2 N/2 N/2 fN fN fN fN fN

11、0 i N/2 -(N-i) -DIP如果如果f的后的后N/2个元素是第一个元素到第个元素是第一个元素到第N/2-1个元个元素的镜像，则素的镜像，则F为实。为了生成一个适于画出频谱的向为实。为了生成一个适于画出频谱的向量，可对量，可对F循环右移（或左移）循环右移（或左移）N/2个元素，这样零频个元素，这样零频率元素就会位于率元素就会位于N/2。而它两边的频率分别向两个方向而它两边的频率分别向两个方向递增。奈奎斯特频率元素仅在递增。奈奎斯特频率元素仅在f0出现。出现。也可以利用傅立叶变换的平移定理，即：也可以利用傅立叶变换的平移定理，即：020( )( )()( )( )( 1)( )ujxj

12、xxNF uf xF uuef xef xf x 平移量平移量u0N/2时时上式意味着，在执行上式意味着，在执行DFT之前，改变之前，改变f(x)的奇号元的奇号元素的符号，可使谱移到适于绘图的位置。素的符号，可使谱移到适于绘图的位置。DIPGWFWFW*tGW*t矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵11223344F0,0对对4个像限重新排列，使显示更为方便。此时，零个像限重新排列，使显示更为方便。此时，零频落在矩阵中心，并沿径向增长。频落在矩阵中心，并沿径向增长。( , )( , )(/2,/2)( 1)( , )x yF u vf x yF uNvNf x y 通过改变图像矩阵通过改变图像矩阵F中一半

13、元素的符号可中一半元素的符号可以得到所要的平移。以得到所要的平移。DIP1100(21)(21)( , )( ) ( )( , )coscos22NNcikimknG m na m b ng i kNN1100(21)(21)( , )( ) ( )( , )coscos22NNcmnimkng i ka m b n G m nNN12(0),( ),1aa mmNNNGcCgC矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵,(21)( )cos2i mimCa mNDIPDIP11002(1)(1)(1)(1)( , )( , )sinsin111NNsikimknG m ng i kNNN11002(1)(1)

14、(1)(1)( , )( , )sinsin111NNsmnimkng i kG m nNNN,2(1)(1)sin11i kikTNN核矩阵的元素：核矩阵的元素：DIP11,0012cas()NNm ni kikGgimknNN基函数：基函数：11,0012cas()NNi km nmngGimknNN形式相同形式相同cascossin2cos(/4)核矩阵：核矩阵：,1cas 2i kikTNN哈特利变换是相应傅立叶变换的实部减去虚部。哈特利变换是相应傅立叶变换的实部减去虚部。傅立叶变换是哈特利变换的偶部减去傅立叶变换是哈特利变换的偶部减去j乘以奇部。乘以奇部。( )( )( )( )(

15、)( )()( )eog xf xh xG vF v H vFv HvDIP对称对称、可分离可分离的的酉变换酉变换，元素均为元素均为 1，且，且N=2n，（，（n整数）整数）211111122H/2/2/2/211NNNNNNNHHHHH8111111111111111111111111111111111111111112 2111111111111111111111111H07341625相应于矩阵相应于矩阵行的符号变行的符号变化次数。每化次数。每一行的这个一行的这个数都不同。数都不同。称为列率称为列率（sequency）DIP81 11 111111 11 111111 11111111

16、11111111111 111112 2111 1111111 11111111 111111H01234567按列率重新按列率重新安排各行，安排各行，得到得到，也称作沃尔也称作沃尔什（什（Walsh）核矩阵核矩阵哈达玛变换的基函数就是沃尔什函数，因此，哈达玛变换的基函数就是沃尔什函数，因此，哈哈达玛变换达玛变换也叫作也叫作沃尔什变换沃尔什变换。有的书中仅将有有的书中仅将有序哈达玛变换称为沃尔什变换。序哈达玛变换称为沃尔什变换。DIP斜变换的酉矩阵从斜变换的酉矩阵从22的哈尔或哈达玛阵开始的哈尔或哈达玛阵开始2111112S/2/210100000010010120000NNNNNNNNNNN

17、ababSSSbabaIIII222222314141NNNNabNNDIPN=8时的斜变换基函数时的斜变换基函数DIP傅立叶变换的基函数间仅是傅立叶变换的基函数间仅是不同。而哈尔函数不同。而哈尔函数在在和和上都是不同的。（上都是不同的。（）DIP基函数索引：基函数索引：和和的的。令令整数整数0 k N-1由其它两个由其它两个整数整数p和和q唯一决定，即：唯一决定，即：21pkqk和和p、q互为函数。对任意互为函数。对任意k0，2p是使是使2p k的的2的最大幂，而的最大幂，而q1是余数。是余数。定义哈尔函数：定义哈尔函数：01( )h xN22112222112( )2220ppppkppq

18、qxqqh xxNelsek p q0 0 01 0 12 1 13 1 24 2 15 2 26 2 37 2 48 3 19 3 210 3 311 3 412 3 513 3 614 3 715 3 8DIP对于对于i0,1,2,N-1，令令xi/N，则可以产生一组基，则可以产生一组基函数。除了函数。除了k0时为常数外，每个基函数都有单独的一时为常数外，每个基函数都有单独的一个矩形脉冲对，这些基函数在尺度（宽度）和位置上都个矩形脉冲对，这些基函数在尺度（宽度）和位置上都有所变化。索引有所变化。索引p规定了尺度，规定了尺度，q决定了平移量。决定了平移量。哈尔函数对形式为一个矩形脉冲对的哈尔

19、函数对形式为一个矩形脉冲对的“原型原型”函数进行尺函数进行尺度变换和平移而得到，有如下两个方面的性质：度变换和平移而得到，有如下两个方面的性质：1)基函数可以由单一索引基函数可以由单一索引k决定，但都有由索引决定，但都有由索引p和和q规定规定的尺度的尺度/位置（双重索引）。位置（双重索引）。这样，沿这样，沿k轴来画它的变换系数，轴来画它的变换系数，就不像传统就不像传统FT得到的频谱那样可以给出更具启发性的信息。得到的频谱那样可以给出更具启发性的信息。2)假定在信号中沿假定在信号中沿x轴的某一位置有一个特征（如一条轴的某一位置有一个特征（如一条边），则边），则FT可将该位置编码到相应谱中。这个特

20、征位置被唯一可将该位置编码到相应谱中。这个特征位置被唯一地确定，并通过地确定，并通过IFT被完全恢复。但它在谱中并不能很直观地被完全恢复。但它在谱中并不能很直观地显示出来。显示出来。哈尔变换则直接反映线和边哈尔变换则直接反映线和边，因为其基函数有类似，因为其基函数有类似的特征。的特征。DIP111111111111111122220000100002222822000000002200000000220000000022rH例：例：k6时对应时对应p2，q3，则，则/2/26224/81( )225/880ppxHxxelse xi/NDIP哈尔变换基图像哈尔变换基图像DIP 用通过特征分析得

21、出的基函数进行变换。用通过特征分析得出的基函数进行变换。 对于对于NN的矩阵，有的矩阵，有N个标量个标量 k，k=1, , N，满足则称为矩阵的一组（唯一的）特征值。满足则称为矩阵的一组（唯一的）特征值。0kAI特征值的解释特征值的解释：当矩阵的每一个对角元素都减去：当矩阵的每一个对角元素都减去特征值时，将变为特征值时，将变为。当时，则当时，则N1的向量的向量vk称为称为A的的特征向量特征向量。kkkAvv共有共有N组组特征向量特征向量vk ，每组对应于某一个，每组对应于某一个特征值特征值 k ，这些特征向量构成一个正交集。如果，这些特征向量构成一个正交集。如果A是对称阵，是对称阵， k也是实

22、数。也是实数。1221A1111311111 AADIP由霍特林（由霍特林（Hotelling）提出，是可以去掉随机向）提出，是可以去掉随机向量中各元素间相关性的线性变换。量中各元素间相关性的线性变换。x是是N1的随机向量，其每一个元素都是一个随机的随机向量，其每一个元素都是一个随机变量，其变量，其均值均值mx可通过可通过L个样本向量来估算：个样本向量来估算：11LxllLmxx的协方差矩阵的协方差矩阵Cx是是NN的实对称阵，对角元素是的实对称阵，对角元素是各个随机变量的方差，非对角元素是它们的协方差。各个随机变量的方差，非对角元素是它们的协方差。11LtttxxxllxxlLCxmxmx x

23、m mDIP用矩阵用矩阵A来定义一个来定义一个线性变换线性变换：其中其中A的的为为Cx的特征向量的特征向量。这些行向量按使得其。这些行向量按使得其对应的特征值递减而排列。对应的特征值递减而排列。()xyA xm比较前面比较前面FT的酉阵的酉阵变换后的向量变换后的向量y是具有零均值的随机向量，其协方是具有零均值的随机向量，其协方差矩阵与差矩阵与x的协方差矩阵的关系为：的协方差矩阵的关系为：tyxCAC A由于由于A的行是的行是Cx的特征向量，所以的特征向量，所以Cy是对角阵，且其对角元素为是对角阵，且其对角元素为Cx的特征的特征值，从而值，从而 k也是也是Cy的特征值。的特征值。100NyC由于

24、由于Cy的非对角元素都是的非对角元素都是0，所以，所以y的各元素之间都的各元素之间都是不相关的，也就是说，是不相关的，也就是说，线性变换线性变换A去掉了变量间的相去掉了变量间的相关性关性。另外，。另外， k是第是第k个变换后的变量个变换后的变量yk的方差的方差。1txA ymA ymDIP略去对应于较小特征值的一个或多个特征向量来给略去对应于较小特征值的一个或多个特征向量来给y降维。用于图像压缩。降维。用于图像压缩。令令B为为MN的矩阵（的矩阵（MN），它是通过丢弃），它是通过丢弃A的底的底下下NM行，并假定行，并假定m0而构成的。这样，变换向量就而构成的。这样，变换向量就变小了，成为变小了，

25、成为M1维的了。维的了。ty = Bxx = B y重构时的近似均方差为：重构时的近似均方差为：1Nkk MMSEDIP实际上，霍特林变换、特征向量变换、主分量法等实际上，霍特林变换、特征向量变换、主分量法等均指的是：均指的是：()xyA xmK-L变换的降维能力极强。变换的降维能力极强。例如，多光谱图像的每例如，多光谱图像的每个像素都有多个灰度值，每个灰度值对应于一个谱带。个像素都有多个灰度值，每个灰度值对应于一个谱带。因此，一个因此，一个10001000的的24通道多光谱图像可以被看作通道多光谱图像可以被看作是一百万个是一百万个24元随机向量。但是，一幅多谱图像的不同元随机向量。但是，一幅

26、多谱图像的不同谱带间通常存在着很大的相关性，因而谱带间通常存在着很大的相关性，因而24个个特征值中有特征值中有许多值都很小许多值都很小，这就意味着一组，这就意味着一组24幅单色图幅单色图可以仅用少可以仅用少量主分量图来表示量主分量图来表示，而，而只会有很小的误差。只会有很小的误差。DIPtA = UV任意一个任意一个NN的矩阵的矩阵A都可以写成：都可以写成：其中矩阵其中矩阵U和和V的的列向量列向量分别是分别是AAt和和AtA的的特征向特征向量量， 是是NN的对角阵的对角阵，沿其对角线包含沿其对角线包含A的奇异值的奇异值。若若A对称，则对称，则UV。tU AVSVD的压缩比很高，但解压时需要的压缩比很高，但解压时需要U和和V。因此，。因此，对于一组类似的图像来说，可近似地使用同一对核矩阵对于一组类似的图像来说，可近似地使用同一对核矩阵U和和V。（如果是传输，则只需传一次）。（如果是传输，则只需传一次）DIP123450121061418146147.071343114364836141.8722454218486548180.058134311436483614001210614181860ttAAAA A0.1860.6380.2410.6950.6950.4760.0580.520.1330.1280.69